Exercicis: Paràmetres i recta de regressió

Una nutricionista estudia la relació entre els grams de sucre ($X$) i les quilocalories ($Y$) de cinc tipus de barretes energètiques. Ha obtingut els paràmetres marginals següents:

• Mitjana de sucre: $\bar{x} = 12$ g

• Mitjana d'energia: $\bar{y} = 210$ kcal

• Desviacions típiques: $\sigma_x = 3$ g i $\sigma_y = 25$ kcal

• Covariància: $\sigma_{xy} = 60$

Calcula el coeficient de correlació lineal ($r$) i interpreta si existeix una relació forta entre totes dues variables.

En un estudi sobre el rendiment físic, es mesura el nombre de pulsacions en repòs ($X$) i el temps en segons que es triga a recuperar el ritme normal després d'un esforç ($Y$). Se sap que la suma dels productes de les variables és $\sum x_i y_i = 15200$, el nombre d'individus és $n = 10$, i les mitjanes són $\bar{x} = 70$ i $\bar{y} = 20$.

Utilitza la fórmula simplificada $\sigma_{xy} = \frac{\sum x_i y_i}{n} - \bar{x} \bar{y}$ per calcular la covariància. Què indica el signe del resultat sobre la relació entre les pulsacions i el temps de recuperació?

Si el coeficient de determinació d'una distribució bidimensional és $R^2 = 0,81$, calcula el valor del coeficient de correlació $r$ (suposant que la relació és directa) i explica quin percentatge de la variació de la variable $Y$ queda explicada per la variable $X$.

El "centre de gravetat" d'una distribució bidimensional és el punt format per les mitjanes de totes dues variables, denotat com a $(\bar{x}, \bar{y})$. Un grup d'amics ha anotat el temps que passen en xarxes socials al dia ($X$, en minuts) i les hores que dormen cada nit ($Y$, en hores):

$(45, 9), (60, 8,5), (90, 8), (120, 7), (150, 6,5)$

Calcula les coordenades del centre de gravetat d'aquesta distribució.

Observa el núvol de punts següent que representa la relació entre la inversió en publicitat de 8 petites empreses i els seus beneficis mensuals (tots dos en milers d'euros).

1. a) Justifica, sense fer càlculs, si el signe de la covariància serà positiu o negatiu.
2. b) Tria raonadament quin dels valors següents podria ser el coeficient de correlació de Pearson ($r$): $-0,85$; $0,12$; $0,91$; $1,5$.
3. c) Què passaria amb el valor de $r$ si decidíssim expressar les dades en euros en lloc de en milers d'euros?

Una filmoteca en línia vol comprovar si existeix relació entre el nombre d'entregues d'una saga cinematogràfica ($X$) i la valoració mitjana dels espectadors (sobre 10 punts, $Y$). Es disposa dels paràmetres següents després d'analitzar 50 sagues:

$\sum x_i = 150 \quad \sum y_i = 325 \quad \sum x_i^2 = 580 \quad \sum y_i^2 = 2200 \quad \sum x_i y_i = 940$

1. a) Calcula la covariància $\sigma_{xy}$.
2. b) Interpreta el resultat obtingut en el context del problema: tendeixen les sagues més llargues a tenir millors o pitjors valoracions?

En un entrenament de basquetbol, es registra la distància a cistella en metres ($X$) i el nombre de cistelles encistellades de cada 10 intents ($Y$) per a un grup de jugadors. Les dades resum són:

$\bar{x} = 4,5 \text{ m} \quad \sigma_x = 1,2 \text{ m}$

$\bar{y} = 6 \text{ encerts} \quad \sigma_y = 1,8 \text{ encerts}$

$\sigma_{xy} = -1,944$

1. a) Calcula el coeficient de correlació de Pearson i interpreta'n la força i el sentit.
2. b) Calcula el coeficient de determinació $r^2$ i explica quin percentatge de la variació dels encerts queda explicat per la distància a la cistella.

S'ha estudiat la relació entre la despesa setmanal en alimentació d'una família ($X$) i els seus ingressos setmanals ($Y$), tots dos en euros. S'han obtingut les dades següents:

$\bar{x} = 180, \quad \sigma_x^2 = 900, \quad \bar{y} = 600, \quad \sigma_y^2 = 2500, \quad \sigma_{xy} = 1200$

1. a) Troba l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.
2. b) Si una família gasta 250 € en alimentació, quins serien els seus ingressos estimats segons el model?
3. c) És fiable aquesta predicció? Justifica la teva resposta calculant el coeficient de correlació.

