Exercicis: Núvols de punts i correlació

Observa els diagrames de dispersió següents representats a continuació. Identifica en cada cas si la correlació és positiva, negativa o nul·la.

Associa cadascuna de les parelles de variables següents amb el tipus de núvol de punts que esperaries obtenir (creixent, decreixent o sense forma definida):

1. a) El nombre de quilòmetres recorreguts per un cotxe i el combustible que queda al seu dipòsit.
2. b) L'alçada d'un grup d'adolescents i la seva nota en l'examen de Llengua.
3. c) Les hores d'entrenament d'un atleta i la seva marca personal en una cursa de 100 metres llisos.
4. d) La temperatura exterior a l'estiu i el consum d'energia dels aparells d'aire condicionat.

Una aplicació de música ha analitzat les dades de 8 usuaris per veure la relació entre la seva edat ($X$, en anys) i el nombre de cançons diferents que escolten al mes ($Y$). El núvol de punts resultant es mostra a continuació:

A la vista de la gràfica, podem dir que la correlació és forta o feble? Justifica si el nombre de cançons escoltades tendeix a augmentar o a disminuir a mesura que augmenta l'edat segons aquesta mostra.

Explica raonadament per què les dades següents no es podrien representar correctament mitjançant un núvol de punts en el context de l'estadística bidimensional:

Alumne	Color d'ulls	Esport preferit
Marta	Blau	Bàsquet
Jorge	Marró	Futbol
Elena	Verd	Tennis

S'ha mesurat el pes ($X$) i l'alçada ($Y$) dels jugadors d'un equip de bàsquet. El núvol de punts mostra una forma molt allargada i estreta que segueix una direcció ascendent.

Què ens indica que el núvol sigui "estret" respecte a la intensitat de la correlació? Com anomenaríem la relació entre el pes i l'alçada en aquest cas (directa o inversa)?

Es sospita que hi ha una relació entre el nombre de faltes d'assistència a classe ($X$) i la nota final del trimestre ($Y$). S'han representat les dades d'una classe en el diagrama següent:

Al gràfic apareix un punt de color vermell que se separa clarament de la tendència general del grup. Com s'anomena aquest tipus de punts en estadística i què podria significar en aquest context real?

Indica si les afirmacions següents sobre els núvols de punts són verdaderes o falses:

1. a) Si tots els punts del núvol estan exactament sobre una línia recta creixent, la correlació és perfecta i positiva ($r = 1$).
2. b) Un núvol de punts amb forma circular indica una correlació molt forta.
3. c) En un núvol de punts, la variable independent es representa sempre a l'eix d'ordenades ($Y$).
4. d) El diagrama de dispersió permet visualitzar ràpidament si existeix alguna relació entre dues variables numèriques.

Comparem dos núvols de punts representats en els gràfics següents. Tots dos mostren una relació directa entre les variables.

1. a) En quin dels dos gràfics els punts estan més propers a una possible recta de regressió?
2. b) Quin dels dos tindrà un coeficient de correlació $r$ més proper a $1$?
3. c) Si al gràfic A el valor de $r$ és $1$, quin valor raonable (entre $0$ i $1$) podries assignar al gràfic B?

El coeficient de correlació de Pearson, $r$, és una mesura adimensional que oscil·la en un rang determinat. Dels valors següents, indica quins no són possibles per a un coeficient de correlació i explica per què:

1. a) $r = 0,85$
2. b) $r = -1,2$
3. c) $r = 2,5$
4. d) $r = -0,4$
5. e) $r = 0$

La covariància $\sigma_{xy}$ ens informa sobre el sentit de la variació conjunta de dues variables. Sense fer tots els càlculs complexos, observa les dades següents que relacionen la temperatura d'un refresc ($X$, en $^\circ C$) i el temps que fa que està fora de la nevera ($Y$, en minuts):

Temps ($Y$)	5	10	15	20	25
Temperatura ($X$)	6	9	13	18	22

1. a) A mesura que augmenta el temps, la temperatura tendeix a augmentar o a disminuir?
2. b) Justifica, segons la teva resposta anterior, si la covariància serà positiva, negativa o nul·la.

Observa el diagrama de dispersió següent que representa la relació entre les hores d'entrenament setmanal ($X$) i els punts anotats en una temporada per un grup de jugadors de bàsquet ($Y$).

Basant-te en la forma del núvol de punts, respon:

1. a) És una relació directa o inversa?
2. b) Com qualificaries la força de la correlació: forta o feble?
3. c) Quin signe esperes que tingui la covariància $\sigma_{xy}$ per a aquestes dades?

La direcció de la relació entre dues variables ens indica com varia l'una quan canvia l'altra. Determina si existeix una correlació positiva, correlació negativa o si les variables estan incorrelacionades en els casos següents:

1. a) El nombre de faltes d'assistència a classe i la qualificació final del curs.
2. b) La talla de calçat d'una persona i la seva nota mitjana en Matemàtiques.
3. c) La temperatura exterior a l'estiu i el consum d'energia dels aparells d'aire condicionat.
4. d) Els anys d'antiguitat d'un telèfon mòbil i el seu preu de revenda al mercat de segona mà.

