Recta de regresión

Un grupo de estudiantes de 1.º de Bachillerato ha realizado un estudio sobre la relación entre el tiempo diario (en horas) que pasan utilizando una conocida red social de vídeos cortos ($X$) y el porcentaje de batería que les queda en el móvil al final del día ($Y$). Los datos obtenidos de 6 compañeros son los siguientes:

a) Calcula el centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.

b) Halla la covarianza $\sigma_{xy}$ y el coeficiente de correlación lineal $r$. Interpreta el resultado obtenido en cuanto al signo y la fuerza de la relación.

c) Determina la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

d) Si un alumno utiliza la red social durante 2,5 horas, ¿qué porcentaje de batería se estima que le quedará? ¿Es fiable esta predicción? Justifica tu respuesta basándote en el coeficiente de determinación $r^2$.

Un estudio sobre hábitos de estudio en 1º de Bachillerato analiza la relación entre el número de horas semanales dedicadas a la lectura, $X$, y la nota obtenida en el examen de Lengua, $Y$. La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es:

$y = 0,65x + 3,2$

1. a) Justifica si la correlación entre ambas variables es positiva o negativa.
2. b) Si un alumno le dedica $8$ horas semanales a la lectura, ¿qué nota se estima que obtendrá en el examen?

Las notas de 50 alumnos en Economía ($X$) y Geografía ($Y$) tienen una media de 6,5 en ambas asignaturas. La varianza de Economía es 4 y la de Geografía es 2,25. Se sabe que el coeficiente de correlación es $r = 0,8$.

1. Si un alumno ha obtenido un 4 en Economía, estima su nota en Geografía.

2. Si otro alumno ha obtenido un 9 en Geografía, estima su nota en Economía utilizando la recta de regresión pertinente.

3. Compara ambas estimaciones y explica por qué no se puede utilizar la misma recta para ambos casos si queremos minimizar el error cuadrático medio.

En un estudio sobre hábitos de sueño y rendimiento académico, se obtuvieron las siguientes rectas de regresión para las variables $X$ (horas de sueño diarias) e $Y$ (nota media en el trimestre):

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,65x + 3,2$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 1,15y - 0,45$

a) Sabiendo que ambas rectas se cortan en el centro de gravedad de la distribución, calcula la media de horas de sueño ($\bar{x}$) y la nota media de los alumnos ($\bar{y}$).

b) Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$ a partir de las pendientes de ambas rectas.

c) Indica razonadamente si la correlación es directa o inversa y si es fuerte o débil.

Un entrenador de atletismo analiza la relación entre la estatura de sus atletas en cm ($X$) y la longitud de su zancada en cm ($Y$). Los datos de 5 atletas son: (160, 110), (170, 120), (175, 125), (180, 132) y (190, 145).

a) Obtén la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

b) ¿Qué longitud de zancada se esperaría de un atleta que mide 185 cm?

c) Calcula el error de predicción (residuo) para el atleta que mide 180 cm. El error se define como la diferencia entre el valor real y el estimado por la recta: $e = y_i - \hat{y}_i$.

d) Si el coeficiente de correlación fuera $r = 0,98$, ¿qué podrías afirmar sobre la fiabilidad de las predicciones del entrenador?

En una tabla de contingencia que relaciona el nivel de estudios ($X$) y los ingresos ($Y$) de una muestra, se han perdido algunos datos. Conocemos los siguientes parámetros:

$\bar{x} = 3$; $\bar{y} = 2\,400$; $s_x^2 = 1,2$; $s_y^2 = 160\,000$ y la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 300x + 1\,500$.

1. Calcula el coeficiente de determinación $R^2$ e interpreta el porcentaje de la varianza de los ingresos que queda explicada por el nivel de estudios.

2. Si un individuo tiene un nivel de estudios de $X=5$ y sus ingresos reales son de $3\,200$ €, calcula el error de predicción (residuo) que comete la recta.

Un centro de adopción de mascotas quiere predecir el tiempo que tarda un perro en ser adoptado ($Y$, en días) en función de su edad ($X$, en años). Han recogido datos de 10 perros y han obtenido una correlación de $r = 0,85$. La media de edad es de 4 años y la de días hasta la adopción es de 25 días. La desviación típica de la edad es de 2 años y la de los días es de 10 días.

a) Obtén la ecuación de la recta de regresión.

b) Estima cuánto tiempo tardará en ser adoptado un cachorro de 0,5 años.

c) Estima cuánto tiempo tardará un perro senior de 12 años.

d) De las dos estimaciones anteriores, indica cuál es más fiable y por qué, teniendo en cuenta el rango de los datos originales (edades entre 1 y 8 años).

Un sociólogo analiza la relación entre el tiempo semanal dedicado a ver la televisión ($X$, en horas) y la capacidad de concentración en un test específico ($Y$, escala de 0 a 100). Los datos de 10 adolescentes arrojaron los siguientes resultados parciales:

$\sum x_i = 150$; $\sum y_i = 620$; $\sum x_i^2 = 2\,850$; $\sum y_i^2 = 41\,500$; $\sum x_iy_i = 8\,400$.

Se pide:

1. Hallar la covarianza $s_{xy}$ y el coeficiente de correlación $r$.

2. Obtener la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

3. Un alumno dedica 40 horas semanales a ver la televisión. Calcula su puntuación estimada en el test. Analiza si esta estimación es una interpolación o una extrapolación y discute su validez real en el contexto del problema.