Exercicis: Funcions lineals: interpolació

Observa la gràfica següent, que representa el cost total d'una comanda de samarretes personalitzades per a un equip d'e-sports en funció del nombre d'unitats comprades.

A partir de la gràfica:

1. a) Identifica l'ordenada a l'origen ($n$) i explica'n el significat en aquest context.

1. b) Si per $10$ samarretes el cost total és de $50$ €, calcula el pendent ($m$) de la recta.

1. c) Escriu l'expressió analítica de la funció $f(x)$.

Una empresa de lloguer de patinets elèctrics cobra un càrrec fix per desbloquejar el vehicle i una tarifa constant per cada minut d'ús. Un usuari ha pagat $4,50$ € per un trajecte de $15$ minuts, mentre que un altre ha pagat $7,50$ € per un trajecte de $35$ minuts.

Troba l'equació de la funció lineal que relaciona el cost del servei ($y$) amb el temps d'ús en minuts ($x$).

La taula següent mostra la temperatura d'un forn industrial a mesura que s'escalfa de manera constant:

Utilitza la interpolació lineal per estimar la temperatura del forn quan han transcorregut $12$ minuts des de l'encesa.

Un jardiner observa que el creixement d'una espècie de bambú és lineal durant les seves primeres setmanes. Si als $10$ dies mesurava $45$ cm i als $20$ dies mesurava $75$ cm:

1. Determina la funció lineal que modela l'alçada del bambú en funció del temps.

2. Realitza una extrapolació lineal per predir quina alçada tindrà la planta als $25$ dies.

Troba la funció lineal que passa pels punts $A(2, 7)$ i $B(5, 16)$. Un cop obtinguda, comprova si el punt $C(4, 13)$ pertany a aquesta funció mitjançant interpolació lineal.

Dues plataformes de música ofereixen els plans mensuals següents:

• Pla A: $5$ € de quota fixa més $0,20$ € per cada cançó descarregada.

• Pla B: Sense quota fixa, però $0,60$ € per cada cançó descarregada.

Anomena $x$ el nombre de cançons descarregades en un mes i $y$ el cost mensual en euros.

1. a) Escriu la funció de cost per a cada pla.

1. b) Representa ambdues funcions en un mateix diagrama d'eixos cartesians (et basta amb prendre valors de $x$ entre $0$ i $20$ cançons) i localitza gràficament el "punt d'equilibri" (on tots dos plans costen el mateix). Indica'n les coordenades.

Se sap que la relació entre la longitud de la frenada d'un cotxe ($d$) i la seva velocitat ($v$) és aproximadament lineal en certs trams de velocitat baixa. Si a $20$ km/h la frenada és de $4$ metres i a $40$ km/h és de $12$ metres:

1. Quina seria la longitud de frenada estimada per a una velocitat de $30$ km/h?

2. Si un cotxe ha deixat una marca de frenada de $10$ metres, a quina velocitat circulava aproximadament? (Utilitza la interpolació).

Donada la taula de valors següent que relaciona el nombre d'hores treballades per un programador freelance i els seus honoraris totals:

Calcula, mitjançant la fórmula de la recta d'interpolació, quant cobraria per una feina de $7$ hores. Indica també quin és el preu que cobra per cada hora de feina (pendent).

Comprova que la paràbola $y = x^{2} - 2x + 3$ passa pels punts $(0, 3)$, $(1, 2)$ i $(2, 3)$, i utilitza-la per estimar el valor de $y$ en $x = 1,5$.

Es volen interpolar els punts $(0, 1)$, $(1, 4)$ i $(2, 9)$ amb una paràbola $y = ax^{2} + bx + c$.

1. a) Planteja el sistema de tres equacions amb incògnites $a$, $b$ i $c$.

1. b) Comprova que $a = 1$, $b = 2$ i $c = 1$ és solució del sistema i escriu la paràbola interpoladora.

En un estudi sobre el cost mensual de l'abonament transport per a joves en una comunitat autònoma, es disposa de dues dades oficials: el 2018 ($t = 0$) costava $20\text{ \euro}$ i el 2022 ($t = 4$) costava $12\text{ \euro}$. En Marcos vol estimar el preu que va tenir el 2020 ($t = 2$) i el que tindrà el 2026 ($t = 8$).

