Exercicis: La distribució binomial

En un popular joc de taula d'estratègia, un jugador llança un dau especial de quatre cares (tetraèdric) equilibrat, amb les cares numerades de l'1 al 4, de manera que totes tenen la mateixa probabilitat de sortir. Es defineix la variable aleatòria $X$ com a "puntuació obtinguda al dau".

1. a) Elabora la taula de la distribució de probabilitat de la variable $X$.

1. b) Calcula l'esperança matemàtica o mitjana $\mu$ i interpreta'n el significat en el context del joc.

Una cafeteria propera a l'institut ha analitzat el nombre de cafès que demana cada client en un matí. La distribució de probabilitat de la variable $X$ = "nombre de cafès per client" ve donada per la taula següent:

1. a) Troba el valor de $k$ perquè sigui una distribució de probabilitat vàlida.
2. b) Quina és la probabilitat que un client demani almenys 2 cafès?

Determina raonadament si els experiments aleatoris següents es poden modelar mitjançant una distribució binomial. En cas afirmatiu, indica els seus paràmetres $n$ i $p$:

1. a) Llançar una moneda 15 vegades i anotar el nombre de cares obtingudes.
2. b) Extreure, una a una i sense retorn, 3 cartes d'una baralla espanyola i comptar el nombre d'oros.
3. c) Preguntar a 40 persones triades a l'atzar en un centre comercial si han vist l'última pel·lícula de superherois, sabent que el $30\%$ de la població ja l'ha vista.

Un tirador amb arc té una probabilitat de fer diana del $80\%$. Si realitza una tanda de 10 llançaments independents, calcula els paràmetres de la distribució binomial corresponent:

1. a) Nombre esperat de dianes (mitjana $\mu$).
2. b) Desviació típica $\sigma$.

Es sap que el $10\%$ dels missatges que rep un influencer a les seves xarxes socials són crítiques negatives (la resta són comentaris positius o neutres). Si avui ha rebut 6 missatges nous:

1. a) Defineix la variable aleatòria i la seva distribució.
2. b) Calcula la probabilitat que exactament 2 d'aquests missatges siguin crítiques negatives.

En una fàbrica de components electrònics, la probabilitat que un circuit sigui defectuós és de $0,02$. Si s'empaqueten en caixes de 5 unitats, calcula la probabilitat que en una caixa no hi hagi cap circuit defectuós.

Un examen de tipus test consta de 8 preguntes amb 4 opcions cadascuna, de les quals només una és correcta. Si un alumne respon a totes les preguntes a l'atzar:

1. a) Quina és la probabilitat que no encerti cap pregunta?
2. b) Utilitzant el succés contrari, calcula la probabilitat que encerti almenys una pregunta.

Donada una distribució binomial $X \sim B(4; 0,3)$, construeix la seva taula de distribució de probabilitat completa calculant les probabilitats per a tots els valors possibles de la variable ($k = 0, 1, 2, 3, 4$). Comprova que la suma de totes les probabilitats és igual a 1.

En un estudi sobre mobilitat juvenil en una capital autonòmica, se sap que el $70\,\%$ dels estudiants de Batxillerat utilitza habitualment l'abonament de transport públic ($p = 0,7$). Se selecciona a l'atzar una mostra de $n = 5$ estudiants d'aquest col·lectiu. Per calcular la probabilitat que exactament 4 d'ells utilitzin aquest abonament, en Marcos fa al seu quadern la següent operació:

A la vista del seu resultat, en Marcos conclou: «És un esdeveniment summament rar, tot just un $7,2\,\%$ de probabilitat, la qual cosa demostra que gairebé mai no trobarem 4 usuaris en grups de 5 persones».

1. a) Identifica raonadament l'error conceptual i de càlcul que ha comès en Marcos en aplicar la distribució binomial. Quin element indispensable ha omès i quin significat combinatori té en aquest context real?
2. b) Corregeix el càlcul determinant el valor exacte de $P(X = 4)$ i explica per què el nou valor concorda de manera molt més lògica amb la intuïció del problema.

Segons les estadístiques oficials sobre sostenibilitat i gestió de residus a Espanya, el $80\,\%$ de les llars separa els envasos lleugers al contenidor corresponent ($p = 0,8$). Un equip d'inspectors de medi ambient selecciona a l'atzar 4 llars independents d'una localitat.

