Exercicis: Aproximació i errors

Un corredor de Fórmula 1 ha registrat un temps de volta de $1,24572$ minuts. Per simplificar els gràfics en la retransmissió televisiva, es requereix fer aproximacions d'aquest temps.

Calcula:

1. a) El temps truncat a les mil·lèsimes.

1. b) El temps arrodonit a les mil·lèsimes.

1. c) El temps arrodonit a les centèsimes.

1. d) Explica breument per què el resultat de truncar i el d'arrodonir a les mil·lèsimes són diferents en aquest cas concret.

En una botiga d'electrònica, el preu real d'un telèfon intel·ligent és de $456,28$ €. Tanmateix, al cartell publicitari de l'aparador, el propietari decideix posar el preu arrodonit a les unitats perquè sigui més atractiu visualment.

Calcula:

• El valor aproximat que apareix al cartell.

• L'error absolut comès amb aquesta aproximació.

• L'error relatiu expressat en percentatge (amb dos decimals).

En mesurar el gruix d'un llibre de text amb un regle que té com a divisió mínima els mil·límetres, obtenim un valor de $2,4$ cm.

Indica:

• Quina és la cota d'error absolut d'aquesta mesura.

• Entre quins valors es troba el gruix real del llibre, expressant el resultat mitjançant un interval.

Tenim dues mesures diferents fetes per diferents operaris:

1. Un fuster mesura un llistó de fusta de $2,5$ metres i comet un error absolut de $1$ cm.

2. Un topògraf mesura una parcel·la de $450$ metres i comet un error absolut de $1$ metre.

Calcula l'error relatiu de cada mesura i determina raonadament quina de les dues aproximacions és de millor qualitat (més precisa).

El nombre auri o d'or, representat per la lletra grega $\phi$, té un valor exacte de $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Un estudiant utilitza la calculadora i obté que el seu valor és aproximadament $1,6180339...$

Si l'estudiant decideix prendre com a aproximació del nombre auri el valor $1,62$:

• Es tracta d'un arrodoniment o d'un truncament a les centèsimes?

• Calcula l'error absolut comès (pren el valor de la calculadora com a valor real).

• Aquest error absolut és menor que una mil·lèsima?

Identifica el nombre de xifres significatives de les dades següents obtingudes en un laboratori de química:

• $0,00405$ grams d'un compost reactiu.

• $120,70$ mil·lilitres d'aigua destil·lada.

• $3,50 \cdot 10^4$ partícules per centímetre cúbic.

• $2000$ bacteris en una mostra (aproximat a les unitats).

La massa de la Terra és d'aproximadament $5.972.200.000.000.000.000.000.000$ kg. En els llibres de text de ciències se sol expressar aquest nombre en notació científica arrodonint a dues xifres decimals (tres xifres significatives).

1. a) Escriu la massa de la Terra en notació científica amb totes les seves xifres.

1. b) Escriu l'aproximació arrodonida que s'usaria en un llibre de text.

1. c) Calcula la fita d'error absolut associada a aquest arrodoniment.

Per cuinar un pastís gegant, un pastisser suma les masses dels tres ingredients principals, que ha pesat en una balança industrial:

• Farina: $12,4$ kg (arrodonit a les dècimes).

• Sucre: $5,75$ kg (arrodonit a les centèsimes).

• Mantega: $2,125$ kg (arrodonit a les mil·lèsimes).

Calcula la suma total dels ingredients i arrodoneix el resultat final de manera que sigui coherent amb la mesura menys precisa de les tres. Justifica la teva elecció.

Per a un treball d'Economia d'1r de Batxillerat, la Lucía i el Carlos analitzen les desviacions pressupostàries de dues partides:

• Partida A (material informàtic): cost real de $820$ €, pressupostat en $800$ €.

• Partida B (material de papereria): cost real de $12$ €, pressupostat en $10$ €.

El Carlos afirma: «A la partida B només ens hem desviat $2$ €, mentre que a l'A ens hem desviat $20$ €. Com que $2 < 20$, l'estimació de la papereria ha estat deu vegades més precisa que la d'informàtica».

1. a) Detecta l'error conceptual en l'afirmació del Carlos i explica per què l'error absolut no és un indicador vàlid per comparar la qualitat d'aquestes dues aproximacions.
2. b) Calcula l'error absolut i l'error relatiu percentual comès en cadascuna de les dues partides.
3. c) A partir dels resultats, determina amb rigor matemàtic quina de les dues estimacions pressupostàries ha estat de millor qualitat.

Un estudiant universitari gasta exactament $1,85$ € cada dia lectiu en un cafè a la cafeteria del campus. En un quadrimestre hi ha exactament $78$ dies lectius.