Per a fer-ho, en Marcos escriu a la seva llibreta:

«Calculo el pendent: $m = \frac{4 - 0}{12 - 20} = \frac{4}{-8} = -0,5\text{ \euro/any}$. La recta és $P(t) = -0,5t + 20$. Per tant, el 2020 va costar $P(2) = -0,5 \cdot 2 + 20 = 19\text{ \euro}$ i el 2026 costarà $P(8) = -0,5 \cdot 8 + 20 = 16\text{ \euro}$. Tots dos resultats són interpolacions fiables perquè hem seguit la mateixa fórmula matemàtica».

1. a) Localitza i explica l'error algebraic que ha comès en Marcos en plantejar el pendent. Escriu l'equació de la recta d'interpolació correcta.
2. b) Utilitzant la recta correcta, calcula les estimacions de preu per als anys 2020 i 2026.
3. c) Corregeix l'error conceptual d'en Marcos: distingeix quin dels dos càlculs és una interpolació i quin una extrapolació, i justifica si la predicció per al 2026 té la mateixa fiabilitat que la del 2020 en aquest context.

Una empresa municipal d'aigües d'Andalusia registra el consum mitjà mensual per habitatge durant un any de sequera. Al maig ($x = 5$, on $x$ representa el número d'ordre del mes) el consum mitjà va ser de $132\text{ m}^3$, mentre que a l'agost ($x = 8$) va ascendir a $168\text{ m}^3$ a causa de les altes temperatures. L'equip tècnic necessita estimar el consum mitjà del mes de juny ($x = 6$).

1. a) Abans de fer cap càlcul algebraic, estima raonadament entre quins dos valors numèrics s'ha de situar el consum de juny i argumenta si hauria d'estar més a prop de $132\text{ m}^3$ o de $168\text{ m}^3$.
2. b) Troba l'equació de la recta d'interpolació lineal $C(x) = mx + n$ a partir de les dades de maig i agost.
3. c) Calcula analíticament amb aquesta recta el consum previst per a juny ($x = 6$) i comprova si el resultat coincideix amb l'estimació que has fet a l'apartat a).
4. d) Si s'utilitza aquesta mateixa recta per predir el consum de desembre ($x = 12$): es tracta d'una interpolació o d'una extrapolació? Explica per què aquest resultat difícilment serà fiable en la realitat.

Una plataforma de contingut en streaming ha analitzat el creixement dels seus subscriptors en una ciutat jove. L'any 2021 comptaven amb $12\,400$ usuaris, i l'any 2023 la xifra va augmentar fins als $15\,200$.

Si suposem que el creixement segueix un model lineal, i prenem $x$ com el temps en anys transcorreguts des de 2021 (és a dir, $x=0$ per a l'any 2021, $x=2$ per a 2023, i així successivament):

1. a) Troba la funció d'interpolació lineal que expressa el nombre de subscriptors en funció del temps $x$.

1. b) Estima mitjançant interpolació el nombre de subscriptors que hi havia a mitjan 2022 (és a dir, per a $x=1{,}5$).

1. c) Fes una extrapolació per predir quants usuaris hi haurà l'any 2026 i reflexiona sobre la fiabilitat d'aquesta última dada.

A la figura es mostren les dues dades conegudes (tingues en compte que l'eix vertical comença en $12\,000$).

Un laboratori de biologia estudia la degradació d'un compost orgànic. S'ha observat que a una temperatura de $15^\circ\text{C}$, el compost triga $40$ hores a descompondre's, mentre que a $25^\circ\text{C}$ triga només $28$ hores.

1. Determina la recta d'interpolació lineal que relaciona el temps de descomposició ($y$) amb la temperatura ($x$).

2. Quin seria el temps estimat de descomposició si la temperatura fos de $22^\circ\text{C}$?

3. Si el laboratori necessita que el compost es degradi en $20$ hores, a quina temperatura s'hauria d'ajustar el termòstat segons aquest model?

