Exercicis: Asímptotes i branques infinites en funcions racionals

Calcula els límits següents analitzant el terme de grau més alt de cada polinomi:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 10)$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} (-x^2 + 3x - 1)$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} (4 - x^4)$

Donada la gràfica següent de la funció $f(x)$, determina el valor dels límits a l'infinit i indica l'equació de la seva asímptota horitzontal:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

Calcula els límits quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$ de les funcions racionals següents comparant els graus del numerador i del denominador:

1. a) $f(x) = \frac{3x^2 - 5}{x^3 + 2x}$

1. b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{4x^2 - 3x}$

1. c) $h(x) = \frac{5x^3 + 2}{x^2 - 7}$

Troba l'equació de l'asímptota horitzontal de les funcions següents. Si no en té, indica-ho raonadament:

1. a) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$

1. b) $g(x) = \frac{4}{x^2 - 1}$

1. c) $h(x) = \frac{x^2 + 5}{2x - 3}$

Calcula els límits següents de funcions amb arrels:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3x}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x - 5}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x+2}{\sqrt{x^3 + 1}}$

Associa cadascuna de les funcions següents amb el seu comportament a $+\infty$:

1. $f(x) = \frac{10}{x-2}$

2. $g(x) = \frac{5x^2}{x^2 + 1}$

3. $h(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$

Comportaments:

1. a) Tendeix a $+\infty$ (Branca parabòlica).
2. b) Té una asímptota horitzontal a $y = 0$.
3. c) Té una asímptota horitzontal a $y = 5$.

Per a la funció $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$, completa la taula de valors següent per investigar el seu comportament quan $x$ s'acosta a $0$.

A partir de la taula, dedueix el valor dels límits laterals $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. Existeix el límit global a $x=0$?

Donada la funció $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 4}$:

1. a) Indica quin és el seu domini de definició.
2. b) Calcula els límits laterals en el punt on la funció no està definida: $\lim_{x \to 4^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 4^+} f(x)$.
3. c) Quin tipus de branca infinita presenta la funció a $x = 4$?

La Sofia està estudiant les asímptotes verticals de la funció racional $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1}$. Per a fer-ho, planteja l'equació $x^2 - 1 = 0$, obté les solucions $x = 1$ i $x = -1$, i afirma en el seu examen: «La funció té dues asímptotes verticals, les equacions de les quals són $x = 1$ i $x = -1$, perquè són els dos valors reals que anul·len el denominador».

1. a) Explica detalladament quin error conceptual ha comès la Sofia en extreure aquesta conclusió sense analitzar prèviament el numerador.
2. b) Corregeix el seu raonament calculant els límits necessaris per determinar quines són les veritables asímptotes verticals de $f(x)$ i què passa exactament a la gràfica en el punt que la Sofia va interpretar de manera errònia.

Considera la funció $g(x) = \frac{6x^2 - 5}{2x^2 + 3}$, que descriu l'evolució temporal d'un indicador financer en funció del temps $x$ (amb $x > 0$).

1. a) Estima: Sense aplicar regles formals de límits, observa únicament els termes de major grau del numerador i del denominador per a valors molt grans de $x$ i prediu quin serà el valor numèric al qual s'estabilitza l'indicador a llarg termini. Raona intuïtivament si la gràfica s'aproximarà a aquest valor per sobre o per sota comparant mentalment el numerador amb el denominador multiplicat per la teva estimació.
2. b) Comprova: Calcula amb rigor $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ per confirmar l'equació de l'asímptota horitzontal i determina la posició relativa de la corba respecte a aquesta recta estudiant el signe de la diferència $g(x) - y_{\text{asímptota}}$. Compara la teva conclusió matemàtica amb l'estimació que havies formulat.

Donada la gràfica de la funció $f(x)$ que es mostra a continuació, identifica les equacions de les seves asímptotes (verticals i horitzontals) i descriu el comportament de la funció mitjançant límits quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2}$:

1. Determina el seu domini de definició.

2. Calcula els límits laterals en els punts on la funció no està definida.

3. Especifica quins d'aquests punts corresponen a una asímptota vertical i quins a una discontinuïtat evitable (punt desplaçat).

Determina el valor dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció $g(x) = \frac{ax + 5}{bx - 4}$ tingui una asímptota vertical en la recta $x = 2$ i una asímptota horitzontal en la recta $y = 3$. Una vegada trobats, comprova si la funció és creixent o decreixent en el seu domini.