En estadística, és fonamental distingir entre una relació que es pot calcular amb una fórmula exacta i una altra que només mostra una tendència. Indica si la relació entre les parelles de variables següents és funcional o estadística (correlació):

1. a) El nombre d'hores que un estudiant de 1r de Batxillerat passa jugant a videojocs i la seva nota en l'examen d'Economia.
2. b) La longitud del costat d'un quadrat i el seu perímetre.
3. c) Els litres de gasolina que es posen en un cotxe i l'import total a pagar a la benzinera.
4. d) L'alçada d'un adolescent i el seu pes corporal.

Un grup d'investigadors vol estudiar si hi ha relació entre el temps setmanal que els adolescents dediquen a les pantalles d'oci (televisió, mòbil o consola) i el seu rendiment acadèmic. Per fer-ho, han seleccionat una mostra de 8 estudiants i han recollit les dades següents:

Hores de pantalla ($X$)	12	18	5	22	10	15	8	25
Nota mitjana ($Y$)	$7,5$	$6,2$	$8,8$	$5,5$	$8,0$	$6,8$	$8,2$	$4,8$

1. a) Representa al teu quadern el núvol de punts associat a aquesta distribució bidimensional (hores de pantalla a l'eix horitzontal i nota mitjana a l'eix vertical).

1. b) A la vista del teu gràfic, quin tipus de correlació sembla que hi ha entre les dues variables (directa o inversa)? Justifica si creus que la relació és forta o feble.

Un influencer analitza la relació entre el nombre d'hores que dedica a editar un vídeo ($X$) i el nombre de "likes" que rep en les primeres 24 hores ($Y$, en milers). Després de publicar 10 vídeos, obté un núvol de punts molt estret i ascendent, excepte per un vídeo que, després de només 1 hora d'edició, va aconseguir un nombre massiu de "likes" a causa d'un repte viral.

1. a) Com es denomina tècnicament aquest punt que s'allunya de la tendència general del núvol?
2. b) Si l'influencer decideix eliminar aquesta dada especial del seu estudi, què passaria amb el valor absolut del coeficient de correlació $r$? Augmentaria o disminuïria? Justifica la teva resposta.
3. c) La relació entre les variables passaria a ser més o menys lineal després d'eliminar aquest punt?

La taula següent mostra la distància recorreguda ($X$, en km) i el temps emprat ($Y$, en min) per un ciclista en les seves sortides d'entrenament:

Distància ($X$)	10	15	20	25	30	35
Temps ($Y$)	22	35	42	58	70	82

1. a) Dibuixa el núvol de punts.
2. b) Traça a mà alçada la recta que s'ajusti millor als punts (recta de regressió).
3. c) Utilitzant la recta que has dibuixat, estima quant de temps trigaria el ciclista a recórrer 45 km. Creus que aquesta estimació és fiable?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha realitzat un estudi sobre la relació entre el nombre de llibres llegits a l'any ($X$) i la puntuació en un test de comprensió lectora ($Y$) en un grup d'alumnes. El núvol de punts resultant es mostra a continuació:

1. a) Indica si existeix una dependència funcional o una dependència estadística. Explica la diferència entre tots dos conceptes fent servir aquest exemple.
2. b) Classifica la correlació segons el seu signe i la seva intensitat (forta, moderada o feble).
3. c) Podríem afirmar que "llegir més llibres causa necessàriament treure millor nota"? Raona la diferència entre correlació i causalitat.

Donades les parelles de variables següents, indica per a quines d'elles tindria sentit construir un núvol de punts per analitzar la seva relació. Justifica la teva decisió en cada cas:

1. El nom dels alumnes de classe i la seva alçada.

2. El nombre d'hores d'estudi i la qualificació en un examen.

3. El color dels ulls i el gènere d'una persona.

4. El preu d'un cotxe de segona mà i els seus quilòmetres recorreguts.

Un grup d'investigadors analitza la relació entre el temps setmanal dedicat a videojocs d'estratègia (variable $X$, en hores) i la puntuació obtinguda en un test de raonament lògic (variable $Y$, de 0 a 100). Les dades de 10 adolescents mostren una correlació lineal positiva molt forta, a excepció d'un individu que dedica 25 hores setmanals i obté només 10 punts en el test.

Basant-te en la representació gràfica:

1. Explica raonadament com afecta el punt $P$ al valor del coeficient de correlació de Pearson $r$ i al pendent de la futura recta de regressió.

2. Si eliminéssim el punt $P$, podríem afirmar que existeix una relació de causalitat entre jugar a videojocs i el raonament lògic? Justifica la teva resposta analitzant la naturalesa de les variables.