Els organitzadors d'un festival de música urbana han observat la relació entre el preu de l'entrada i el nombre d'abonaments venuts. Si el preu és de $45$ €, es venen $3\,200$ abonaments. Si el preu puja a $60$ €, les vendes baixen a $2\,450$ abonaments.

1. Troba l'equació de la demanda suposant que és una funció lineal.

2. Estima quants abonaments es vendrien si es fixés un preu "intermedi" de $52$ €.

3. A partir de quin preu la demanda seria nul·la segons aquest model d'extrapolació?

El percentatge de reciclatge d'envasos plàstics en una comunitat autònoma ha evolucionat de forma gairebé lineal en la darrera dècada. L'any 2012 es reciclava el $18\,\%$ i l'any 2020 es va assolir el $34\,\%$.

1. Calcula la taxa de variació mitjana anual del percentatge de reciclatge entre aquests anys.

2. Utilitza la interpolació lineal per estimar el percentatge de reciclatge l'any 2015.

3. Si la tendència continua igual, en quin any s'espera assolir l'objectiu del $50\,\%$ fixat per la Unió Europea?

Un cotxe elèctric consumeix energia de la seva bateria de manera proporcional a la distància recorreguda. En sortir del garatge amb el $100\,\%$ de càrrega, després de recórrer $120$ km, la bateria marca un $64\,\%$ de càrrega restant. La figura mostra aquestes dues dades.

1. a) Expressa la funció lineal que indica el percentatge de bateria que queda en funció dels quilòmetres recorreguts.

1. b) Si el conductor decideix parar a recarregar quan li quedi el $15\,\%$ de bateria, quants quilòmetres haurà recorregut en total segons el model lineal?

1. c) Mitjançant extrapolació, determina quin percentatge de bateria marcaria després d'un viatge de $300$ km. Té sentit físic el resultat obtingut? Justifica la teva resposta.

En un estudi sociològic sobre l'ús de dispositius digitals, es recullen les dades següents sobre el temps diari (en minuts) que passen els adolescents davant de la pantalla en funció de la seva edat:

1. Determina la funció lineal que ajusta aquestes dades.

2. Estima, per interpolació, el temps diari de pantalla per a un adolescent de $14$ anys.

3. Si un jove de $18$ anys passa $250$ minuts al dia, s'ajusta aquesta dada al model lineal calculat anteriorment? Comprova-ho mitjançant extrapolació.

El cost total de produir samarretes personalitzades per a una graduació inclou un cost fix pel disseny i un cost variable per cada unitat fabricada. Sabem que $50$ samarretes costen $410$ € i que $120$ samarretes costen $830$ €.

1. Calcula el cost de fabricar $85$ samarretes utilitzant la tècnica d'interpolació lineal.

2. Identifica, a partir de la recta obtinguda, quin és el cost fix (ordenada en l'origen) i el cost per cada samarreta addicional (pendent).

3. Si el pressupost màxim de la classe és de $600$ €, quin és el nombre màxim de samarretes que poden encarregar?

S'està mesurant la profunditat de la neu en una estació d'esquí durant un dia de nevada constant. A les $8:00$ h la profunditat era de $45$ cm i a les $13:00$ h ha pujat fins als $62$ cm.

1. Troba l'equació de la recta que relaciona la profunditat del gruix ($y$) amb les hores transcorregudes des de les $8:00$ h ($x$).

2. Quin gruix de neu s'estimava que hi hauria a les $11:30$ h?

3. Si la nevada va començar a les $5:00$ h del matí amb la mateixa intensitat, quanta neu hi havia a terra en aquell moment? Utilitza l'extrapolació lineal.

La figura mostra una paràbola que passa pels punts $(1, 3)$, $(3, 7)$ i $(5, 5)$.

1. a) Planteja el sistema d'equacions que han de complir $a$, $b$ i $c$ perquè $y = ax^{2} + bx + c$ passi pels tres punts, i resol-lo.

1. b) Utilitza la paràbola obtinguda per estimar el valor de $y$ en $x = 4$ (el marcat amb «?» a la figura).

