Exercicis: Recta de regressió

Observa els núvols de punts següents que representen la relació entre dues variables estadístiques. Associa raonadament cadascun dels valors del coeficient de correlació de Pearson, $r$, amb el seu gràfic corresponent:

Valors de $r$: $0,95$; $-0,85$; $0,05$.

Un estudi sobre hàbits d'estudi a 1r de Batxillerat analitza la relació entre el nombre d'hores setmanals dedicades a la lectura, $X$, i la nota obtinguda en l'examen de Llengua, $Y$. La recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és:

$y = 0,65x + 3,2$

1. a) Justifica si la correlació entre totes dues variables és positiva o negativa.
2. b) Si un alumne dedica $8$ hores setmanals a la lectura, quina nota s'estima que obtindrà en l'examen?

En una distribució bidimensional, es sap que la mitjana de la variable $X$ és $\bar{x} = 12$ i la mitjana de la variable $Y$ és $\bar{y} = 15$.

1. a) Quines són les coordenades del centre de gravetat d'aquesta distribució?
2. b) Si la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 0,8x + a$, calcula el valor de l'ordenada en l'origen $a$ sabent que la recta ha de passar obligatòriament pel centre de gravetat.

Indica, per a cadascuna de les parelles de variables següents, si esperes que tinguin una correlació positiva, negativa o nul·la:

1. El nombre de quilòmetres recorreguts per un cotxe i el combustible que li queda al dipòsit.

2. L'alçària d'una persona i la seva nota en l'examen de Matemàtiques.

3. Els ingressos mensuals d'una família i la despesa en oci i cultura.

4. El temps que un esportista entrena al dia i la seva marca personal (temps emprat) en una cursa.

Un nutricionista analitza la relació entre el pes d'un grup d'adolescents ($X$, en kg) i la seva estatura ($Y$, en cm). Les dades recollides tenen un coeficient de correlació de $r = 0,92$ i la recta de regressió és $y = 1,4x + 85$.

Explica el significat del pendent ($1,4$) en el context del problema i valora la fiabilitat de les prediccions que es realitzin amb aquesta recta.

S'ha mesurat el temps de càrrega d'una bateria de mòbil ($X$, en minuts) i el percentatge de càrrega assolit ($Y$, en %). Els resultats es mostren en el gràfic següent:

Si l'equació de la recta taronja és $y = 1,5x + 5$:

1. a) Estima el percentatge de càrrega després de $60$ minuts.
2. b) És una relació funcional o estadística? Raona la teva resposta observant la posició dels punts respecte a la línia.

Donada la taula de valors següent d'una variable bidimensional:

$X$	$2$	$4$	$6$	$8$
$Y$	$10$	$18$	$22$	$30$

1. a) Calcula el centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) Representa els punts en un petit núvol de punts manual i dedueix el signe de la covariància $\sigma_{xy}$ sense realitzar el càlcul complet.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de missatgeria sap que el cost d'una tramesa, $Y$ (en euros), depèn del pes del paquet, $X$ (en kg), segons la recta de regressió $y = 2,5x + 5$.

Si el coeficient de correlació és $r = 0,98$, quina de les afirmacions següents és correcta?

1. Per cada quilograma d'augment en el pes, el cost augmenta exactament $2,5$ euros.

2. Les prediccions fetes per a paquets d'un pes similar als estudiats seran molt fiables.

3. Si un paquet pesa $0$ kg, el cost serà obligatòriament de $0$ euros.

4. La relació entre el pes i el cost és inversa.

Un grup d'estudiants de 1r de Batxillerat ha realitzat un estudi sobre la relació entre el temps diari (en hores) que passen utilitzant una coneguda xarxa social de vídeos curts ($X$) i el percentatge de bateria que els queda al mòbil al final del dia ($Y$). Les dades obtingudes de 6 companys són les següents:

Hores d'ús ($X$)	1,5	2	3	3,5	4	5
% Bateria ($Y$)	75	68	50	45	32	20

a) Calcula el centre de gravetat de la distribució $(\bar{x}, \bar{y})$.

b) Troba la covariància $\sigma_{xy}$ i el coeficient de correlació lineal $r$. Interpreta el resultat obtingut pel que fa al signe i la força de la relació.

c) Determina l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

d) Si un alumne utilitza la xarxa social durant 2,5 hores, quin percentatge de bateria s'estima que li quedarà? És fiable aquesta predicció? Justifica la teva resposta basant-te en el coeficient de determinació $r^2$.

Una empresa de missatgeria va analitzar la relació entre la distància recorreguda (en km) pels seus repartidors en bicicleta ($X$) i el nombre de calories cremades segons els seus dispositius intel·ligents ($Y$). Després de calcular els paràmetres estadístics, es van obtenir els valors següents:

$\bar{x} = 15 \text{ km}$; $\bar{y} = 480 \text{ kcal}$

$\sigma_x = 4,2$; $\sigma_y = 120$

$\sigma_{xy} = 453,6$

a) Calcula el coeficient de correlació lineal i indica quin tipus de dependència existeix entre les variables.

b) Troba la recta de regressió de les calories cremades ($Y$) en funció de la distància recorreguda ($X$).

c) Quantes calories s'estima que cremarà un repartidor que recorre 22 km?

d) Si un repartidor vol cremar aproximadament 600 kcal, quants quilòmetres hauria de recórrer segons la recta de regressió de $X$ sobre $Y$?