Un agricultor observa que la producció de la seva collita de taronges depèn de les hores de sol rebudes durant l'etapa de maduració. Les rectes de regressió obtingudes de dades històriques són:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,85x + 12$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,92y - 4$

1. a) Determina el centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$ de la distribució.
2. b) Calcula el coeficient de correlació de Pearson a partir dels pendents de les dues rectes de regressió.

S'analitza la relació entre el preu d'un bitllet d'avió ($X$) i l'antelació amb què es compra en dies ($Y$). Se sap que la correlació és $r = -0,82$.

Si les desviacions típiques són $\sigma_x = 45 \text{ €}$ i $\sigma_y = 12 \text{ dies}$, i les mitjanes són $\bar{x} = 150 \text{ €}$ i $\bar{y} = 25 \text{ dies}$:

1. a) Calcula la covariància de la distribució.
2. b) Calcula la recta de regressió de $X$ sobre $Y$ per estimar el preu del bitllet en funció dels dies d'antelació.
3. c) Quin preu s'estimaria per a un bitllet comprat amb 40 dies d'antelació?

S'ha realitzat una enquesta sobre el nombre de fills ($X$) i el nombre de dormitoris de l'habitatge ($Y$) en un bloc de pisos. Els resultats es presenten en la taula de freqüències conjuntes següent (taula de doble entrada):

1. Obtén les distribucions marginals de $X$ i $Y$.

2. Calcula la mitjana marginal de fills ($\bar{x}$) i la mitjana marginal de dormitoris ($\bar{y}$).

3. Existeix dependència entre totes dues variables? Raona la teva resposta observant les freqüències de la taula.

Les dues rectes de regressió d'una variable bidimensional són:

• Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,85x + 12,4$

• Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,72y + 5,1$

Sabent que la variància de la variable $X$ és $s_x^2 = 16$, calcula:

1. El coeficient de correlació de Pearson $r$.

2. La covariància $s_{xy}$ de la distribució.

3. Les coordenades del centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$.

Una aplicació de música en línia analitza la relació entre l'edat dels seus usuaris ($X$) i el nombre d'artistes diferents que escolten al mes ($Y$). Es coneixen els sumatoris següents per a una mostra de $n = 10$ usuaris:

1. Calcula el coeficient de correlació de Pearson.

2. Determina el coeficient de determinació $R^2$ i interpreta el seu significat: quin percentatge de la variació del nombre d'artistes escoltats queda explicat per l'edat de l'usuari?

En un estudi sobre el mercat immobiliari en una ciutat costanera, s'han obtingut les equacions de les dues rectes de regressió que relacionen el preu de venda dels apartaments, $Y$ (en centenars de milers d'euros), amb la seva superfície, $X$ (en metres quadrats):

• Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,012x + 0,5$

• Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 65y - 20$

A la figura pots veure les dues rectes representades.

Determina raonadament:

1. a) El centre de gravetat de la distribució $(\bar{x}, \bar{y})$.

1. b) El coeficient de correlació lineal de Pearson, $r$, i interpreta'n el signe i la força.

1. c) Si un apartament té una superfície de $120$ $m^2$, quin seria el seu preu estimat? És fiable aquesta estimació? Justifica la teva resposta utilitzant el coeficient de determinació.

En una acadèmia d'idiomes s'ha observat la relació entre les hores setmanals d'estudi personal ($X$) i la puntuació en l'examen final ($Y$) d'un grup d'alumnes. La taula de freqüències conjuntes és la següent, on s'han perdut tres valors ($a, b, c$):

1. a) Calcula els valors de $a, b$ i $c$.
2. b) Determina la distribució marginal de la variable $Y$ i calcula la seva mitjana i la seva variància.
3. c) Calcula la mitjana de la puntuació en l'examen ($Y$) condicionada al fet que els alumnes estudien $5$ hores setmanals ($X=5$).

Un sociòleg estudia la relació entre l'edat d'emancipació dels joves ($X$) i el nivell de renda per càpita de la seva regió ($Y$). En representar el núvol de punts, observa que el centre de gravetat és $G(28, 1400)$. Una de les rectes de regressió és $y = -50x + 2800$. Sabent que la variància de l'edat és $s_x^2 = 9$ i la variància de la renda és $s_y^2 = 360.000$:

1. a) Calcula la covariància $s_{xy}$ i el coeficient de correlació lineal.
2. b) Obtén l'equació de la recta de regressió de $X$ sobre $Y$.
3. c) Determina l'angle que formen totes dues rectes de regressió. Permet aquest angle, per si sol, afirmar que la correlació és forta? Justifica-ho comparant-lo amb el valor de $r$.