1. c) Comprova amb la gràfica que l'estimació és coherent.

La promotora d'un concert ha provat tres preus d'entrada amb resultats diferents: a $10\ \text{ €}$ va vendre $400$ entrades; a $20\ \text{ €}$, $700$; i a $30\ \text{ €}$, $600$. La figura mostra les dades i la paràbola d'interpolació.

1. a) Troba la paràbola $y = ax^{2} + bx + c$ que interpola els tres punts (preu, entrades venudes).

1. b) Estima quantes entrades vendria a $25\ \text{ €}$.

1. c) Segons el model, quin preu maximitza el nombre d'entrades venudes? Calcula el vèrtex de la paràbola i interpreta el resultat.

La taula mostra els primers valors d'una successió:

• $n$: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$

• $a_n$: $4$, $9$, $18$, $31$, $48$

1. a) Calcula les primeres diferències (cada terme menys l'anterior) i les segones diferències (diferències de les diferències). Què observes en les segones?

1. b) Justifica que si les segones diferències són constants, la successió segueix un model quadràtic $a_n = an^{2} + bn + c$, i troba aquest model.

1. c) Calcula $a_6$ amb el model i comprova-ho perllongant les diferències.

Un professional autònom de Madrid analitza la despesa mensual de dues empreses de cotxes compartits (carsharing) elèctrics per anar a les seves reunions:

• La companyia EcoCar factura segons una funció lineal: per un ús mensual de $40\text{ minuts}$ cobra $18\text{ \euro}$, i per $100\text{ minuts}$ cobra $33\text{ \euro}$.

• La companyia UrbanMove té una tarifa que inclou una quota fixa de manteniment de $6\text{ \euro}$ al mes més un cost variable de $0,30\text{ \euro}$ per minut de conducció.

1. a) Mitjançant interpolació lineal amb els dos registres coneguts, determina la funció de cost mensual $C_1(x)$ d'EcoCar en funció dels minuts conduïts $x$.
2. b) Escriu l'expressió analítica de la funció de cost $C_2(x)$ d'UrbanMove.
3. c) Calcula el punt d'equilibri (els minuts mensuals per als quals ambdues factures coincideixen) i determina raonadament quina companyia és més avantatjosa si condueix menys temps que aquest valor i quina si condueix més temps.
4. d) Si preveu fer $180\text{ minuts}$ en un mes extraordinari, el càlcul del cost amb la funció d'EcoCar és una interpolació o una extrapolació? Si EcoCar aplica descomptes per trams a partir de les dues hores d'ús, explica com afectaria això a la fiabilitat de la teva estimació lineal.

Una estació meteorològica situada a la serra de Guadarrama modelitza la radiació solar incident $R(t)$ (en $\text{W/m}^2$) durant un matí clar mitjançant una paràbola d'interpolació $R(t) = at^2 + bt + c$, on $t$ representa el temps en hores transcorregut des de l'alba ($t = 0$ correspon a les $6:00\text{ h}$ del matí).

Es registren les dades següents: a les $6:00\text{ h}$ ($t = 0$) la radiació és de $0\text{ W/m}^2$, i a les $8:00\text{ h}$ ($t = 2$) és de $360\text{ W/m}^2$. El registre corresponent a les $10:00\text{ h}$ ($t = 4$) s'ha perdut per una fallada informàtica, però se sap amb certesa que el model quadràtic prediu que la radiació solar màxima s'assoleix exactament al migdia solar, a les $12:00\text{ h}$ ($t = 6$).

1. a) Utilitza la condició de radiació nul·la a l'alba i la posició del vèrtex de la paràbola a $t = 6$ per plantejar les equacions que permeten trobar els coeficients $a$, $b$ i $c$.
2. b) Determina la funció quadràtica $R(t)$ i recupera la dada perduda: quina radiació solar prediu el model per a les $10:00\text{ h}$ ($t = 4$)?
3. c) Calcula el valor màxim de radiació solar que es va assolir a les $12:00\text{ h}$.
4. d) Si s'utilitza la funció obtinguda per estimar la radiació a les $20:00\text{ h}$ ($t = 14$), quin valor numèric s'obté? Explica per què aquest resultat posa en evidència els límits físics de l'extrapolació quadràtica.