1. a) Fes una estimació ràpida i mental de la despesa total en cafè del quadrimestre: arrodoneix prèviament el preu unitari a la unitat d'euro més propera i el nombre de dies a la desena més propera. Anota la teva estimació.
2. b) Calcula la despesa real exacta i determina l'error absolut i l'error relatiu percentual que has comès amb la teva estimació inicial.
3. c) Reflexiona i raona sense fer nous càlculs: era previsible que la teva estimació sobreestimés la despesa real en comptes de subestimar-la? Justifica-ho analitzant en quin sentit s'ha arrodonit cadascun dels dos factors.

Dos tècnics de so estan calibrant equips per a un festival de música. El primer tècnic mesura la longitud d'un cable d'antena i obté $15,25$ m, quan el seu valor real és de $15,30$ m. El segon tècnic mesura la latència d'un senyal digital i obté $0,018$ s, essent el valor real de $0,020$ s.

1. a) Calcula l'error absolut comès per cada tècnic.
2. b) Determina quina de les dues mesuraments és més precisa comparant els seus errors relatius.
3. c) Si el primer tècnic arrodoneix la seva mesura a les dècimes, quin seria el nou error relatiu comès?

Una empresa de fabricació de components electrònics produeix resistències que han de tenir un valor nominal de $470$ ohms ($\Omega$). El control de qualitat permet un marge d'error (tolerància) tal que el valor real $R$ ha de complir la condició $|R - 470| \leq 15$.

1. a) Expressa mitjançant un interval de la recta real els valors de resistència permesos.
2. b) Si una resistència mesurada dóna un valor de $482,5 \Omega$, està dins del marge de tolerància?
3. c) Calcula la cota d'error relatiu màxim que accepta l'empresa per a aquest component.

El radi d'una pista circular de patinatge s'ha mesurat amb una cinta mètrica, i s'ha obtingut un valor de $12,4$ metres. Es sap que l'error absolut comès en aquest mesurament és, com a màxim, de $0,05$ metres.

1. a) Escriu l'interval en què es troba el valor real del radi.
2. b) Calcula els valors màxim i mínim possibles per a l'àrea de la pista (utilitza $\pi \approx 3,14159$).
3. c) Si prenem com a aproximació de l'àrea el valor calculat amb el radi de $12,4$ m, quina és la cota d'error absolut per a aquesta àrea?

En un laboratori de biologia, s'estima que el nombre de bacteris en una placa de cultiu és de $4,25 \times 10^7$, amb un error relatiu del $2\%$.

1. a) Calcula l'error absolut comès en l'estimació.
2. b) Entre quins dos valors es troba el nombre real de bacteris?
3. c) Si després d'una hora el nombre de bacteris es triplica, expressa el nou total en notació científica i calcula el seu ordre de magnitud.

Considera els nombres reals $A = \sqrt{7}$ i $B = \frac{22}{8}$.

1. a) Representa de forma exacta el nombre $A$ en la recta real utilitzant el teorema de Pitàgores.
2. b) Aproxima tots dos nombres per arrodoniment a les mil·lèsimes.
3. c) Quin error relatiu es comet en aproximar la suma $A + B$ pel nombre $5,4$?

Un inversor analitza la rendibilitat d'una criptomoneda. El valor actual és de $0,0004582$ € per unitat. Per facilitar els càlculs en la seva aplicació mòbil, decideix truncar aquest valor a les centmil·lèsimes (cinquena xifra decimal).

1. a) Escriu el valor truncat en notació científica.
2. b) Calcula l'error absolut i l'error relatiu comesos per aquest truncament.
3. c) Quin seria l'error relatiu si en lloc de truncar, hagués arrodonit a la mateixa xifra?

Donats els següents conjunts de nombres reals:

$A = \{x \in \mathbb{R} : |x - 1| < 3\}$

$B = [-2, 5]$

1. a) Expressa el conjunt $A$ en forma d'interval.
2. b) Calcula i representa en la recta real la intersecció $A \cap B$ i la unió $A \cup B$.
3. c) Determina si el nombre irracional $\sqrt{10}$ pertany a algun d'aquests conjunts. Justifica la resposta aproximant el radical a les centèsimes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una escala sismogràfica utilitza logaritmes per mesurar l'energia alliberada per un terratrèmol. Si l'energia $E$ (en joules) es relaciona amb la magnitud $M$ mitjançant la fórmula $\log E = 4,8 + 1,5M$:

1. a) Calcula l'energia alliberada per un terratrèmol de magnitud $M = 6,2$. Expressa el resultat en notació científica arrodonint la mantissa a dos decimals.
2. b) Si cometem un error de $0,1$ en mesurar la magnitud ($M = 6,3$ en lloc de $6,2$), quin és l'error relatiu percentual comès en el càlcul de l'energia?
3. c) Explica per què un petit error en la magnitud $M$ provoca un error tan gran en l'energia $E$.