1. a) Abans de fer cap càlcul numèric formal, fes una estimació qualitativa raonada: quin resultat creus que és més probable, que separin els envasos les 4 llars ($X = 4$) o que ho facin exactament 2 d'elles ($X = 2$)? Justifica la teva conjectura a partir de la probabilitat d'èxit de cada llar individual.
2. b) Modela l'experiment mitjançant una distribució binomial explicitant els seus paràmetres, i calcula amb precisió les probabilitats $P(X = 4)$ i $P(X = 2)$.
3. c) Comprova si els valors obtinguts donen suport a la teva estimació inicial i raona com l'asimetria de la distribució (deguda al fet que $p > 0,5$) justifica la diferència quantitativa entre ambdós resultats.

Un estudi recent sobre hàbits digitals afirma que el $35 \%$ dels adolescents espanyols d'entre 15 i 16 anys prefereix utilitzar pòdcasts com a font principal d'entreteniment enfront de les xarxes socials convencionals. Si seleccionem un grup aleatori de 10 estudiants de 1r de Batxillerat:

1. a) Justifica per què aquest experiment es pot modelitzar mitjançant una distribució binomial i defineix els seus paràmetres $n$ i $p$.
2. b) Calcula la probabilitat que exactament 4 d'ells prefereixin els pòdcasts.
3. c) Troba la mitjana i la desviació típica del nombre d'estudiants que prefereixen els pòdcasts en aquest grup.

En una partida d'un joc de taula, un jugador necessita treure almenys un "6" en llançar un dau equilibrat de sis cares en 5 intents per evitar ser eliminat. Sigui $X$ la variable aleatòria que compta el nombre de vegades que surt el número "6" en els 5 llançaments.

1. a) Determina la funció de probabilitat de la variable $X$ (calcula $P(X=k)$ per a $k=0,1,2,3,4,5$).

1. b) Calcula la probabilitat que el jugador no sigui eliminat (és a dir, que obtingui almenys un sis).

1. c) Representa gràficament la distribució mitjançant un diagrama de barres (a l'eix horitzontal, el nombre de sisos $k$; a l'eix vertical, $P(X=k)$).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de missatgeria utilitza furgonetes elèctriques per als seus repartiments urbans. Es sap per experiència que la probabilitat que una furgoneta necessiti una recàrrega addicional abans d'acabar el seu torn és de $0,15$. Si l'empresa té una flota de 8 furgonetes operant simultàniament:

1. a) Calcula la probabilitat que, en un dia determinat, com a màxim 2 furgonetes necessitin la recàrrega addicional.
2. b) Quina és la probabilitat que més de 6 furgonetes completin el seu torn sense necessitat de recàrrega extra? (Ves amb compte a definir correctament què consideres "èxit").

Una cadena de botigues de roba "vintage" ha comprovat que el $20 \%$ dels clients que entren al seu establiment fan una compra superior a $50$ €. Si en un matí entren 12 clients de forma independent:

1. a) Quina és la probabilitat que el nombre de clients que gastin més de $50$ € sigui igual a la mitjana de la distribució?
2. b) Calcula la probabilitat que almenys 3 clients facin aquesta compra.

Un servidor de correu electrònic detecta que el $10 \%$ dels missatges que rep són "spam" (correu no desitjat). El filtre de seguretat analitza els missatges en blocs de 20.

1. a) Troba el nombre esperat de correus "spam" per bloc i la seva desviació típica.
2. b) Calcula la probabilitat que en un bloc hi hagi exactament un missatge de "spam".
3. c) Si el bloc es marca com a "sospitós" quan conté més de 3 missatges de "spam", quina és la probabilitat que un bloc sigui marcat com a tal?

En un centre esportiu, el $75 \%$ dels usuaris inscrits en classes de natació són capaços de nedar 100 metres seguits sense descansar. Si triem 6 usuaris a l'atzar:

1. a) Quina és la probabilitat que tots ells siguin capaços de nedar aquesta distància?
2. b) Quina és la probabilitat que cap d'ells en sigui capaç?
3. c) Calcula la probabilitat que la meitat d'ells (exactament 3) compleixin el requisit.