Una empresa de missatgeria sostenible utilitza bicicletes elèctriques per als seus repartiments. S'ha observat que el cost de manteniment mensual per cada bicicleta depèn dels quilòmetres recorreguts. Si una bicicleta recorre $400\text{ km}$, el cost és de $120\text{ €}$, mentre que si recorre $1000\text{ km}$, el cost ascendeix a $210\text{ €}$. A la figura es representen aquestes dues dades.

1. a) Utilitzant la interpolació lineal, determina l'expressió analítica de la funció que relaciona el cost mensual $C(x)$ amb la distància recorreguda $x$.

1. b) Si el pressupost màxim de manteniment per bicicleta és de $180\text{ €}$, quin és el nombre màxim de quilòmetres que s'estima que pot recórrer segons aquest model?

1. c) L'empresa planeja expandir-se i estima que algunes bicicletes faran $1500\text{ km}$ mensuals. Calcula el cost mitjançant extrapolació lineal i raona si aquesta estimació és fiable a llarg termini basant-te en el desgast físic dels components.

El valor de mercat d'un model específic de telèfon intel·ligent d'alta gamma es meva/deprecia de forma lineal durant els primers mesos després del seu llançament. Als 2 mesos de la seva sortida, el seu preu era de $950\text{ €}$. Als 8 mesos, el seu preu va baixar fins als $710\text{ €}$.

1. a) Calcula, mitjançant interpolació lineal, el preu del dispositiu als 5 mesos del seu llançament.

1. b) Determina el preu original de sortida ($x = 0$) utilitzant l'extrapolació.

1. c) Si un usuari decideix vendre el seu telèfon intel·ligent quan el seu valor sigui exactament la meitat del preu original, en quin mes l'hauria de posar a la venda segons aquest model?

Un estudi sociològic analitza la relació entre el nombre d'hores setmanals dedicades a l'oci digital i la puntuació en un test de benestar emocional (de 0 a 100). Es sap que per a 10 hores d'oci la puntuació és de 85 punts, i per a 35 hores la puntuació descendeix a 60 punts.

1. a) Obtén la recta d'interpolació lineal que modeli aquesta situació.

1. b) Un grup d'estudiants presenta una puntuació mitjana de 72 punts. Estima quantes hores d'oci digital consumeixen a la setmana.

1. c) Si una persona no consumeix gens d'oci digital ($x = 0$), quina puntuació se li assignaria? I si consumeix 80 hores? Discuteix la validesa dels resultats en els extrems de la funció.

Una ONG que treballa en la reforestació d'una zona incendiada ha enregistrat el creixement d'un tipus de pi. Als 3 anys del trasplantament, l'altura mitjana era de $1,8\text{ m}$. Als 7 anys, l'altura va assolir els $3,4\text{ m}$.

1. a) Suposant un creixement lineal, estima l'altura que tenien els pins als 5 anys i mig.

1. b) L'equip forestal considera que els pins són "adults" quan superen els $5\text{ metres}$. Quants anys han de passar des del trasplantament perquè assoleixin aquesta altura segons l'extrapolació lineal?

1. c) Si el pi mesurava $40\text{ cm}$ en el moment del trasplantament ($t = 0$), comprova si el model lineal dels apartats anteriors s'ajusta a aquesta dada inicial. En cas negatiu, explica què podria estar passant biològicament.

La factura de gas d'una comunitat de veïns té un terme variable que depèn del consum en $kWh$. Al gener, amb un consum de $2500\text{ kWh}$, la factura total (incloent-hi un terme fix) va ser de $310\text{ €}$. Al febrer, el consum va baixar a $1800\text{ kWh}$ i la factura va ser de $233\text{ €}$.

1. a) Calcula el preu de cada $kWh$ i el valor del terme fix de la factura utilitzant interpolació lineal.

1. b) Estima la factura per a un consum de $3000\text{ kWh}$.