Estudia el comportament a l'infinit de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}$ calculant:

1. a) L'existència d'una asímptota obliqua de la forma $y = mx + n$.

1. b) La posició relativa de la corba respecte a aquesta asímptota quan $x \to +\infty$ (indica si la funció va per sobre o per sota de la recta).

El nombre d'usuaris d'una xarxa social educativa, mesurat en milers, segueix l'evolució temporal $t$ (en mesos) segons la funció:

1. Calcula el nombre d'usuaris inicials (a $t=0$).

2. Determina a quant tendirà el nombre d'usuaris a llarg termini (quan $t \to +\infty$).

3. Existeix algun valor de $t$ per al qual la funció no sigui contínua? Raona si aquest valor té sentit en el context del problema.

Calcula els límits següents i determina, a partir d'aquests, les asímptotes horitzontals de cada funció:

1. $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - x \right)$

2. $\lim_{x \to -\infty} \frac{3^x + 2}{3^x - 1}$

Considera la funció $f(x) = \frac{k}{x^2 - 9}$.

1. Si sabem que la funció passa pel punt $(0, -1)$, troba el valor de $k$.

2. Amb el valor de $k$ obtingut, realitza un estudi complet de les asímptotes de la funció i situa les seves branques infinites respecte de les seves asímptotes verticals.

Estudia les branques infinites de la funció $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$. Com que no té asímptotes horitzontals ni verticals, determina l'equació de la seva asímptota obliqua i representa esquemàticament el seu comportament a l'infinit mitjançant el gràfic de referència següent:

Dissenya l'expressió analítica d'una funció racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ que satisfaci simultàniament les quatre condicions següents:

1. La seva gràfica té una asímptota horitzontal a la recta $y = -3$.

2. Té una única asímptota vertical a la recta $x = 2$.

3. Passa per l'origen de coordenades $(0, 0)$.

4. No presenta cap discontinuïtat evitable (és a dir, $P(x)$ i $Q(x)$ no comparteixen arrels en el conjunt dels nombres reals).

Un cop proposada la funció:

1. a) Justifica pas a pas com has deduït els polinomis $P(x)$ i $Q(x)$ i comprova el compliment de les condicions calculant els límits pertinents.
2. b) Explica raonadament per què aquesta funció no pot tenir una asímptota obliqua en cap dels dos sentits de l'infinit ($+\infty$ o $-\infty$).

El servei municipal de lloguer de bicicletes d'una capital de província espanyola registra els seus costos d'explotació. Un informe econòmic modelitza el cost mitjà per usuari abonat al mes, $C(x)$ (expressat en euros), en funció del nombre total d'abonats actius, $x$ (amb $x \ge 1$), mitjançant la funció racional:

1. a) Si la campanya de captació té un gran èxit i el nombre d'abonats creix indefinidament ($x \to +\infty$), cap a quin valor tendeix el cost mitjà mensual per usuari? Interpreta matemàticament aquest valor com una asímptota horitzontal i explica el seu significat per a la viabilitat econòmica del servei municipal.
2. b) Determina si la funció s'aproxima a la seva asímptota horitzontal per sobre o per sota quan $x \to +\infty$. Quina implicació econòmica té aquest comportament per a l'ajuntament a mesura que augmenta la massa d'abonats?
3. c) L'expressió algebraica té una asímptota vertical a $x = -50$. Justifica per què aquesta asímptota manca completament de sentit en el context del problema real.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 1}{2x - 4}$, calcula els valors dels paràmetres $a$ i $b$ sabent que la funció té una asímptota obliqua l'equació de la qual és $y = 2x + 5$. Una vegada trobats els paràmetres, estudia si la gràfica de la funció es troba per sobre o per sota d'aquesta asímptota quan $x \to +\infty$.

Un analista de màrqueting digital estudia l'evolució dels seguidors d'un nou compte de xarxes socials. El nombre de seguidors (en milers) segueix la funció $S(t) = \frac{120t^2 + 500}{3t^2 + 4t + 10}$, on $t \geq 0$ és el temps en mesos des del llançament.

1. a) Determina si existeix un límit de creixement per al nombre de seguidors a llarg termini. En cas afirmatiu, indica l'equació de l'asímptota horitzontal.

1. b) Representa gràficament el comportament de la funció a l'infinit mitjançant un esquema de les seves branques asimptòtiques (dibuixa uns eixos, l'asímptota i la corba apropant-s'hi quan $t \to +\infty$).

