Exercicis: Domini; recorregut; simetria; periodicitat; interseccions i signe

Un dispositiu intel·ligent registra el nivell de bateria d'un telèfon mòbil al llarg d'un matí. La funció $B(t)$ representa el percentatge de càrrega en funció del temps $t$ (en hores) transcorregut des de les 8:00 h.

Observant la gràfica, indica:

1. El domini de la funció (interval de temps registrat).

2. El recorregut o imatge (valors mínim i màxim de bateria).

3. En quins moments la bateria es manté constant?

Determina el domini de definició de les funcions analítiques següents:

1. $f(x) = \frac{x + 5}{x - 4}$

2. $g(x) = x^2 - 3x + 2$

3. $h(x) = \sqrt{x - 3}$

Troba els punts d'intersecció amb els eixos de coordenades per a la funció quadràtica que representa el benefici d'una petita botiga de samarretes:

$B(x) = -x^2 + 6x - 5$

(On $x$ és el preu en euros i $B(x)$ el benefici en centenars d'euros).

Estudia la simetria (parell, senar o cap) de les funcions següents mitjançant el càlcul de $f(-x)$:

1. $f(x) = x^4 + 3x^2$

2. $g(x) = x^3 - x$

3. $h(x) = \frac{2}{x}$

Donada la gràfica següent que representa el ritme respiratori d'un esportista en repòs (volum d'aire en litres respecte del temps en segons), identifica raonadament si la funció és periòdica i, en cas afirmatiu, indica quin és el seu període.

Estudia el signe de la funció lineal $f(x) = 3x - 9$. Per a fer-ho:

1. Calcula el punt on la funció s'anul·la (punt de tall amb l'eix $X$).

2. Indica en quin interval de $x$ la funció és positiva ($f(x) > 0$) i en quin és negativa ($f(x) < 0$).

Determina el domini de les funcions logarítmiques següents recordant que l'argument ha de ser estrictament més gran que zero:

1. $f(x) = \log(x + 2)$

2. $g(x) = \ln(6 - 2x)$

A partir de la gràfica de la funció $f(x)$ que es mostra a continuació, determina:

1. a) El valor de les interseccions amb l'eix $Y$ i amb l'eix $X$.

1. b) Els intervals on la funció és positiva.

Tipus: ERROR D'ALTRI

En un examen de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials, el professor va demanar calcular el domini i els punts de tall amb els eixos de la funció $f(x) = \frac{x - 3}{\sqrt{2x - 8}}$.

En Marcos va lliurar la següent resolució:

• Domini: Com que hi ha una arrel quadrada, necessito que $2x - 8 \ge 0$, d'on $2x \ge 8 \implies x \ge 4$. Per tant, $\text{Dom}(f) = [4, +\infty)$.

• Talls amb els eixos: Per al tall amb l'eix $Y$, faig $f(0) = \frac{0 - 3}{\sqrt{0 - 8}} = \frac{-3}{\sqrt{-8}}$, que no existeix, per tant no talla l'eix $Y$. Per al tall amb l'eix $X$, igualo el numerador a zero: $x - 3 = 0 \implies x = 3$, de manera que el punt de tall és $(3, 0)$.

La teva tasca:

1. Identifica els dos errors conceptuals comesos per en Marcos (un en el domini i un altre en els punts de tall).

2. Explica de manera raonada per què estan malament les seves deduccions.

3. Proporciona la resolució corregida amb el domini exacte i la conclusió correcta sobre els talls amb els eixos.

Tipus: PROBLEMA INVERS

Una consultora d'estudis de mercat necessita definir una funció racional elemental de la forma:

$$f(x) = \frac{a \cdot x + b}{x + c}$$

per modelitzar el nivell de satisfacció dels clients en funció del temps d'espera $x$ (en minuts).

Perquè el model sigui coherent amb les observacions de camp, la funció ha de satisfer simultàniament aquestes tres condicions:

1. El seu domini matemàtic ha de ser $\mathbb{R} \setminus \{3\}$.

2. Talla l'eix d'abscisses ($X$) en el punt $(-2, 0)$.

3. Talla l'eix d'ordenades ($Y$) en el punt $(0, 4)$.

Fes les següents tasques:

1. Dedueix pas a pas i de manera justificada els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$.

2. Explica per què el valor obtingut per a $c$ garanteix que només hi hagi un valor exclòs del domini.

3. Un cop obtinguda la funció, raona si és possible que talli l'eix $X$ en algun altre punt diferent de $(-2, 0)$ sense necessitat de tornar a operar.