S'ha realitzat una enquesta a un grup d'adolescents sobre el nombre de seguidors que tenen en una plataforma ($X$, en centenars) i el nombre mitjà de "m'agrada" que reben per publicació ($Y$). Les dades es resumeixen en la taula següent:

Seguidors ($X$)	2	4	6	8	10
Likes ($Y$)	45	92	135	180	220

a) Representa el núvol de punts i traça de manera aproximada a mà alçada la recta de regressió.

b) Calcula els coeficients de la recta de regressió $y = mx + n$.

c) Quin és el significat físic del pendent $m$ en aquest context?

d) Calcula el coeficient de determinació $r^2$ i explica quin percentatge de la variació dels "m'agrada" queda explicat pel nombre de seguidors.

En un estudi sobre hàbits de son i rendiment acadèmic, es van obtenir les rectes de regressió següents per a les variables $X$ (hores de son diàries) i $Y$ (nota mitjana en el trimestre):

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,65x + 3,2$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 1,15y - 0,45$

a) Sabent que totes dues rectes es tallen en el centre de gravetat de la distribució, calcula la mitjana d'hores de son ($\bar{x}$) i la nota mitjana dels alumnes ($\bar{y}$).

b) Calcula el coeficient de correlació lineal $r$ a partir dels pendents de totes dues rectes.

c) Indica raonadament si la correlació és directa o inversa i si és forta o feble.

Un entrenador d'atletisme analitza la relació entre l'alçada dels seus atletes en cm ($X$) i la longitud de la seva passada en cm ($Y$). Les dades de 5 atletes són: (160, 110), (170, 120), (175, 125), (180, 132) i (190, 145).

a) Obtén la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

b) Quina longitud de passada s'esperaria d'un atleta que mesura 185 cm?

c) Calcula l'error de predicció (residu) per a l'atleta que mesura 180 cm. L'error es defineix com la diferència entre el valor real i l'estimat per la recta: $e = y_i - \hat{y}_i$.

d) Si el coeficient de correlació fos $r = 0,98$, què podries afirmar sobre la fiabilitat de les prediccions de l'entrenador?

S'ha estudiat la relació entre el preu d'una subscripció mensual a una plataforma de música ($X$, en euros) i el nombre d'hores que els usuaris escolten música al mes ($Y$). Es sap que:

• La variància de $X$ és $\sigma_x^2 = 4$.

• La variància de $Y$ és $\sigma_y^2 = 25$.

• La recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = -1,2x + 42$.

a) Determina la covariància $\sigma_{xy}$ entre totes dues variables.

b) Calcula el coeficient de correlació lineal $r$.

c) Com variaria el coeficient de correlació si decidíssim expressar el temps d'escolta en minuts en lloc d'hores? Raona la teva resposta.

Un centre d'adopció de mascotes vol predir el temps que triga un gos a ser adoptat ($Y$, en dies) en funció de la seva edat ($X$, en anys). Han recollit dades de 10 gossos i han obtingut una correlació de $r = 0,85$. La mitjana d'edat és de 4 anys i la de dies fins a l'adopció és de 25 dies. La desviació típica de l'edat és de 2 anys i la dels dies és de 10 dies.

a) Obtén l'equació de la recta de regressió.

b) Estima quant de temps trigarà a ser adoptat un cadell de 0,5 anys.

c) Estima quant de temps trigarà un gos sènior de 12 anys.

d) De les dues estimacions anteriors, indica quina és més fiable i per què, tenint en compte el rang de les dades originals (edats entre 1 i 8 anys).

Observa el núvol de punts següent que relaciona la inversió en R+D ($X$) i el benefici net anual ($Y$) de diverses empreses tecnològiques:

Sabent que la recta de regressió és $y = 2,5x + 10$ i que el coeficient de correlació és $r = 0,92$:

a) Indica raonadament si existeix una relació forta entre la inversió i els beneficis.

b) Si una empresa no inverteix gens en R+D ($x = 0$), segons el model, quin seria el seu benefici estimat? Té sentit aquest valor en la realitat?

c) Explica què passaria amb el pendent de la recta si el coeficient de correlació fos negatiu.

d) Si multipliquem tots els valors dels beneficis per 2, com canviaria el valor del coeficient de correlació $r$? Justifica la teva resposta.

En un estudi sobre el rendiment d'una nova criptomoneda, s'han analitzat les variables $X$ (inversió en publicitat en milers d'euros) i $Y$ (volum de transaccions diàries en milions d'euros). Després de processar les dades, s'han obtingut les equacions de les dues rectes de regressió:

• Recta de regressió de $Y$ sobre $X$: $y = 0,85x + 1,24$

• Recta de regressió de $X$ sobre $Y$: $x = 0,92y - 0,15$

Determina raonadament:

1. El centre de gravetat de la distribució $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. El coeficient de correlació lineal de Pearson ($r$).

