Exercicis: Notació científica

El vídeo d'un conegut streamer espanyol ha assolit la xifra de $45.200.000$ reproduccions en només una setmana. Expressa aquest nombre de visualitzacions utilitzant la notació científica i indica quina és la seva mantissa i quin és el seu ordre de magnitud.

Al laboratori de Biologia, un grup d'alumnes observa que el diàmetre d'un glòbul vermell és d'aproximadament $7,5 \cdot 10^{-6}$ metres. La figura representa el glòbul vermell amb la mesura del seu diàmetre.

Expressa aquesta mesura en forma decimal (notació estàndard) i explica cap a quin costat es desplaça la coma i quantes posicions.

Indica quins dels nombres següents estan escrits correctament en notació científica. En cas que algun no ho estigui, explica breument per què:

1. a) $0,45 \cdot 10^{8}$
2. b) $1,02 \cdot 10^{-5}$
3. c) $12,5 \cdot 10^{3}$
4. d) $9,99 \cdot 10^{12}$

Una empresa de tecnologia està comparant la mida de tres components electrònics. Les mides són: $A = 3,2 \cdot 10^{-4}$ mm, $B = 1,5 \cdot 10^{-3}$ mm i $C = 8,9 \cdot 10^{-4}$ mm. Ordena els components de menor a major mida basant-te en els seus exponents i mantisses.

La distància mitjana de la Terra al Sol és d'aproximadament $1,5 \cdot 10^{8}$ km. Si la llum viatja a una velocitat de $3 \cdot 10^{5}$ km/s, calcula el temps que triga la llum del Sol a arribar a la Terra fent l'operació directament en notació científica (recorda que $t = \frac{d}{v}$).

Un servidor de dades emmagatzema arxius de música. Cada cançó ocupa una mitjana de $4,5 \cdot 10^{6}$ bytes. Si el servidor té emmagatzemades $2 \cdot 10^{4}$ cançons, quants bytes totals de música hi ha al servidor? Expressa el resultat final en notació científica.

Determina el valor de $x$ en cada una de les igualtats següents perquè es mantingui l'equivalència en notació científica:

1. a) $345.000 = 3,45 \cdot 10^{x}$
2. b) $0,00007 = 7 \cdot 10^{x}$
3. c) $12,5 \cdot 10^{4} = 1,25 \cdot 10^{x}$

Visualitza l'esquema següent que representa el moviment de la coma decimal per convertir el nombre $0,000042$ a notació científica. Completa els requadres amb el valor del coeficient (mantissa) i l'exponent corresponent.

Per a un informe d'Economia d'1r de Batxillerat, la Lucía ha de comparar i sumar dues partides pressupostàries que una comunitat autònoma destina a beques d'estudi: la partida $A = 4,8 \cdot 10^6$ euros i la partida $B = 7,5 \cdot 10^5$ euros. La Lucía afirma en el seu esborrany el següent:

«Com que $7,5$ és més gran que $4,8$, la partida $B$ té una dotació econòmica més gran que la $A$. A més, els diners totals assignats entre totes dues partides són $(4,8 + 7,5) \cdot 10^{6+5} = 12,3 \cdot 10^{11} = 1,23 \cdot 10^{12}$ euros».

1. a) Identifica els dos errors conceptuals comesos per la Lucía (un en la comparació i un altre en la suma) i explica de manera raonada per què les seves deduccions són matemàticament falses.
2. b) Corregeix l'informe de la Lucía: indica quina de les dues partides és realment més gran justificant la teva decisió a partir dels ordres de magnitud i calcula el valor exacte de la suma total $A + B$ expressant el resultat en notació científica rigorosa.

Segons els informes anuals de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), Espanya va rebre en un any aproximadament $8,4 \cdot 10^7$ turistes internacionals. Cada visitant va fer una despesa mitjana estimada d'$1,25 \cdot 10^3$ euros durant les seves vacances al país.