Dues variables $X$ i $Y$ tenen desviacions típiques marginals $s_x = 4$ i $s_y = 6$. Es sap que les dues rectes de regressió són perpendiculars entre si.

1. a) Quin és el valor de la covariància $s_{xy}$ i del coeficient de correlació $r$?
2. b) Què implica aquest resultat per a la capacitat predictiva del model lineal?
3. c) Si afegíssim un nou punt $(x, y)$ a la distribució que coincidís exactament amb el centre de gravetat, canviaria el valor del coeficient de correlació? Raona la resposta.

Donada una distribució bidimensional, s'ha comprovat que les desviacions típiques de les dues variables són iguals ($s_x = s_y$).

1. a) Demostra algebraicament que, en aquest cas, el coeficient de correlació lineal coincideix amb el pendent de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

1. b) Si la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 0,6x + 2$, quin és el coeficient de determinació?

1. c) Quin seria el pendent de la recta de regressió de $X$ sobre $Y$ en aquestes condicions?

Donades les rectes de regressió $y = -2x + 10$ i $x = -0,4y + 4$, raona si les afirmacions següents són vertaderes o falses, demostrant-ho mitjançant el càlcul dels paràmetres corresponents:

1. a) La correlació entre les variables és positiva perquè les dues pendents tenen el mateix signe.

1. b) El centre de gravetat de la distribució és el punt $(3, 4)$.

1. c) Les variables tenen una dependència funcional perfecta.

1. d) La variància de $Y$ és més gran que la variància de $X$.

Les alçades d'una mostra de parelles (home, dona) s'han organitzat en la següent taula de doble entrada (dades en cm):

Utilitzant les marques de classe:

1. a) Calcula la covariància de la distribució.
2. b) Calcula el coeficient de correlació de Pearson.
3. c) Existeix una relació forta entre les alçades dels membres de la parella en aquesta mostra?

S'ha realitzat un examen de recuperació de Matemàtiques. S'observa que la relació entre les notes del primer examen ($X$) i les del segon ($Y$) segueix una tendència lineal. Se sap que:

• $\bar{x} = 4$; $\bar{y} = 6$

• Les dues rectes de regressió es tallen formant un angle molt petit, i el producte dels coeficients de regressió, $b_{yx}\cdot b_{xy}$ (el d'$Y$ sobre $X$ i el d'$X$ sobre $Y$), és $0,81$.

• Tots dos coeficients de regressió són positius.

1. a) Troba el coeficient de correlació de Pearson i indica quin percentatge de la nota del segon examen s'explica per la nota del primer.

1. b) Si la desviació típica d'$X$ és la meitat que la d'$Y$, obtén l'equació de la recta de regressió d'$Y$ sobre $X$.

1. c) Si un alumne va treure un $2$ al primer examen, quina nota se li estima per al segon?

En un estudi sobre el rendiment dels patinets elèctrics s'analitza la temperatura ambient ($X$, en $^\circ C$) i l'autonomia real aconseguida ($Y$, en km). Es coneixen les dades següents:

• La variància de la temperatura és $s_x^2 = 16$.

• La recta de regressió de l'autonomia sobre la temperatura és $y = -0,85x + 42$.

• El coeficient de determinació és $R^2 = 0,7225$.

Calcula:

1. a) La covariància entre la temperatura i l'autonomia.
2. b) La desviació típica de l'autonomia, $s_y$.
3. c) Què passaria amb el coeficient de correlació si decidíssim mesurar la temperatura en graus Fahrenheit utilitzant la transformació $F = 1,8X + 32$? Justifica la teva resposta basant-te en les propietats de la correlació.

Un estudi sociològic analitza la relació entre el nombre de llibres llegits a l'any ($X$) i la puntuació en un test d'agilitat mental ($Y$). La covariància és $12,5$. En duplicar el nombre de llibres llegits de tots els enquestats i sumar 5 punts a tots en el test d'agilitat mental, es demana:

1. a) Raona què passa amb la nova covariància $\sigma'_{xy}$.
2. b) Si el coeficient de correlació original era $r = 0,75$, quin serà el nou coeficient $r'$ després dels canvis? Justifica la teva resposta analíticament.
3. c) Canviarà la fiabilitat de les prediccions després d'aquestes modificacions de les dades?