Donada la funció analítica $f(x) = \frac{\sqrt{x+5}}{x^2 - 16}$, realitza les tasques següents:

1. Determina el domini de definició de la funció, expressant el resultat en forma d'interval.

2. Calcula els punts d'intersecció amb els eixos de coordenades.

3. Estudia el signe de la funció en el seu domini.

Un sismògraf ha registrat la intensitat d'una rèplica després d'un petit terratrèmol. La gràfica de la intensitat $I$ (en graus) respecte del temps $t$ (en minuts) ve donada per la imatge següent:

A partir de la gràfica, identifica:

1. El domini i el recorregut (imatge) de la funció.

2. Els intervals on la intensitat és positiva.

3. Existeix cap moment en què la intensitat sigui nul·la? Indica els valors de $t$.

Determina algebraicament si les funcions següents presenten algun tipus de simetria (parell, senar o cap):

1. a) $f(x) = \frac{3x^2}{x^4 + 5}$

1. b) $g(x) = \frac{x^3 - x}{x^2 + 1}$

1. c) $h(x) = 2x^2 - 3x + 1$

Una plataforma de streaming ofereix dos plans mensuals. El pla "Premium" costa 15 € fixos al mes i inclou 100 hores de contingut. A partir de l'hora 100, l'usuari ha de pagar 0,50 € per cada hora addicional.

1. Escriu l'expressió analítica de la funció definida a trossos que relaciona el cost mensual $C$ amb les hores de visualització $h$.

2. Representa gràficament la funció.

3. Determina el recorregut de la funció si el màxim d'hores que un usuari pot visualitzar al mes és de 300.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

L'altura d'una cabina en una sínia respecte del terra, en metres, ve donada per una funció periòdica. Observa l'esquema d'un cicle complet:

Si la sínia triga 8 minuts a fer una volta completa i l'altura mínima és de 2 metres i la màxima de 25 metres:

1. Indica quin és el període de la funció.

2. Determina el recorregut de la funció altura.

3. Si comencem a comptar el temps en el punt més baix, quina serà l'altura als 4 minuts? I als 12 minuts?

Estudia els punts de tall amb els eixos i el signe de la funció logarítmica:

$$f(x) = \log_{2}(x^2 - 3)$$

Nota: Recorda que per estudiar el signe has de tenir en compte el domini de la funció.

Donada la funció $f(x) = \frac{2x - 6}{x + 3}$, calcula:

1. El seu domini de definició.

2. Les interseccions amb els eixos $OX$ i $OY$.

3. Troba el valor de $x$ per al qual la imatge és $y = 1$.

4. Raona si el valor $y = 2$ pertany al recorregut de la funció.

Analitza la funció definida a trossos següent:

$$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{si } x < -2 \\ x^2 - 2 & \text{si } -2 \leq x \leq 2 \\ 2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

1. Calcula $f(-4)$, $f(0)$ i $f(5)$.

2. Estudia la continuïtat en els punts de salt $x = -2$ i $x = 2$.

3. Determina els intervals on la funció té signe negatiu.

Tipus: MODELITZA

A la badia de Santander, l'alçària del nivell del mar varia de manera periòdica per l'acció de les marees. A partir dels registres de mareògrafs de Ports de l'Estat, l'alçària $h(t)$ de l'aigua en metres, transcorregudes $t$ hores des de les 00:00 h d'un determinat dia, s'aproxima mitjançant la funció:

$$h(t) = 3 + 1,8 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6} \cdot t\right), \quad t \in [0, 24]$$

Respon raonadament a les següents qüestions:

1. Justifica per què es tracta d'una funció periòdica i calcula el seu període $T$. Quina interpretació física té aquest valor en el cicle diari de marees?

2. Determina el recorregut o imatge de la funció, $\text{Im}(h)$, indicant raonadament l'alçària màxima (pleamar) i l'alçària mínima (baixamar).

3. Perquè els vaixells d'esbarjo puguin entrar a la dàrsena amb seguretat, cal una profunditat mínima de $2,1\text{ m}$. Planteja laTarget inekuació corresponent i determina, estudiant el signe de $h(t) - 2,1$, durant quin interval de temps entre les 00:00 h i les 12:00 h és segur realitzar la maniobra d'entrada.

Tipus: ESTIMA I COMPROVA

El balanç econòmic relatiu d'una cooperativa vinícola ve expressat per la funció $g(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 + 1}$, on $x \ge 0$ representa el volum de raïm processat (en centenars de tones).

