Parámetros y recta de regresión

Una filmoteca online quiere comprobar si existe relación entre el número de entregas de una saga cinematográfica ($X$) y la valoración media de los espectadores (sobre 10 puntos, $Y$). Se dispone de los siguientes parámetros tras analizar 50 sagas:

$\sum x_i = 150 \quad \sum y_i = 325 \quad \sum x_i^2 = 580 \quad \sum y_i^2 = 2200 \quad \sum x_i y_i = 940$

1. a) Calcula la covarianza $\sigma_{xy}$.
2. b) Interpreta el resultado obtenido en el contexto del problema: ¿tienden las sagas más largas a tener mejores o peores valoraciones?

El "centro de gravedad" de una distribución bidimensional es el punto formado por las medias de ambas variables, denotado como $(\bar{x}, \bar{y})$. Un grupo de amigos ha anotado el tiempo que pasan en redes sociales al día ($X$, en minutos) y las horas que duermen cada noche ($Y$, en horas):

$(45, 9), (60, 8,5), (90, 8), (120, 7), (150, 6,5)$

Calcula las coordenadas del centro de gravedad de esta distribución.

Un estudio sociológico analiza la relación entre el número de libros leídos al año ($X$) y la puntuación en un test de agilidad mental ($Y$). La covarianza es $12,5$. Al duplicar el número de libros leídos de todos los encuestados y sumar 5 puntos a todos en el test de agilidad mental, se pide:

1. a) Razona qué ocurre con la nueva covarianza $\sigma'_{xy}$.
2. b) Si el coeficiente de correlación original era $r = 0,75$, ¿cuál será el nuevo coeficiente $r'$ tras los cambios? Justifica tu respuesta analíticamente.
3. c) ¿Cambiará la fiabilidad de las predicciones tras estas modificaciones de los datos?

En un estudio sobre el rendimiento de los patinetes eléctricos se analiza la temperatura ambiente ($X$, en $^\circ C$) y la autonomía real conseguida ($Y$, en km). Se conocen los siguientes datos:

• La varianza de la temperatura es $s_x^2 = 16$.

• La recta de regresión de la autonomía sobre la temperatura es $y = -0,85x + 42$.

• El coeficiente de determinación es $R^2 = 0,7225$.

Calcula:

1. a) La covarianza entre la temperatura y la autonomía.
2. b) La desviación típica de la autonomía, $s_y$.
3. c) ¿Qué ocurriría con el coeficiente de correlación si decidiéramos medir la temperatura en grados Fahrenheit utilizando la transformación $F = 1,8X + 32$? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades de la correlación.

Observa la siguiente nube de puntos que representa la relación entre la inversión en publicidad de 8 pequeñas empresas y sus beneficios mensuales (ambos en miles de euros).

1. a) Justifica, sin realizar cálculos, si el signo de la covarianza será positivo o negativo.
2. b) Elige razonadamente cuál de los siguientes valores podría ser el coeficiente de correlación de Pearson ($r$): $-0,85$; $0,12$; $0,91$; $1,5$.
3. c) ¿Qué ocurriría con el valor de $r$ si decidiéramos expresar los datos en euros en lugar de en miles de euros?

Una nutricionista estudia la relación entre los gramos de azúcar ($X$) y las kilocalorías ($Y$) de cinco tipos de barritas energéticas. Ha obtenido los siguientes parámetros marginales:

• Media de azúcar: $\bar{x} = 12$ g

• Media de energía: $\bar{y} = 210$ kcal

• Desviaciones típicas: $\sigma_x = 3$ g y $\sigma_y = 25$ kcal

• Covarianza: $\sigma_{xy} = 60$

Calcula el coeficiente de correlación lineal ($r$) e interpreta si existe una relación fuerte entre ambas variables.

Si el coeficiente de determinación de una distribución bidimensional es $R^2 = 0,81$, calcula el valor del coeficiente de correlación $r$ (suponiendo que la relación es directa) y explica qué porcentaje de la variación de la variable $Y$ queda explicada por la variable $X$.

Una aplicación de música en streaming analiza la relación entre la edad de sus usuarios ($X$) y el número de artistas diferentes que escuchan al mes ($Y$). Se conocen los siguientes sumatorios para una muestra de $n = 10$ usuarios:

1. Calcula el coeficiente de correlación de Pearson.

2. Determina el coeficiente de determinación $R^2$ e interpreta su significado: ¿qué porcentaje de la variación del número de artistas escuchados queda explicado por la edad del usuario?

Un agricultor observa que la producción de su cosecha de naranjas depende de las horas de sol recibidas durante la etapa de maduración. Las rectas de regresión obtenidas de datos históricos son:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,85x + 12$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,92y - 4$

1. a) Determina el centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ de la distribución.
2. b) Calcula el coeficiente de correlación de Pearson a partir de las pendientes de las dos rectas de regresión.

Dada una distribución bidimensional, se ha comprobado que las desviaciones típicas de ambas variables son iguales ($s_x = s_y$).

1. a) Demuestra algebraicamente que, en este caso, el coeficiente de correlación lineal coincide con la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
2. b) Si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0,6x + 2$, ¿cuál es el coeficiente de determinación?
3. c) ¿Cuál sería la pendiente de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ en estas condiciones?

Dadas las rectas de regresión $y = -2x + 10$ y $x = -0,4y + 4$, razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, demostrándolo mediante el cálculo de los parámetros correspondientes:

1. a) La correlación entre las variables es positiva porque ambas pendientes tienen el mismo signo.
2. b) El centro de gravedad de la distribución es el punto $(3, 4)$.
3. c) Las variables tienen una dependencia funcional perfecta.
4. d) La varianza de $Y$ es mayor que la varianza de $X$.