Calcula totes les asímptotes de la funció següent definida a trossos i estudia el comportament de les seves branques infinites:

$f(x) = \begin{cases} \frac{2x^2}{x+1} & \text{si } x < 0 \\ \frac{x-1}{x^2-9} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$

Indica específicament els límits laterals en els punts on existeixin asímptotes verticals.

Considera la família de funcions $f(x) = \frac{x^2 - k}{x^2 + k^2 - 2}$. Troba els valors del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ per als quals la funció:

1. No té asímptotes verticals.

2. Té exactament una asímptota vertical.

3. Té dues asímptotes verticals.

Per a tots els casos, indica quina és l'asímptota horitzontal de la funció.

Donada la funció $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$, el domini de la qual és $(-\infty, -4] \cup [0, +\infty)$, estudia el seu comportament quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$.

1. a) Calcula $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ i, si existeix, l'equació de l'asímptota corresponent.

1. b) Calcula $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ i, si hi ha asímptota, troba'n l'equació (pot ser horitzontal o obliqua).

1. c) Presenta la mateixa asímptota horitzontal en tots dos sentits? Justifica la teva resposta calculant tots dos límits detalladament i dibuixa un esquema de les branques resultants, indicant les asímptotes i els punts $(-4, 4)$ i $(0, 0)$.

Sigui la funció $f(x) = \frac{|x^2 - 1|}{x - 1}$.

1. a) Redefineix la funció com una funció definida a trossos eliminant el valor absolut.

1. b) Calcula els límits laterals a $x = 1$. Existeix una asímptota vertical en aquest punt o es tracta d'una discontinuïtat evitable?

1. c) Estudia l'existència d'asímptotes horitzontals calculant $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ i $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Explica la diferència entre tots dos resultats.

Dissenya una funció racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ que compleixi simultàniament les quatre condicions següents:

1. Té una asímptota vertical a $x = -4$.

2. Té una discontinuïtat evitable a $x = 1$.

3. Té una asímptota horitzontal a $y = 5$.

4. Passa per l'origen de coordenades $(0,0)$.

Proporciona l'expressió analítica final de la funció de forma simplificada.

Troba l'equació de l'asímptota obliqua de la funció $f(x) = \frac{2x^3 - 5x^2 + 1}{x^2 + x}$. Una vegada obtinguda:

1. a) Calcula el punt on la gràfica de la funció talla aquesta asímptota obliqua.
2. b) Determina, mitjançant l'estudi del límit de la diferència $[f(x) - (mx+n)]$, si la funció s'acosta a l'asímptota per sobre o per sota quan $x \to +\infty$.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{2x^3 - 3x^2 + 5}{x^2 - 1}$:

Per obtenir l'equació de la seva asímptota obliqua $y = mx + n$ i determinar la posició relativa de la corba respecte d'aquesta a l'infinit, es poden seguir dos camins:

• Mètode A (Divisió de polinomis): Fer la divisió euclidiana per escriure $f(x) = (mx + n) + \frac{R(x)}{Q(x)}$.

• Mètode B (Càlcul directe per límits): Trobar $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$, després $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$ i, finalment, analitzar el signe del límit de la resta per a la posició.

1. a) Compara críticament ambdós mètodes: analitza els avantatges i inconvenients de cadascun en aquest cas i justifica quin és més eficient i segur si l'objectiu és respondre alhora a l'equació i a la posició de la corba respecte a la recta en tots dos extrems ($+\infty$ i $-\infty$).
2. b) Resol el problema aplicant el mètode que has seleccionat: dedueix l'equació de l'asímptota obliqua i determina raonadament si la gràfica es troba per sobre o per sota d'aquesta quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$.

Es volen determinar els paràmetres reals $a$, $b$, $c$ i $k$ per definir una funció racional de la família:

de manera que compleixi simultàniament les tres condicions següents:

1. La recta $y = 3$ és una asímptota horitzontal de la gràfica.

2. La gràfica té exactament una única asímptota vertical, situada a la recta $x = 2$.

3. La funció talla l'eix d'abscisses en el punt $(-1, 0)$.

1. a) Dedueix pas a pas els valors numèrics d'$a$, $b$, $c$ i $k$. Justifica amb un rigor especial per què el denominador s'anul·la en dos valors reals diferents però la funció només admet una única asímptota vertical, explicant què passa geomètricament en l'altre valor.
2. b) Basant-te en la teoria de graus i en la definició de branques infinites, demostra que és impossible que una funció d'aquest tipus (quocient de dos polinomis de segon grau) tingui una asímptota obliqua, independentment dels valors numèrics que prenguin els seus coeficients.