1. c) A causa d'una nova taxa municipal, el terme fix augmentarà un $15\%$ i el preu per $kWh$ un $5\%$. Escriu la nova funció de cost i compara-la gràficament amb l'anterior.

Dues magnituds $X$ i $Y$ estan relacionades de forma lineal. Se sap que per a $x_1 = 12$ s'obté $y_1 = 40$, i que per a $x_2 = 20$ s'obté $y_2 = 30$. La figura mostra aquestes dues dades i la zona en què la relació és vàlida.

1. a) Determina el valor de $y$ per a $x = 15$ mitjançant interpolació lineal.

1. b) Troba el valor de $x$ per al qual $y$ s'anul·la ($y = 0$). Pertany aquest valor a la zona de validesa?

1. c) Si se sap que aquesta relació lineal només és vàlida a l'interval $x \in [10, 30]$, calcula els valors màxim i mínim que pot prendre la magnitud $Y$ en aquest interval.

Les lleis d'oferta i demanda d'un producte s'han modelat linealment a partir de les dades següents recollides en un estudi de mercat:

• A un preu de $15\text{ €}$, s'ofereixen $200$ unitats i es demanen $500$.

• A un preu de $25\text{ €}$, s'ofereixen $400$ unitats i es demanen $300$.

1. a) Calcula les funcions d'oferta $O(p)$ i demanda $D(p)$ mitjançant interpolació lineal.

1. b) Troba el preu d'equilibri (on l'oferta és igual a la demanda) i la quantitat d'equilibri.

1. c) Si el govern imposa un preu màxim de $18\text{ €}$, hi haurà excés d'oferta o escassetat de demanda? Calcula la diferència exacta d'unitats.

Un corredor de marató manté un ritme constant durant un tram del seu entrenament. Al quilòmetre 5 de la seva ruta, el cronòmetre marcava 22 minuts i 30 segons. Al quilòmetre 12, el temps transcorregut era de 54 minuts. La figura mostra aquestes dues dades.

1. a) Expressa el temps $T$ (en minuts) en funció de la distància $d$ (en quilòmetres) suposant que el ritme és constant.

1. b) Calcula, mitjançant interpolació, en quin quilòmetre es trobava el corredor quan el cronòmetre marcava exactament 45 minuts.

1. c) Si el corredor va començar la marató al quilòmetre 0, quant de temps va trigar a fer els primers 500 metres? Utilitza l'extrapolació i expressa el resultat en minuts i segons.

La figura mostra els punts $(0, 2)$, $(1, 5)$ i $(2, 10)$, la recta que interpola els dos primers i la paràbola que interpola tots tres.

1. a) Troba la recta d'interpolació lineal que passa per $(0, 2)$ i $(1, 5)$.

1. b) Troba la paràbola $y = ax^{2} + bx + c$ que passa per tots tres punts.

1. c) Calcula la predicció de cada model per a $x = 3$ i la seva diferència. Si les dades fossin l'import d'una factura elèctrica que creix cada vegada més de pressa pels trams de consum, quin model et sembla més fiable? Raona la resposta.

Demostra que per tres punts d'abscisses distintes $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ i $(x_3, y_3)$ passa una única funció polinòmica de grau menor o igual que $2$.

1. a) Planteja el sistema de tres equacions amb incògnites $a$, $b$ i $c$ que resulta d'imposar que $y = ax^{2} + bx + c$ passi per tots tres punts.

1. b) Justifica que el sistema és compatible determinat calculant el seu determinant (o discutint el sistema) i usant que les abscisses són diferents.

1. c) Explica per què el «grau menor o igual que $2$» inclou la possibilitat que la solució sigui una recta: quina condició complirien aleshores tots tres punts?

Un dia d'estiu s'han mesurat les temperatures d'una ciutat: a les $8$ h, $12$ °C; a les $14$ h, $24$ °C; a les $20$ h, $18$ °C.

1. a) Prenent $t = 0$ a les $8$ h, troba la paràbola $T(t) = at^{2} + bt + c$ que interpola les tres dades.

1. b) Segons el model, a quina hora es va assolir la temperatura màxima i quant va valer?