Un examen de tipus test consta de 10 preguntes amb 4 opcions de resposta cadascuna, de les quals només una és correcta. Un alumne que no ha estudiat gens decideix respondre a totes les preguntes a l'atzar.

1. a) Determina la probabilitat que l'alumne encerti exactament 5 preguntes.
2. b) Per aprovar l'examen es necessita contestar correctament almenys 5 preguntes. Quina és la probabilitat que l'alumne aprovi per pur atzar?
3. c) Quina és la qualificació més probable (moda) que obtindrà l'alumne?

S'ha observat que el $5 \%$ de les bombetes LED d'una determinada marca surten defectuoses de fàbrica. Un hotel compra caixes de 15 unitats per renovar la il·luminació dels seus passadissos.

1. a) Quina és la probabilitat que en una caixa no hi hagi cap bombeta defectuosa?
2. b) Si l'hotel retorna la caixa si troba més d'una bombeta defectuosa, quina és la probabilitat que una caixa sigui retornada?
3. c) Si es compren 100 caixes, en quantes es preveu trobar exactament 2 bombetes defectuoses? (Utilitza la probabilitat calculada per a una sola caixa).

Una plataforma digital de comerç de proximitat envia un codi de descompte exclusiu a una selecció de 7 clients que porten un mes sense comprar. Per experiències prèvies, se sap que la probabilitat que un client qualsevol utilitzi el codi abans que caduqui és $p = 0,25$. La responsable de vendes necessita conèixer la probabilitat que almenys 2 dels 7 clients bescanviïn el descompte ($P(X \geq 2)$).

1. a) Per resoldre el problema es plantegen dues vies de càlcul:

• Via A (directa): Calcular $P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7)$.

• Via B (esdeveniment complementari): Calcular $1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$.

Argumenta quina de les dues vies és preferible a la pràctica per optimitzar el temps de càlcul i minimitzar la propagació d'errors d'arrodiment.

1. b) Aplica la via més eficient per calcular el valor de $P(X \geq 2)$ arrodonint el resultat a quatre xifres decimals.
2. c) Suposa que en una campanya diferent amb uns altres 7 clients la probabilitat de bescanvi fos $p = 0,90$ i es volgués calcular la probabilitat que almenys 6 d'ells comprin ($P(X \geq 6)$). Continuaria sent la via del complementari la més ràpida o convindria en aquest cas la via directa? Justifica la teva resposta sense necessitat de fer els càlculs numèrics.

D'acord amb les dades de l'Enquesta de Població Activa (EPA) a Espanya, en el sector de serveis avançats aproximadament el $20\,\%$ de les persones ocupades treballa de manera habitual en modalitat de teletreball ($p = 0,2$). Una consultora laboral selecciona a l'atzar una mostra de 12 treballadors d'aquest sector.

1. a) Justifica detalladament per què el nombre de teletreballadors a la mostra es pot modelitzar mitjançant una variable aleatòria binomial $X \equiv B(n, p)$, comprovant les condicions d'independència i constància de la probabilitat.
2. b) Calcula la mitjana o esperança matemàtica ($\mu$) i la desviació típica ($\sigma$) del nombre de teletreballadors en aquesta mostra. Interpreta el significat pràctic d'ambdós estadístics en el context de l'empresa.
3. c) La consultora considera que la mostra «no és representativa per a una anàlisi qualitativa» si conté menys de 2 teletreballadors ($X < 2$). Calcula la probabilitat que es presenti aquest escenari desfavorable i interpreta la viabilitat de l'estudi a partir del resultat obtingut.

Un creador de contingut en una xarxa social coneguda sap que la probabilitat que un seguidor comparteixi un qualsevol dels seus vídeos és exactament $p = 0,02$. Suposa que cada vídeo és compartit o no per aquest seguidor de manera independent dels altres, de manera que el nombre de vídeos compartits, $X$, segueix una distribució binomial $B(n;\,0,02)$.

El creador publica una sèrie de $n$ vídeos i vol estar segur, amb una probabilitat superior al $95\%$, que almenys un d'ells sigui compartit per un seguidor concret que visualitza tots els seus continguts.

1. a) Determina el nombre mínim de vídeos, $n$, que ha de publicar per assolir aquest objectiu, és a dir, perquè $P(X \geq 1) > 0,95$.