1. a) Sense fer cap compte sobre el paper ni utilitzar calculadora, estima mentalment l'ordre de magnitud (la potència de $10$) que hauria de tenir la despesa turística global en euros. Explica amb claredat el raonament que has seguit per fixar aquest ordre.
2. b) Fes ara el càlcul exacte de la despesa total multiplicant totes dues magnituds i expressa el resultat final en notació científica correcta.
3. c) Comprova si el resultat calculat coincideix amb la teva estimació prèvia i explica per què analitzar l'ordre de magnitud per endavant permet detectar ràpidament errades de càlcul en teclejar en una calculadora científica.

En un centre de processament de dades d'una coneguda xarxa social, s'estima que cada segon es generen $2,5 \cdot 10^6$ megabytes (MB) d'informació nova.

1. a) Expressa en notació científica quants gigabytes (GB) es generen en un dia sencer (considera que $1 \text{ GB} = 10^3 \text{ MB}$).

1. b) Si cada disc dur d'emmagatzematge té una capacitat de $1,2 \cdot 10^{13}$ bytes, quants discs durs seran necessaris per emmagatzemar la informació d'un any de traspàs? (considera que $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ bytes}$). Indica el resultat amb tres xifres significatives.

La massa d'una partícula de pols en suspensió és d'aproximadament $7,25 \cdot 10^{-10}$ kg. Un purificador d'aire ha capturat, després d'una setmana de funcionament, un total de $4,35 \cdot 10^{-2}$ grams d'aquestes partícules.

1. a) Calcula el nombre total de partícules capturades pel purificador.

1. b) Si el filtre del purificador s'ha de canviar quan arriba a una massa acumulada de $1,5 \text{ decigrames}$, quantes setmanes més podrà funcionar abans de requerir manteniment? Expressa els càlculs i el resultat final en notació científica.

Un grup d'investigadors analitza la inversió en I+D de tres potències mundials. La primera hi inverteix $4,2 \cdot 10^{11} €$, la segona $1,85 \cdot 10^{12} €$ i la tercera $9,7 \cdot 10^{10} €$.

1. a) Calcula la inversió total de totes tres potències juntes, expressant el resultat en notació científica.

1. b) Quin percentatge del total representa la inversió de la potència que menys diners aporta? Arrodoneix el percentatge a dos decimals.

En microelectrònica, el gruix d'una capa aïllant en un processador és de $4,5$ nanòmetres ($1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}$). Si el processador té una superfície total de $1,2 \text{ cm}^2$:

1. a) Expressa el gruix de la capa en metres fent servir notació científica.

1. b) Calcula el volum total de material aïllant utilitzat en aquest processador en metres cúbics ($m^3$). Tingues en compte que el volum és el producte de la superfície pel gruix.

Fes les operacions combinades següents i expressa el resultat en notació científica, arrodonint a tres xifres significatives:

Un glòbul vermell té una forma aproximadament circular amb un diàmetre de $7,5 \cdot 10^{-4} \text{ cm}$.

1. a) Calcula la longitud de la seva circumferència en metres. (Fes servir $\pi \approx 3,1416$).

1. b) Si poguéssim posar en fila tots els glòbuls vermells d'un adult (aproximadament $2,5 \cdot 10^{13}$ glòbuls), quina distància en quilòmetres assolirien? Expressa el resultat en notació científica.

La distància mitjana de la Terra al Sol és de $1,496 \cdot 10^8 \text{ km}$. La velocitat de la llum és de $3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$.

1. a) Calcula quant de temps, en minuts i segons, triga la llum del Sol a arribar a la Terra.

1. b) Si una nau espacial viatja a una velocitat constant de $5,5 \cdot 10^4 \text{ km/h}$, quants dies trigaria a completar el viatge d'anada i tornada?

S'ha mesurat la massa d'un objecte de laboratori i s'ha obtingut un valor de $3,45 \cdot 10^{-3}$ grams, tot i que el valor real és de $3,458 \cdot 10^{-3}$ grams.