Segons dades de les publicacions demogràfiques de l'INE, un municipi espanyol compta amb una població censada de $48\,600$ habitants, dada que es publica arrodonida a les centenes. D'altra banda, la corporació municipal preveu una despesa social mitjana de $125$ € per habitant, xifra arrodonida a les unitats d'euro. L'ajuntament preveu una partida total de $G = 48\,600 \cdot 125 = 6\,075\,000$ €.

1. a) Escriu els intervals d'incertesa en què es troben el nombre real d'habitants ($P$) i la despesa real mitjana per habitant ($g$).
2. b) Utilitzant la fórmula de propagació de cotes d'error relatiu per al producte de dues magnituds, calcula una cota superior per a l'error relatiu percentual de la partida total $G$.
3. c) A partir d'aquesta cota relativa, calcula la cota superior de l'error absolut de la despesa total i determina l'interval de valors en què amb total seguretat es trobarà la despesa real.

En un informe de conjuntura econòmica sobre l'IPC interanual d'una comunitat autònoma, es publica que la taxa d'inflació al sector del transport ha estat del $3,4$ %, valor obtingut després d'arrodonir a les dècimes de punt percentual.

1. a) Determina l'interval de valors numèrics en què es troba la taxa real $\tau$.
2. b) Troba la cota màxima de l'error absolut i calcula el major error relatiu percentual que s'ha pogut cometre en publicar la xifra $3,4$ % enfront del valor real desconegut.
3. c) Si l'autoritat estadística regional exigeix per protocol de qualitat que l'error relatiu comès en publicar la taxa no superi en cap cas el $0,5$ %, és suficient haver arrodonit a les dècimes? En cas negatiu, determina quantes xifres decimals s'haurien d'haver conservat com a mínim en la publicació per assegurar que es compleix aquest estàndard.

Un xip d'alta precisió té una base rectangular les dimensions de la qual s'han mesurat amb un peu de rei làser. La longitud obtinguda és de $l = 4,25$ mm i l'amplada és de $w = 2,80$ mm. Es sap que l'aparell de mesura té un error absolut màxim de $0,005$ mm en cada mesurament. Calcula:

1. a) La cota de l'error absolut comès en calcular l'àrea del xip.
2. b) L'interval de valors possibles en què es troba l'àrea real.
3. c) Quin és l'error relatiu màxim comès en el càlcul de l'àrea, expressat en percentatge i arrodonit a les mil·lèsimes?

En un experiment de física de partícules, s'estima que la massa d'una mostra és de $m = 3,45 \cdot 10^{-6}$ kg amb un error relatiu del $0,2\%$. Simultàniament, el volum ocupat per la mostra es mesura com a $V = 1,2 \cdot 10^{-9}$ $m^3$ amb una cota d'error absolut de $0,05 \cdot 10^{-9}$ $m^3$.

Determina si és possible que la densitat real ($\rho = m/V$) de la mostra superi els $3000$ $kg/m^3$, justificant la teva resposta mitjançant el càlcul de les cotes d'error corresponents.

Un analista financer utilitza l'aproximació del nombre auri $\Phi \approx 1,618$ per predir el comportament d'una criptomoneda en un gràfic de creixement. Sabent que el valor exacte és $\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$:

1. a) Calcula l'error absolut comès en aquesta aproximació (utilitza tots els decimals de la teva calculadora per al valor real).
2. b) Calcula l'error relatiu comès.
3. c) Si l'analista aplica aquesta proporció a una inversió de $2.500.000$ €, quina seria la diferència en euros entre utilitzar el valor aproximat i el valor real? És significatiu aquest error en el context financer?

Un senderista utilitza un GPS de muntanya per orientar-se. El dispositiu estima la distància al refugi de la seva destinació mitjançant la fórmula $d = \sqrt{x^2 + y^2}$. En un punt de la ruta, les coordenades enregistrades són $x = 800$ m i $y = 600$ m. Tanmateix, el GPS té una imprecisió (cota d'error absolut) de $2$ metres en cada eix.

Calcula la cota de l'error relatiu comès en estimar la distància total $d$. Arrodoneix el resultat a quatre xifres significatives.

Considera els nombres $A = 5,42 \cdot 10^8$ i $B = 3,1 \cdot 10^7$. Tots dos nombres han estat arrodonits a les xifres significatives que es mostren.

1. a) Determina les cotes d'error absolut per a $A$ i $B$.
2. b) Calcula el valor de $S = A + B$ i expressa el resultat en notació científica.
3. c) Troba la cota de l'error relatiu de la suma $S$. Com es compara aquest error relatiu amb els errors relatius de $A$ i $B$ per separat?

Un dipòsit cilíndric de combustible té una altitud de $H = 10,0$ m i un radi de base de $R = 4,0$ m. Les mesures s'han pres amb una precisió d'un decímetre.