1. Estima intuïtivament:

2. Si $x = 0$, quin signe tindrà el balanç inicial?

3. Si processen quantitats descomunals de raïm ($x$ molt gran), creus que el balanç podrà créixer indefinidament fins a l'infinit o tendirà a estabilitzar-se al voltant d'algun nombre concret? Justifica la teva intuïció observant els graus del numerador i del denominador.

4. A partir d'això, escriu una hipòtesi prèvia sobre quin serà el recorregut aproximat de $g(x)$.

5. Comprova amb rigor:

6. Determina el domini de $g(x)$ si es definís per a tot $\mathbb{R}$ i justifica si presenta simetria parella o senar.

7. Calcula analíticament els punts de tall amb els eixos i indica els intervals de signe positiu ($g(x) > 0$) i negatiu ($g(x) < 0$) per a $x \ge 0$.

8. Aïlla $x$ a partir de la igualtat $y = \frac{x^2 - 9}{x^2 + 1}$ per calcular formalment el recorregut exacte de $g(x)$ per a $x \in \mathbb{R}$. Contrasta aquest resultat formal amb la teva estimació prèvia i explica el significat del sostre o cota superior que has obtingut.

Un equip de biòlegs està estudiant la viabilitat d'una població de microorganismes en un entorn controlat. La taxa de creixement potencial de la colònia, en funció de la temperatura de l'aigua $x$ (en graus Celsius), ve modelada per l'expressió:

$$f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 16}}{\ln(x - 5)}$$

Determina de manera raonada el domini de definició d'aquesta funció, tenint en compte les restriccions de l'arrel quadrada, del logaritme neperià i del denominador de la fracció. Interpreta el resultat indicant a partir de quina temperatura és possible començar l'experiment.

Considera la funció $f(x) = \frac{ax^3 + bx}{x^2 + k}$. Troba els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $k$ sabent que es compleixen simultàniament les condicions següents:

1. La funció és senar.

2. Té una asímptota vertical en la recta $x = 2$.

3. La gràfica de la funció talla l'eix d'abscisses en el punt $(3, 0)$.

4. Presenta una asímptota obliqua el pendent de la qual és $m = 2$.

Justifica algebraicament si, amb els valors obtinguts, la funció presenta alguna simetria addicional respecte de l'origen.

El valor de mercat d'una nova criptomoneda durant les seves primeres 24 hores de llançament s'ha comportat segons la següent funció definida a trossos, on $t$ representa el temps en hores i $V(t)$ el valor en euros:

$$V(t) = \begin{cases} 2^t - 1 & \text{si } 0 \leq t < 4 \\ \dfrac{24t - 36}{t + 2} & \text{si } 4 \leq t \leq 24 \end{cases}$$

1. a) Estudia la continuïtat de la funció en el punt de ruptura $t = 4$.

1. b) Determina el recorregut (imatge) de la funció en l'interval complet $[0, 24]$.

1. c) Troba els intervals de signe (quan el valor és positiu) i els punts d'intersecció amb els eixos.

La temperatura mitjana $T$ (en ºC) d'una ciutat costanera al llarg d'un any es pot aproximar mitjançant una funció periòdica. Se sap que la temperatura mínima és de $8^\circ\text{C}$ (assolida a principis de gener, $t=0$) i la màxima de $28^\circ\text{C}$ (assolida a principis de juliol, $t=6$). La funció respon al model:

$$T(t) = A \cdot \cos(Bt) + C$$

1. a) Determina els valors de $A$, $B$ i $C$ sabent que el període és de 12 mesos.
2. b) Calcula en quins mesos de l'any la temperatura és superior a $23^\circ\text{C}$ (intervals de signe de la diferència $T(t) - 23$).
3. c) Indica els punts d'intersecció de la funció amb la recta horitzontal $y = 18$.

Sigui la funció $f(x) = |x^2 - 2x - 3|$.

1. a) Expressa la funció com una funció definida a trossos eliminant el valor absolut.

1. b) Troba els punts d'intersecció amb els eixos i estudia el signe de la funció original.

1. c) Determina el domini i el recorregut de la funció. És la funció simètrica respecte a la recta $x = 1$? Justifica la teva resposta.

Donada la funció racional $g(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - 5x + 6}$:

1. a) Determina el seu domini. Para atenció especial als punts on el numerador també s'anul·la.
2. b) Identifica les asímptotes (verticals, horitzontals o obliqües) i estudia la posició de la corba respecte d'aquestes.
3. c) Troba el recorregut de la funció analitzant si existeix cap valor de $y$ que no pugui ser assolit.
4. d) Estudia els intervals on la funció és positiva i on és negativa.