1. c) Quina temperatura prediu el model per a les $2$ h de la matinada següent ($t = 18$)? És raonable? Comenta els límits de la interpolació quan s'utilitza per extrapolar fora del rang de les dades.

L'anuari de mobilitat sostenible recull les matriculacions acumulades de turismes $100\text{ \%}$ elèctrics (en milers de vehicles) en una comunitat autònoma durant tres períodes: el 2018 ($t = 0$) hi havia $12$ mil vehicles; el 2020 ($t = 2$), $20$ mil vehicles; i el 2022 ($t = 4$), $36$ mil vehicles. Es vol estudiar l'evolució del parc automobilístic per estimar les xifres del 2021 ($t = 3$) i del 2024 ($t = 6$).

1. a) Mètode lineal a trossos: calcula la recta d'interpolació que uneix únicament els dos punts més propers disponibles ($t = 2$ i $t = 4$) i estima el nombre de matriculacions el 2021 ($t = 3$).
2. b) Mètode quadràtic global: planteja el sistema d'equacions per trobar la paràbola d'interpolació $P(t) = at^2 + bt + c$ que passa pels tres punts coneguts ($t = 0$, $t = 2$ i $t = 4$). Troba l'estimació per al 2021 ($t = 3$) amb aquest model.
3. c) Compara ambdós resultats per al 2021 ($t = 3$). Per què l'estimació lineal és superior a la quadràtica en aquest punt? Tenint en compte que la transició al vehicle elèctric presenta una acceleració progressiva en les seves primeres fases, justifica quin dels dos mètodes descriu millor la tendència entre 2020 i 2022.
4. d) Utilitza ambdós models per extrapolar el nombre de matriculacions el 2024 ($t = 6$). Discuteix quin dels dos mètodes sembla més creïble per al curt termini ($2024$) i argumenta quins problemes presentaran ambdós models si es pretén projectar la demanda a molt llarg termini (per exemple, a $15$ anys vista).

Una empresa tèxtil espanyola estudia dos contractes de subministrament elèctric per esmorteir l'impacte del cost del megawatt hora ($\text{MWh}$) al mercat majorista (preu del pool, $p$, expressat en $\text{\euro/MWh}$):

• Contracte Indexat: factura mensualment segons una llei lineal $C_I(p) = mp + n$. A partir de factures anteriors, l'empresa sap que un mes amb un preu mitjà del pool de $50\text{ \euro/MWh}$ la factura va ser de $2400\text{ \euro}$, mentre que un mes amb $90\text{ \euro/MWh}$ va ascendir a $3200\text{ \euro}$.

• Contracte amb Cobertura: ofereix una tarifa plana garantida de $3200\text{ \euro}$ mensuals sempre que el preu del pool no superi els $80\text{ \euro/MWh}$. Si el pool supera aquesta cota ($p > 80$), la comercialitzadora aplica un sobrecost lineal; se sap que si el pool arriba als $120\text{ \euro/MWh}$, la factura resultant és de $3600\text{ \euro}$.

1. a) Obtén per interpolació lineal l'expressió de la funció $C_I(p)$ per al Contracte Indexat.
2. b) Determina la funció de cost $C_C(p)$ del Contracte amb Cobertura per a preus $p > 80\text{ \euro/MWh}$, interpolant la recta que connecta el llindar de la cobertura ($p = 80$, $C = 3200$) amb la dada registrada a $p = 120\text{ \euro/MWh}$.
3. c) Calcula el preu d'equilibri del pool ($p > 80$) en què ambdós contractes tenen un cost idèntic. Interpreta detalladament per a quin interval de preus majoristes li resulta més convenient a l'empresa tèxtil contractar la modalitat amb cobertura.
4. d) Durant un mes de crisi energètica excepcional, el preu mitjà del pool s'enfila a $180\text{ \euro/MWh}$. Calcula la factura predita per ambdós models. Justifica si aquest càlcul suposa una interpolació o una extrapolació i analitza críticament quins riscos assumeix la direcció de l'empresa si pressuposta els seus costos basant-se cegament en aquests models lineals en escenaris extrems.