1. b) Si finalment publica $n = 150$ vídeos, calcula l'esperança matemàtica i la desviació típica del nombre de vídeos compartits per aquest seguidor. Interpreta el significat de l'esperança en aquest context.

En una cadena de muntatge de components per a e-sports, s'ha determinat que la probabilitat que un microxip sigui defectuós és $p$. Es sap que en un lot de $n$ microxips, la mitjana de components defectuosos és de $12$ i la variància és de $10,56$.

1. a) Calcula els valors dels paràmetres $n$ (mida del lot) i $p$ (probabilitat de defecte).

1. b) Si s'extreu una mostra aleatòria de $10$ microxips d'un lot nou, quina és la probabilitat que n'hi hagi exactament $2$ de defectuosos? I la probabilitat que n'hi hagi com a màxim un?

Al club de tir amb arc d'un institut, la probabilitat que una arquera encerti a la diana en un llançament és $p$. S'ha observat que la probabilitat que, en una sèrie de $4$ llançaments, tots siguin encerts és exactament el doble de la probabilitat que només $3$ ho siguin.

1. a) Calcula el valor de $p$.

1. b) Amb el valor de $p$ obtingut, si realitza una sèrie de $6$ llançaments, quina és la probabilitat que en falli almenys $2$?

Per a una variable aleatòria discreta $X$ que segueix una distribució binomial $B(n, p)$, se sap que la probabilitat d'obtenir zero èxits és $P(X=0) = 0,027$ i la probabilitat d'obtenir $n$ èxits és $P(X=n) = 0,343$.

1. a) Utilitzant les propietats de la potència, troba el valor de $n$ i el de $p$.

1. b) Calcula la probabilitat d'obtenir un nombre d'èxits igual a la moda de la distribució. Ajuda: La moda en una binomial és el valor enter $k$ tal que $(n+1)p - 1 \le k \le (n+1)p$.

Dos jugadors d'e-sports, Alex i Bea, competeixen en un minijoc de punteria. Alex té una probabilitat d'encert del $70\%$, mentre que Bea té una probabilitat del $60\%$. Si cadascun realitza $5$ tirs de forma independent:

1. a) Quina és la probabilitat que Alex aconsegueixi més encerts que Bea?

1. b) Quina és la probabilitat que entre tots dos sumin exactament $9$ encerts?

Un examen d'oposició consta de $80$ preguntes tipus test amb $4$ opcions de resposta cadascuna, de les quals només una és correcta. Un estudiant decideix respondre a l'atzar $12$ preguntes que no sap contestar. Sigui $X$ la variable que compta el nombre de respostes encertades d'aquestes $12$.

1. a) Calcula l'interval $[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$ per a aquesta variable.

1. b) Determina la probabilitat que el nombre d'encerts es trobi fora d'aquest interval. Comenta si el resultat obtingut és coherent amb la dispersió esperada en una distribució d'aquest tipus.

Es llança un dau de sis cares $n$ vegades. Sigui $X$ la variable aleatòria que expressa el nombre de vegades que s'obté un múltiple de $3$. Si es sap que la probabilitat de no obtenir cap múltiple de $3$ en els $n$ llançaments és de $16/81$:

1. a) Calcula el nombre de llançaments $n$.

1. b) Per a aquest valor de $n$, calcula la probabilitat d'obtenir almenys dues vegades un múltiple de $3$ sabent que ha sortit almenys una vegada.

Una plataforma de streaming sap que el $25\%$ dels seus usuaris cancel·la la subscripció abans del tercer mes. En un grup de $8$ amics que s'han subscrit simultàniament (suposa que cadascun decideix de manera independent dels altres):

1. a) Calcula la probabilitat que el nombre d'amics que cancel·lin la subscripció sigui superior a la mitjana més una desviació típica.

1. b) Si representem per $P(X=k)$ la probabilitat que cancel·lin exactament $k$ amics, justifica raonadament, sense calcular tots els valors, quin és el valor de $k$ que maximitza aquesta probabilitat.

En una empresa logística de paqueteria urgent que opera a escala estatal, s'audita diàriament la qualitat del servei analitzant el nombre de paquets que pateixen incidències o retards en el repartiment. Aquesta quantitat segueix un model binomial $X \equiv B(n, p)$.