1. a) Calcula l'error absolut comès en la mesura.

1. b) Calcula l'error relatiu i expressa'l en percentatge. Es considera una mesura precisa si el marge d'error acceptable és del $0,5\%$? Justifica la teva resposta.

El Banc d'Espanya va registrar el deute públic nacional en una xifra aproximada d'$1,58 \cdot 10^{12}$ euros en acabar un any. En aquest mateix període, el padró de l'INE reflectia una població total de $4,8 \cdot 10^7$ persones a Espanya, tot i que la població ocupada (treballadors en actiu que generen cotitzacions i ingressos fiscals directes) era únicament de $2,1 \cdot 10^7$ persones.

1. a) Modelitza el «deute per càpita» dividint el deute total entre el nombre total d'habitants. Expressa el quocient en notació científica amb tres xifres significatives i després indica'l en format decimal ordinari (euros per habitant).
2. b) Modelitza el «deute per treballador en actiu», dividint el deute total exclusivament entre la població ocupada. Expressa el resultat en notació científica amb tres xifres significatives.
3. c) Dedueix a partir de les mantisses i els exponents calculats quantes vegades és més gran la càrrega teòrica que suporta un treballador actiu respecte a la mitjana de la població general. Explica per què l'ús de la notació científica simplifica la comparació de magnituds macroeconòmiques enfront de la notació numèrica tradicional.

Una consultora d'auditoria analitza els comptes d'una empresa de comerç electrònic. Se sap que el benefici net anual, $B$, respon a la fórmula $B = I - C$, on $I$ són els ingressos bruts i $C$ els costos operatius totals. Al seu torn, els costos totals provenen de realitzar $N$ repartiments amb un cost logístic unitari fix de $c_u = 3,5 \cdot 10^1$ euros per enviament (és a dir, $C = N \cdot c_u$). Es disposa de les dades tancades següents:

• Ingressos bruts: $I = 4,2 \cdot 10^8$ euros.

• Benefici net obtingut: $B = 3,85 \cdot 10^8$ euros.

1. a) Planteja l'equació corresponent i calcula el valor dels costos operatius totals $C$. Expressa el resultat en notació científica correcta.
2. b) Calcula el nombre exacte d'enviaments $N$ realitzats per l'empresa durant aquest exercici. Escriu $N$ en notació científica, identificant clarament la seva mantissa i el seu ordre de magnitud.
3. c) Si de cara a l'any següent els ingressos $I$ es mantinguessin idèntics però els costos totals $C$ augmentessin exactament un ordre de magnitud, raona mitjançant l'anàlisi d'exponents si l'empresa continuaria en beneficis o entraria en pèrdues, sense necessitat de calcular la resta completa.

En un laboratori de nanotecnologia, s'està analitzant la massa d'una nova partícula sintètica estimada en $m = 4,25 \cdot 10^{-22}$ grams. Tanmateix, l'instrument de mesura té una cota d'error absolut de $5 \cdot 10^{-25}$ grams. D'altra banda, un astrònom mesura la massa d'un asteroide proper com a $M = 7,8 \cdot 10^{15}$ quilograms amb un error relatiu del $0,01\%$.

Realitza les tasques següents expressant tots els resultats en notació científica:

1. a) Determina l'interval de valors possibles per a la massa de la partícula $m$ utilitzant la notació d'entorns $E(a, r)$.

1. b) Calcula la cota d'error relatiu comès en la mesura de la partícula i compara-la amb l'error relatiu de l'asteroide. Justifica raonadament quina mesura és més precisa.

1. c) Si s'unissin $1,5 \cdot 10^{24}$ partícules iguals, quina seria la massa total resultant? Considera tant el valor estimat com l'error absolut acumulat.