S'estudia la relació entre la inversió en publicitat a les xarxes socials ($X$, en milers d'euros) i el nombre de nous subscriptors ($Y$, en centenars) per a dues aplicacions mòbils diferents, "App A" i "App B". Els núvols de punts resultants mostren que totes dues tenen una mitjana d'inversió de $\bar{x} = 5$ i una mitjana de subscriptors de $\bar{y} = 12$. Tanmateix, l'App A presenta un núvol molt dispers en forma circular, mentre que l'App B presenta un núvol molt estret i allargat amb pendent negatiu.

1. Fes un esboç de tots dos núvols de punts en un mateix sistema d'eixos, diferenciant-los per colors o símbols.

2. Compara els coeficients de correlació $r_A$ i $r_B$. En quin cas és més fiable fer una predicció del nombre de subscriptors basant-se en la inversió?

3. Què significaria, en el context del màrqueting, que l'App B tingui un pendent negatiu?

Un biòleg mesura l'altura d'una espècie de planta exòtica ($Y$, en cm) en funció de la quantitat de fertilitzant nitrogenat aplicat ($X$, en mg). Observa que, al principi, l'altura augmenta ràpidament amb el fertilitzant, però a partir de certa quantitat, la planta es satura i l'altura s'estabilitza o fins i tot decreix lleugerament a causa de la toxicitat.

1. Analitza el núvol de punts i determina si un model de regressió lineal seria adequat per descriure aquesta relació en tot el domini de $X$.

2. Si el biòleg calcula el coeficient de correlació de Pearson per a totes les dades i obté un valor proper a $0$, significa això que les variables són independents? Justifica la resposta basant-te en la forma del núvol.

Donats els quatre núvols de punts següents associats a diferents fenòmens socials, assigna raonadament a cadascun un d'aquests coeficients de correlació: $r_1 = 0,95$, $r_2 = -0,80$, $r_3 = 0,05$ i $r_4 = -0,10$.

Argumenta la teva elecció basant-te en la dispersió respecte d'una possible recta i el sentit de la inclinació dels punts.

En un estudi sobre demografia urbana, es representen a l'eix $X$ la densitat de població (hab./$km^2$) i a l'eix $Y$ el preu mitjà del lloguer ($€/m^2$). El núvol de punts obtingut presenta una estructura molt peculiar: dos grups de punts clarament diferenciats ("clústers"). El grup 1 correspon a barris perifèrics i el grup 2 a barris del centre històric.

1. Si dins de cada grup per separat la correlació és positiva i forta, però en considerar tots els punts junts el núvol sembla no tenir una tendència clara, quins problemes trobaríem en intentar calcular un únic coeficient de correlació de Pearson per a tota la ciutat?

2. Explica com l'existència de variables qualitatives ocultes (com el tipus de barri) pot "enganyar" la interpretació d'un núvol de punts bidimensional.

S'ha obtingut el següent núvol de punts que relaciona el consum d'energia elèctrica mensual d'una llar ($X$, en kWh) amb la temperatura mitjana exterior d'aquell mes ($Y$, en $^\circ C$).

1. Descriu la relació entre les variables. És una relació lineal en tot el seu recorregut?

2. Justifica per què el coeficient de determinació $R^2$ per a un ajust lineal seria molt baix malgrat que existeix una relació evident entre les variables.

3. Proposa una manera de dividir l'estudi d'aquest núvol de punts per poder aplicar tècniques de regressió lineal de manera efectiva.

Un psicòleg esportiu estudia la relació entre el nivell d'activació prepartit (ansietat, variable $X$) i el rendiment en tirs lliures de jugadors de bàsquet (percentatge d'encert, variable $Y$). La literatura suggereix que existeix un "nivell òptim" d'activació: si és molt baix, el jugador està apàtic; si és molt alt, està bloquejat.

1. Dibuixa un núvol de punts hipotètic que reflecteixi aquesta situació (coneguda com la llei de Yerkes-Dodson).

2. Si un analista de dades calculés la covariància $s_{xy}$ d'aquest núvol i obtingués un valor proper a zero, seria correcte concloure que el nivell d'ansietat no influeix en el rendiment? Justifica la teva resposta analitzant la geometria del núvol de punts que has dibuixat.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera un núvol de punts amb una correlació lineal positiva molt forta ($r = 0,98$). Suposem que meformem tots els valors de la variable $X$ mitjançant l'operació $X' = X + 50$ i tots els valors de la variable $Y$ mitjançant $Y' = 3 \cdot Y$.

1. Descriu quins canvis experimentaria el núvol de punts en el pla (translació, deformació, canvi d'escala).

2. Raona, sense fer càlculs, si el nou coeficient de correlació $r'$ serà més gran, més petit o igual a l'original $r$.

3. Canviaria la fiabilitat de les prediccions si utilitzéssim el nou núvol de punts transformat? Explica per què.