1. a) Calcula el volum nominal del dipòsit en metres cúbics utilitzant $\pi \approx 3,1416$.
2. b) Determina la cota de l'error absolut comès en el càlcul del volum a causa de la imprecisió en les mesures de $R$ i $H$ (considera el valor de $\pi$ com a exacte per a aquest apartat).
3. c) Si el combustible es dilata i el volum real fos un $1\%$ superior al volum calculat amb les mesures (que pot apartar-se del nominal fins a la cota relativa de l'apartat b), quin seria, en el cas més desfavorable, l'error relatiu total respecte al valor nominal inicial?

S'ha mesurat la velocitat d'una connexió de fibra òptica i s'ha obtingut un valor de $540,5$ Mbps. El tècnic indica que l'error relatiu del mesurament és inferior al $0,05\%$.

1. a) Entre quins valors pot oscil·lar la velocitat real de la connexió?
2. b) Si arrodonim el resultat a les desenes de Mbps, quina seria la nova cota de l'error relatiu màxim que estaríem assumint respecte a la velocitat real, tenint en compte l'interval de l'apartat a)?

Donada la funció $f(x) = \frac{1}{x-1}$, volem calcular el seu valor per a $x = \sqrt{2}$.

1. a) Aproxima el resultat utilitzant per a $\sqrt{2}$ el seu arrodoniment a les mil·lèsimes.
2. b) Calcula el valor "real" (amb tots els decimals possibles de la calculadora).
3. c) Determina l'error absolut i l'error relatiu comesos.
4. d) Explica raonadament per què en aquest tipus de funcions, una petita variació en l'aproximació de $x$ pot generar un error relatiu molt més gran en el resultat de $f(x)$ quan $x$ està a prop de $1$.

Una pime de comerç electrònic analitza el seu marge comercial mitjançant el quocient $M = \frac{B}{I}$, on $B$ és el benefici net obtingut i $I$ són els ingressos totals facturats. En l'últim trimestre es registren uns ingressos de $I = 200\,000$ € amb una incertesa absoluta de $\Delta I = 4\,000$ €, i un benefici de $B = 10\,000$ € amb una incertesa absoluta de $\Delta B = 800$ €. Per estimar l'interval en què oscil·la el marge real, l'equip financer debat entre dos procediments:

• Mètode 1 (Linealització): calcular el marge nominal $M_0 = \frac{B}{I}$, sumar les cotes d'error relatiu per obtenir $\Delta M / M_0 \approx \frac{\Delta B}{B} + \frac{\Delta I}{I}$ i definir l'interval com a $[M_0 - \Delta M, M_0 + \Delta M]$.

• Mètode 2 (Aritmètica d'intervals): calcular de manera exacta el marge mínim possible $M_{\min} = \frac{B - \Delta B}{I + \Delta I}$ i el marge màxim possible $M_{\max} = \frac{B + \Delta B}{I - \Delta I}$.

1. a) Aplica ambdós mètodes detallant tots els càlculs i expressa els intervals resultants en forma percentual amb tres xifres decimals.
2. b) Compara els dos intervals obtinguts: tenen la mateixa amplitud? estan centrats en el mateix valor? Explica analíticament a què es deu la discrepància entre ambdós mètodes.
3. c) Si l'empresa ha de presentar aquest informe davant d'una entitat bancària per sol·licitar finançament sense risc d'incórrer en falsedat o sobreestimació, justifica de manera raonada quin dels dos mètodes és preferible utilitzar.

Una cooperativa agroalimentària exporta oli d'oliva verge extra en dipòsits metàl·lics de forma cúbica d'aresta nominal $a = 80$ cm. El volum d'emmagatzematge es calcula com a $V = a^3$.

El departament de logística exigeix que l'error relatiu percentual en el càlcul del volum no excedeixi el $0,75$ % ($E_r(V) \le 0,0075$) per evitar problemes en el noli marítim.

1. a) Utilitzant la relació de propagació d'errors de primer ordre per a una potència ($V = a^n$), dedueix la cota màxima de l'error relatiu admisible en el mesurament directe de l'aresta $a$.
2. b) A partir del resultat de l'apartat anterior, determina la cota d'error absolut màxima $\Delta a$ tolerable en mesurar l'aresta de $80$ cm.
3. c) El fabricant disposa de tres instruments de mesura: una cinta mètrica comuna graduada en centímetres enters ($u = 1$ cm), un flexòmetre amb marques de mig centímetre ($u = 0,5$ cm) i un regle làser calibrat al mil·límetre ($u = 0,1$ cm). Si la cooperativa adopta com a criteri de lectura l'arrodoniment al múltiple més proper de la graduació de l'instrument, determina quin és l'instrument menys costós (és a dir, el de menor precisió) que garanteix el compliment de l'exigència logística. Demostra numèricament la teva elecció.