Calcula el valor de l'expressió següent simplificant el resultat al màxim i expressa'l en notació científica amb tres xifres significatives:

A continuació, acota l'error absolut comès en arrodonir el valor de $L$ a la primera xifra decimal de la seva mantissa.

Un centre de dades d'una xarxa social processa aproximadament $2,5 \cdot 10^6$ consultes per segon. Cada consulta requereix el moviment de $1,2 \cdot 10^4$ bytes d'informació.

1. a) Calcula quants terabytes ($1 \text{ TB} = 10^{12} \text{ bytes}$) d'informació processa el centre en un any de traspàs.

1. b) Si el centre planeja augmentar la seva capacitat de processament un $15\%$ anual de forma composta, quanta informació (en bytes) processarà per segon d'aquí a una dècada? Expressa el resultat en notació científica.

El nombre auri, $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, és present en el disseny de moltes interfícies d'aplicacions mòbils actuals per aconseguir harmonia visual. Considera una pantalla de telèfon intel·ligent que segueix aquesta proporció, on l'amplada mesura $w = 6,8 \cdot 10^{-2}$ metres.

1. a) Calcula l'àrea de la pantalla en mil·límetres quadrats ($mm^2$) sabent que la relació entre l'alçada ($h$) i l'amplada ($w$) és exactament $\phi$. Utilitza l'expressió radical de $\phi$ per al càlcul i aproxima el resultat final en notació científica amb dues xifres decimals.

1. b) Si en fabricar el vidre es produeix un error de $1 \cdot 10^{-4}$ metres en l'amplada, sense que variï l'alçada, com afecta això a l'error relatiu de l'àrea?

En una campanya de reforestació global, s'estima que cada arbre plantat absorbeix una mitjana de $2,2 \cdot 10^1$ kg de $CO_2$ a l'any. La plataforma organitzadora afirma que han compensat $4,5 \cdot 10^8$ tones de $CO_2$ en els últims 5 anys ($1 \text{ tonelada} = 10^3 \text{ kg}$).

1. a) Suposant que el nombre d'arbres plantats ha sigut constant i que l'absorció és acumulativa (els arbres plantats el primer any absorbeixen durant els cinc anys, els del segon durant quatre, etc.), calcula quants arbres es van plantar cada any.

1. b) Si existeix un error en la mesura d'absorció de $\pm 5\%$ per arbre, calcula l'interval d'error absolut de la xifra total de tones compensades.

Representa a la recta real el conjunt de nombres que satisfan la condició següent de "tolerància industrial" per a una peça de precisió:

1. a) Expressa el conjunt en forma d'interval i com una desigualtat sense valor absolut.

1. b) El nombre $0,00435$ és un valor acceptable per a aquesta peça? Justifica la teva resposta comprovant si pertany al conjunt.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es projecta que la població mundial arribi a les $9,7 \cdot 10^9$ persones l'any 2050. Si la superfície terrestre total és d'aproximadament $1,48 \cdot 10^8 \text{ km}^2$, de la qual només el $25\%$ és habitable:

1. a) Calcula la densitat de població (habitants per $km^2$) a les zones habitables per a l'any 2050.

1. b) Si cada persona consumeix de mitjana $1,3 \cdot 10^6$ quilocalories a l'any, quanta energia alimentària total (en kcal) necessitarà la humanitat en una dècada (10 anys), assumint que la població es manté constant en la xifra de 2050? Dóna el resultat en notació científica.

Dada la figura següent que representa un esquema de cables de fibra òptica soterrats, la distància entre els punts de registre $A$ i $B$ ve donada per l'expressió $d = \sqrt{5 \cdot 10^{-4}} + \sqrt{2 \cdot 10^{-5}}$ quilòmetres.

1. a) Simplifica l'expressió de la distància $d$ extreient factors dels radicals i operant per deixar un únic radical (o la suma més simplificada possible).

