Nubes de puntos y correlación

Observa los siguientes diagramas de dispersión representados a continuación. Identifica en cada caso si la correlación es positiva, negativa o nula.

Asocia cada una de las siguientes parejas de variables con el tipo de nube de puntos que esperarías obtener (creciente, decreciente o sin forma definida):

1. a) El número de kilómetros recorridos por un coche y el combustible que queda en su depósito.
2. b) La estatura de un grupo de adolescentes y su nota en el examen de Lengua.
3. c) Las horas de entrenamiento de un atleta y su marca personal en una carrera de 100 metros lisos.
4. d) La temperatura exterior en verano y el consumo de energía de los aparatos de aire acondicionado.

Observa el siguiente diagrama de dispersión que representa la relación entre las horas de entrenamiento semanal ($X$) y los puntos anotados en una temporada por un grupo de jugadores de baloncesto ($Y$).

Basándote en la forma de la nube de puntos, responde:

1. a) ¿Es una relación directa o inversa?
2. b) ¿Cómo calificarías la fuerza de la correlación: fuerte o débil?
3. c) ¿Qué signo esperas que tenga la covarianza $\sigma_{xy}$ para estos datos?

Comparamos dos nubes de puntos representadas en los siguientes gráficos. Ambas muestran una relación directa entre las variables.

1. a) ¿En cuál de los dos gráficos los puntos están más próximos a una posible recta de regresión?
2. b) ¿Cuál de los dos tendrá un coeficiente de correlación $r$ más cercano a $1$?
3. c) Si en el gráfico A el valor de $r$ es $0,98$, ¿qué valor razonable (entre $0$ y $1$) podrías asignar al gráfico B?

Se ha medido el peso ($X$) y la altura ($Y$) de los jugadores de un equipo de baloncesto. La nube de puntos muestra una forma muy alargada y estrecha que sigue una dirección ascendente.

¿Qué nos indica que la nube sea "estrecha" respecto a la intensidad de la correlación? ¿Cómo llamaríamos a la relación entre el peso y la altura en este caso (directa o inversa)?

La dirección de la relación entre dos variables nos indica cómo varía una cuando cambia la otra. Determina si existe una correlación positiva, correlación negativa o si las variables están incorrelacionadas en los siguientes casos:

1. a) El número de faltas de asistencia a clase y la calificación final del curso.
2. b) La talla de calzado de una persona y su nota media en Matemáticas.
3. c) La temperatura exterior en verano y el consumo de energía de los aparatos de aire acondicionado.
4. d) Los años de antigüedad de un teléfono móvil y su precio de reventa en el mercado de segunda mano.

La covarianza $\sigma_{xy}$ nos informa sobre el sentido de la variación conjunta de dos variables. Sin realizar todos los cálculos complejos, observa los siguientes datos que relacionan la temperatura de un refresco ($X$, en $^\circ C$) y el tiempo que lleva fuera de la nevera ($Y$, en minutos):

1. a) ¿A medida que aumenta el tiempo, la temperatura tiende a aumentar o a disminuir?
2. b) Justifica, según tu respuesta anterior, si la covarianza será positiva, negativa o nula.

El coeficiente de correlación de Pearson, $r$, es una medida adimensional que oscila en un rango determinado. De los siguientes valores, indica cuáles no son posibles para un coeficiente de correlación y explica por qué:

1. a) $r = 0,85$
2. b) $r = -1,2$
3. c) $r = 2,5$
4. d) $r = -0,4$
5. e) $r = 0$

La siguiente tabla muestra la distancia recorrida ($X$, en km) y el tiempo empleado ($Y$, en min) por un ciclista en sus salidas de entrenamiento:

1. a) Dibuja la nube de puntos.
2. b) Traza a mano alzada la recta que mejor se ajuste a los puntos (recta de regresión).
3. c) Utilizando la recta que has dibujado, estima cuánto tiempo tardaría el ciclista en recorrer 45 km. ¿Crees que esta estimación es fiable?

Se ha realizado un estudio sobre la relación entre el número de libros leídos al año ($X$) y la puntuación en un test de comprensión lectora ($Y$) en un grupo de alumnos. La nube de puntos resultante se muestra a continuación:

1. a) Indica si existe una dependencia funcional o una dependencia estadística. Explica la diferencia entre ambos conceptos usando este ejemplo.
2. b) Clasifica la correlación según su signo y su intensidad (fuerte, moderada o débil).
3. c) ¿Podríamos afirmar que "leer más libros causa necesariamente sacar mejor nota"? Razona la diferencia entre correlación y causalidad.

Un biólogo mide la altura de una especie de planta exótica ($Y$, en cm) en función de la cantidad de fertilizante nitrogenado aplicado ($X$, en mg). Observa que, al principio, la altura aumenta rápidamente con el fertilizante, pero a partir de cierta cantidad, la planta se satura y la altura se estabiliza o incluso decrece ligeramente debido a la toxicidad.

1. Analiza la nube de puntos y determina si un modelo de regresión lineal sería adecuado para describir esta relación en todo el dominio de $X$.

2. Si el biólogo calcula el coeficiente de correlación de Pearson para todos los datos y obtiene un valor cercano a $0$, ¿significa esto que las variables son independientes? Justifica la respuesta basándote en la forma de la nube.

Explica razonadamente por qué los siguientes datos no podrían representarse correctamente mediante una nube de puntos en el contexto de la estadística bidimensional:

En un estudio sobre demografía urbana, se representan en el eje $X$ la densidad de población (hab/$km^2$) y en el eje $Y$ el precio medio del alquiler ($€/m^2$). La nube de puntos obtenida presenta una estructura muy peculiar: dos grupos de puntos claramente diferenciados ("clústeres"). El grupo 1 corresponde a barrios periféricos y el grupo 2 a barrios del centro histórico.

1. Si dentro de cada grupo por separado la correlación es positiva y fuerte, pero al considerar todos los puntos juntos la nube parece no tener tendencia clara, ¿qué problemas encontraríamos al intentar calcular un único coeficiente de correlación de Pearson para toda la ciudad?

2. Explica cómo la existencia de variables cualitativas ocultas (como el tipo de barrio) puede "engañar" a la interpretación de una nube de puntos bidimensional.

Considera una nube de puntos con una correlación lineal positiva muy fuerte ($r = 0,98$). Supongamos que transformamos todos los valores de la variable $X$ mediante la operación $X' = X + 50$ y todos los valores de la variable $Y$ mediante $Y' = 3 \cdot Y$.

1. Describe qué cambios experimentaría la nube de puntos en el plano (traslación, deformación, cambio de escala).

2. Razona, sin realizar cálculos, si el nuevo coeficiente de correlación $r'$ será mayor, menor o igual al original $r$.

3. ¿Cambiaría la fiabilidad de las predicciones si usáramos la nueva nube de puntos transformada? Explica por qué.