Un analista financer utilitza la funció $P(x) = \log_2(x^2 - kx + 9)$ per predir el comportament d'un índex borsari.

1. a) Per a quins valors del paràmetre $k$ el domini de la funció és tot el conjunt dels nombres reals $\mathbb{R}$?
2. b) Si $k = 6$, determina el domini de la funció i les interseccions amb l'eix OX.
3. c) Per a $k = 0$, estudia la simetria de la funció i explica si és parell, senar o cap de les dues.

Dibuixa la gràfica aproximada d'una funció $f(x)$ que compleixi simultàniament totes aquestes propietats:

1. El seu domini és $\mathbb{R} - \{-2, 2\}$.

2. És una funció parella.

3. Té asímptotes verticals a $x = -2$ i $x = 2$, tals que $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ i $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$.

4. Té una asímptota horitzontal a $y = 1$ quan $x \to \infty$.

5. Els punts d'intersecció amb l'eix OX són $(-1, 0)$ i $(1, 0)$, i no talla l'eix OX en cap altre punt.

6. El punt d'intersecció amb l'eix OY és $(0, -2)$.

Una vegada esbossada, indica raonadament els intervals de signe de la funció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Tipus: TRIA EL MÈTODE

Per analitzar una funció econòmica complexa, dos estudiants han d'estudiar la simetria i el signe de la funció:

$$f(x) = \frac{\ln(x^2 - 3)}{x}$$

• Mètode d'Álvaro (força bruta analítica): Calcula algebraicament $f(-x)$ substituint directament la variable. Després, per estudiar el signe, troba totes les arrels del numerador resolent $\ln(x^2 - 3) = 0$, les del denominador $x = 0$ i les fronteres d'existència de l'arrel/logaritme, construint una taula amb 6 intervals sobre la recta real.

• Mètode de Lucía (propietats estructurals i descomposició): Observa primer que el numerador $N(x) = \ln(x^2 - 3)$ és una funció parella i el denominador $D(x) = x$ és una funció senar. A partir de la regla del quocient de funcions amb simetria, dedueix immediatament el tipus de simetria global de $f(x)$. Argumenta que, gràcies a aquesta simetria, només cal estudiar els talls i el signe a la semirecta positiva del domini i després reflectir les conclusions cap a la semirecta negativa.

Respon als apartats següents:

1. Determina amb rigor el domini de $f(x)$. Per què el punt $x = 0$ queda fora de la funció abans fins i tot de comprovar que anul·la el denominador?

2. Avalua la validesa matemàtica del mètode de Lucía: demostra formalment que el quocient d'una funció parella entre una de senar dona com a resultat una funció senar ($f(-x) = -f(x)$).

3. Justifica quin dels dos mètodes minimitza el treball algebraic i redueix la probabilitat de cometre errors de signe. Aplica el mètode més eficient per determinar els intervals on $f(x) > 0$ i on $f(x) < 0$.

Tipus: MODELITZA

Una empresa de missatgeria urgent a Espanya desitja actualitzar la seva estructura de preus per a paquets pesants. La tarifa de facturació $C(x)$ (en euros) en funció de la massa $x$ del paquet (en quilograms, amb $x > 0$) ha de respondre al següent model a trossos:

$$C(x) = \begin{cases} a + \sqrt{b \cdot x} & \text{si } 0 < x \le 4 \\[2mm] \dfrac{k \cdot x}{x - 2} & \text{si } x > 4 \end{cases}$$

El departament financer imposa tres condicions obligatòries:

• Enviar un paquet d'$1\text{ kg}$ costa $7\text{ €}$.

• Enviar un paquet de $4\text{ kg}$ costa $10\text{ €}$.

• La tarifa no ha de presentar salts bruscos: el valor del cost ha de coincidir a la frontera dels dos trams ($x = 4$).

Dissenya i analitza el model duent a terme les tasques següents:

1. Determina de manera raonada els valors de les constants $a$, $b$ i $k$.

2. Analitza el domini de la funció en el seu context real. Al segon tram apareix un denominador que s'anul·la en $x = 2$; raona si aquest valor genera o no una discontinuïtat o asímptota en la funció de tarifa $C(x)$.

3. Estudia el recorregut de $C(x)$ per a tot $x > 0$. A partir d'aquest recorregut, argumenta si un client podria arribar a pagar mai una factura de $20\text{ €}$ per un paquet extremadament pesant, o si existeix un cost límit superior que no se sobrepassarà mai.

4. Té sentit matemàtic estudiar si aquesta funció és parella o senar? Justifica la teva resposta atenent exclusivament a la definició formal de simetria i al domini de definició de $C(x)$.