1. b) Si per realitzar una reparació es necessita un cable la longitud del qual sigui exactament el triple de $d$, calcula aquesta longitud i expressa-la en metres utilitzant notació científica amb quatre xifres significatives.

Una societat d'inversió gestiona una cartera valorada en $F = 5,2 \cdot 10^{10}$ euros. Al tancament de l'any fiscal ha d'incorporar dos ajustos: el cobrament dels interessos meritats per un compte auxiliar, que ascendeix a $I = 6,8 \cdot 10^4$ euros, i el pagament d'una sanció regulatòria per un import d'$S = 4,1 \cdot 10^7$ euros. El patrimoni final ajustat respon a l'expressió $P = F + I - S$.

Per presentar l'informe davant la junta directiva amb una precisió de quatre xifres significatives, dos economistes proposen vies diferents:

• Mètode 1 (Desenvolupament decimal complet): Desplegar tots els zeros de cadascuna de les tres xifres numèriques, col·locar-les en columnes segons les unitats i realitzar la suma i resta tradicional en notació posicional clàssica per després tornar a convertir a notació científica.

• Mètode 2 (Factorització d'ordres de magnitud): Treure factor comú de la potènciadocs predominant ($10^{10}$), expressar les quantitats secundàries com a mantisses associades a aquest exponent ($I = 0,0000068 \cdot 10^{10}$ i $S = 0,0041 \cdot 10^{10}$) i analitzar la rellevància de cada terme abans d'arredonir a quatre xifres significatives.

1. a) Aplica el Mètode 2 mostrant pas a pas les operacions i obtén el valor final de $P$ amb quatre xifres significatives en notació científica. Explica què passa amb la quantitat $I$ durant aquest procés i justifica si és matemàticament pertinent ignorar-la.
2. b) Analitza els avantatges i els desavantatges de tots dos mètodes atenent a tres criteris: risc d'error per omissió/addició de zeros, cost temporal de càlcul i adequació als sistemes informàtics de coma flotant.
3. c) Justifica de manera raonada quin dels dos mètodes demostra una comprensió més profunda de l'estructura dels nombres reals i la gestió d'ordres de magnitud.

En un estudi sobre la gestió de recursos hídrics a la conca del riu Guadalquivir, la capacitat total d'embassament està fixada en $C = 8,0 \cdot 10^9 \text{ m}^3$. A l'inici de l'any agrícola, l'aigua emmagatzemada es troba al $25\%$ de la seva capacitat màxima total.

Al llarg dels $365$ dies de l'any es preveuen tres aportacions i extraccions d'aigua:

1. Aportacions per pluges i escorriment fluvial: un cabal constant que aporta $1,5 \cdot 10^6 \text{ m}^3$ d'aigua al dia.

2. Pèrdues per evaporació natural a la superfície dels pantans: un total acumulat a l'any d'$1,25 \cdot 10^8 \text{ m}^3$.

3. Extracció per a consum humà, urbà i regadius agrícoles: s'extreu un volum total anual de $V_E = k \cdot 10^8 \text{ m}^3$, on $k$ és un paràmetre que compleix $1 \le k < 10$.

1. a) Expressa en notació científica rigorosa: el volum inicial d'aigua emmagatzemada i el volum total anual aportat per les pluges.
2. b) Per evitar restriccions severes a les ciutats, les autoritats determinen que el volum final d'aigua embassada en acabar els $365$ dies no pot baixar per sota d'una reserva d'emergència d'$1,8 \cdot 10^9 \text{ m}^3$. Planteja una inequació amb tots els termes expressats en notació científica i troba el valor màxim admisible per a la mantissa $k$.
3. c) Suposa que una sequera extrema redueix les pluges de tot l'any exactament un ordre de magnitud respecte a la previsió inicial. Demostra matemàticament si seria viable mantenir la reserva d'emergència d'$1,8 \cdot 10^9 \text{ m}^3$ fins i tot en el cas extrem de suspendre totalment el consum humà i de regadiu ($k = 0$).