3. Si es vol realitzar una inversió en publicitat de $15\,000$ €, quin seria el volum de transaccions esperat? Justifica la fiabilitat d'aquesta predicció basant-te en el coeficient de determinació.

Un sociòleg analitza la relació entre el temps setmanal dedicat a mirar la televisió ($X$, en hores) i la capacitat de concentració en un test específic ($Y$, escala de 0 a 100). Les dades de 10 adolescents van donar els resultats parcials següents:

$\sum x_i = 150$; $\sum y_i = 620$; $\sum x_i^2 = 2\,850$; $\sum y_i^2 = 41\,500$; $\sum x_iy_i = 8\,400$.

Es demana:

1. Trobar la covariància $s_{xy}$ i el coeficient de correlació $r$.

2. Obtenir la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

3. Un alumne dedica 40 hores setmanals a mirar la televisió. Calcula la seva puntuació estimada en el test. Analitza si aquesta estimació és una interpolació o una extrapolació i discuteix la seva validesa real en el context del problema.

Donada una distribució bidimensional on el coeficient de determinació és $R^2 = 0,81$, se sap que la recta de regressió d'$Y$ sobre $X$ té un pendent positiu i passa pels punts $(2, 5)$ i $(6, 11)$.

1. Calcula el coeficient de correlació de Pearson.

2. Determina la variància de la variable $Y$ si sabem que la desviació típica d'$X$ és $s_x = 2,5$.

3. Troba l'equació de la recta de regressió d'$X$ sobre $Y$ si sabem que el centre de gravetat és $(\bar{x}, \bar{y}) = (4, 8)$.

Un equip de màrqueting estudia la relació entre els "m'agrada" obtinguts en una publicació d'Instagram ($X$) i les vendes generades d'un producte ($Y$). Han observat que la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 0,04x + 150$. Tanmateix, s'adonen que les dades de vendes estaven enregistrades sense l'IVA (21%).

Si definim una nova variable $Y' = 1,21Y$ per incloure l'impost:

1. Quina serà la nova equació de la recta de regressió de $Y'$ sobre $X$?

2. Com es veurà afectat el coeficient de correlació de Pearson original? Justifica la teva resposta basant-te en les propietats de les transformacions lineals en estadística.

En una taula de contingència que relaciona el nivell d'estudis ($X$) i els ingressos ($Y$) d'una mostra, s'han perdut algunes dades. Coneixem els paràmetres següents:

$\bar{x} = 3$; $\bar{y} = 2\,400$; $s_x^2 = 1,2$; $s_y^2 = 160\,000$ i la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 300x + 1\,500$.

1. Calcula el coeficient de determinació $R^2$ i interpreta el percentatge de la variància dels ingressos que queda explicada pel nivell d'estudis.

2. Si un individu té un nivell d'estudis de $X=5$ i els seus ingressos reals són de $3\,200$ €, calcula l'error de predicció (residu) que comet la recta.

S'analitza la relació entre el nombre d'hores de llum solar diària ($X$) i el consum elèctric en calefacció ($Y$) en una gran oficina durant 12 mesos. Les dades es resumeixen en:

$\bar{x} = 9$; $\bar{y} = 450$; $s_x = 3,2$; $s_y = 85$ i $s_{xy} = -210$.

1. Calcula la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

2. Calcula la recta de regressió de $X$ sobre $Y$.

3. Explica el significat del signe de la covariància en aquest context i determina quin percentatge de la variabilitat del consum elèctric no depèn de les hores de sol.

Les notes de 50 alumnes en Economia ($X$) i Geografia ($Y$) tenen una mitjana de 6,5 en totes dues assignatures. La variància d'Economia és 4 i la de Geografia és 2,25. Se sap que el coeficient de correlació és $r = 0,8$.

1. a) Si un alumne ha obtingut un 4 en Economia, estima la seva nota en Geografia.

1. b) Si un altre alumne ha obtingut un 9 en Geografia, estima la seva nota en Economia utilitzant la recta de regressió pertinent.

1. c) Compara les dues estimacions i explica per què no es pot utilitzar la mateixa recta per a tots dos casos si volem minimitzar l'error quadràtic mitjà.

Donat el núvol de punts següent de 12 cotxes corresponent a les variables $X$ (antiguitat d'un cotxe en anys) i $Y$ (valor de mercat en milers d'euros), s'ha traçat la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ calculada amb els 12 punts, l'equació de la qual és $y = -0,88x + 14,59$. S'observa que hi ha un punt atípic a les coordenades $(1, 2)$.

1. a) Si eliminem aquest punt de la sèrie de dades, què esperaries que passés amb el valor absolut del coeficient de correlació? I amb el pendent de la recta de regressió? Justifica la teva resposta.

1. b) Amb la recta de regressió donada, $y = -0,88x + 14,59$, calcula el valor estimat per a un cotxe de 10 anys i argumenta sobre la idoneïtat d'usar aquest model per a cotxes de més de 15 anys.