Després d'un problema al servidor de control, s'han esborrat del sistema els registres amb els paràmetres inicials: la mida del lot diari auditat ($n$) i la probabilitat individual de retard ($p$). Això no obstant, l'informe estadístic consolidat conserva amb exactitud dues mesures resum del procés:

• El nombre mitjà d'enviaments diaris amb incidència és $\mu = 10$.

• La variància dels enviaments amb incidència és $\sigma^2 = 9$ (és a dir, una desviació típica $\sigma = 3$).

1. a) Planteja el sistema d'equacions deduït de les fórmules de la mitjana i la variància d'una distribució binomial i resol algebraicament els valors originals dels paràmetres $n$ i $p$.
2. b) El director d'operacions proposa duplicar la mida de l'auditoria a $2n$ paquets diaris mantenint el mateix estàndard de qualitat $p$, i sosté que amb aquesta mesura «la dispersió o desviació típica dels retards també es duplicarà». Demostra analíticament si la seva afirmació és vertadera o falsa, deduint l'expressió exacta de la nova desviació típica.
3. c) Fent servir els paràmetres originals obtinguts a l'apartat a), calcula la probabilitat que en una jornada no es produeixi cap incidència ($P(X = 0)$). Expressa el resultat en notació científica i reflexiona críticament sobre el seu significat en el dia a dia de l'empresa.

Una agència pública de transició ecològica fa un estudi exploratori sobre l'ús de panells solars fotovoltaics per a autoconsum en habitatges unifamiliars d'una comarca. Se selecciona una mostra aleatòria de $n = 4$ habitatges independents.

En els models teòrics dels analistes, s'estableix que la probabilitat que cap dels 4 habitatges disposi de panells solars ($P(X = 0)$) és exactament 16 vegades més gran que la probabilitat que tots 4 en disposin ($P(X = 4)$).

1. a) A partir de la condició $\frac{P(X = 0)}{P(X = 4)} = 16$, planteja una equació que relacioni $p$ i $q = 1 - p$. Resol-la pas a pas per deduir el valor exacte de la probabilitat individual $p$ que un habitatge seleccionat a l'atzar disposi de panells solars.
2. b) Amb el valor de $p$ obtingut, calcula la probabilitat que a la mostra de 4 habitatges hi hagi una majoria estricta amb instal·lació fotovoltaica (és a dir, $X \geq 3$).
3. c) Imagina que els 4 habitatges seleccionats pertanyen a una mateixa urbanització privada en la qual la comunitat de propietaris va acordar en junta instal·lar panells de manera conjunta per abaratir costos mitjançant una subvenció col·lectiva. Raona de manera crítica si en aquesta circumstància continuaria sent vàlid el model binomial $B(4, p)$ o quina hipòtesi fonamental de l'experiment de Bernoulli quedaria invalidada.

Repte del tema. Com s'ajusten les estadístiques oficials al teu entorn? Elabora un informe executiu comparant hàbits digitals amb models probabilístics.

1. Dades reals: Consulta al web de l'INE la proporció de joves que compren per internet ($p \approx 0,65$). Després, enquesta $10$ coneguts per registrar quants ho van fer el darrer mes ($n = 10$).

2. Distribució binomial: Modela la variable discreta $X \sim B(10; 0,65)$ en un full de càlcul o GeoGebra. Obtén la taula de probabilitat $P(X = k)$, la funció de distribució $F(x)$, la mitjana $\mu$ i la desviació típica $\sigma$. Compara el valor esperat amb el teu resultat mostral.

3. Salt a la variable contínua: Registra també les hores diàries d'ús de pantalla dels teus enquestats (variable contínua $Y$). Amb l'ajuda de l'histograma, associa les dades a una funció de densitat $f(y)$ i raona teòricament per què per a la variable contínua $P(Y = 3) = 0$, a diferència de la binomial.

4. Informe final: Integra en un document breu les teves conclusions, taules i gràfiques comparatives.

Es valorarà:

• Rigor en el càlcul de probabilitats i paràmetres de la distribució binomial.

• Comprensió conceptual en diferenciar distribucions discretes de funcions de densitat i distribució contínues.

• Extracció rigorosa de dades de l'INE i qualitat en les gràfiques generades amb GeoGebra o programari de full de càlcul.