Exercicis: Regles de derivació

Calcula la funció derivada de les funcions polinòmiques bàsiques següents utilitzant la regla de la potència i la suma:

1. a) $f(x) = 5x^3 - 4x^2 + 7x - 2$

1. b) $g(x) = \frac{x^4}{2} - 3x^2 + 10$

1. c) $h(x) = -x^5 + \frac{2x^3}{3} + x$

Una botiga de roba en línia ha comprovat que els seus beneficis diaris en euros segueixen la funció $B(t) = -t^2 + 20t + 150$, on $t$ és el temps en hores des de l'obertura del servidor. Calcula la funció $B'(t)$, que representa el ritme al qual varien els beneficis, i troba el seu valor quan han passat 4 hores ($t = 4$).

Per derivar funcions amb arrels, primer hem de transformar-les en potències. Expressa les funcions següents com a potències de $x$ i calcula després la seva derivada:

1. a) $f(x) = 4\sqrt{x}$

1. b) $g(x) = \sqrt[3]{x^2}$

1. c) $h(x) = \frac{2}{\sqrt{x}}$

Aplica la regla del producte per trobar la derivada de les funcions següents (no multipliquis els parèntesis abans de derivar):

1. a) $f(x) = (x^2 + 3) \cdot (5x - 1)$

1. b) $g(x) = (x + 2) \cdot (x^3 - 4x)$

Calcula la derivada d'aquestes funcions racionals utilitzant la regla del quocient:

1. a) $f(x) = \frac{3x - 5}{x + 2}$

1. b) $g(x) = \frac{x^2}{2x + 1}$

1. c) $h(x) = \frac{10}{x^2 + 4}$

Aplica la regla de la cadena per calcular la funció derivada d'aquestes funcions compostes:

1. a) $f(x) = (3x^2 - 5)^4$

1. b) $g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$

1. c) $h(x) = (1 - x)^5$

Troba el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 6x + 8$ en el punt d'abscissa $x = 1$. A la figura es veu la gràfica de $f$ (blau) i la recta tangent (taronja) en el punt $P$ d'abscissa $x = 1$. La funció és creixent o decreixent en aquest punt? Justifica la teva resposta basant-te en el signe de la derivada.

El nombre de visualitzacions d'un vídeo viral (en milers) ve donat per la funció $V(t) = 2 \cdot e^{0,5t}$, on $t$ és el temps en dies. Sabent que la derivada de $e^{u}$ és $u' \cdot e^u$, calcula la velocitat de creixement de les visualitzacions el segon dia ($t = 2$).

En Marcos ha de derivar a classe de Matemàtiques la funció $f(x) = (2x - 5) \cdot e^x$. A la seva llibreta escriu la resolució següent:

«Com que la derivada de $2x - 5$ és $2$ i la derivada de $e^x$ és $e^x$, la derivada del producte és el producte de les derivades: $f'(x) = 2 \cdot e^x$».

Identifica i explica detalladament l'error conceptual comès per en Marcos (recolzant-te en la regla del producte explicada als apunts) i redacta la resolució correcta calculant i simplificant $f'(x)$ mitjançant l'extracció de factor comú.

Per calcular la funció derivada de $f(x) = (4x - 3)^2$, dos estudiants de 1r de Batxillerat proposen camins diferents:

• L'Alba suggereix aplicar directament la regla de la cadena: derivar la potència exterior mantenint intacte el parèntesi i multiplicar per la derivada de l'interior.

• En Bruno suggereix desenvolupar primer el binomi al quadrat per obtenir un polinomi i després derivar terme a terme mitjançant la regla de la potència i la suma.

1. a) Aplica ambdós mètodes per separat mostrant tots els passos intermedis i comprova que s'obté la mateixa expressió.
2. b) Justifica quina de les dues estratègies és més avantatjosa si la funció a derivar fos $g(x) = (4x - 3)^{10}$ en lloc d'una potència quadrada.

Calcula la funció derivada de la funció racional següent utilitzant les regles del quocient i de la potència:

$f(x) = \dfrac{3x^2 - 5x}{2x + 4}$

Simplifica el numerador de l'expressió resultant tant com sigui possible.

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 6x + 5$ en el punt d'abscissa $x = 4$. Per fer-ho, obté primer el pendent mitjançant la derivada i després utilitza la forma punt-pendent.

La figura mostra la paràbola i el punt de la seva gràfica l'abscissa del qual és $x = 4$.

Donada la funció $f(x) = ax^2 + bx + 3$, determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ sabent que la derivada de la funció a $x = 1$ val $7$ ($f'(1) = 7$) i que la derivada a $x = 0$ val $-2$ ($f'(0) = -2$).

Aplica la regla de la cadena per calcular la derivada de la funció composta següent, que combina un logaritme neperià amb un polinomi:

$f(x) = \ln(x^3 - 4x^2 + 8)$

Indica el domini de la funció derivada resultant.

Una empresa de telefonia ha determinat que els seus beneficis mensuals (en milers d'euros) segueixen la funció $B(x) = -x^2 + 48x - 150$, on $x$ és el nombre de centenars de nous clients captats. A la figura es veu la gràfica de $B$ i el punt corresponent a $x = 20$.

Calcula la taxa de variació instantània del benefici (benefici marginal) quan han captat $2000$ clients (és a dir, per a $x = 20$). Interpreta si el benefici està augmentant o disminuint en aquest moment.

Calcula la derivada de la funció següent que conté una arrel quadrada, simplificant el resultat final:

$f(x) = \sqrt{x^2 + e^x}$

Utilitza la regla de la cadena per a funcions del tipus $\sqrt{u}$.

Determina els punts de la corba $f(x) = x^3 - 3x^2 - 7x + 10$ en què la recta tangent és paral·lela a la recta $y = 2x - 5$.

Ajuda: Recorda que dues rectes són paral·leles si tenen el mateix pendent.

Obtén la funció derivada de la funció següent utilitzant la regla del producte i la derivada de la funció exponencial:

$f(x) = (x^2 + 3x - 1) \cdot e^{2x}$

Factoritza l'expressió de $f'(x)$ treient factor comú el terme exponencial.

Considera la funció $f(x) = (x^2 - 1) \cdot e^x$.

1. a) Sense calcular la derivada, estima raonadament el signe de la taxa de variació instantània $f'(2)$. Per a fer-ho, analitza de manera qualitativa com es comporten tots dos factors, $u(x) = x^2 - 1$ i $v(x) = e^x$, quan $x$ augmenta lleugerament a partir de $x = 2$: són ambdós factors positius en aquest punt?, són ambdós creixents? Quina conseqüència té això sobre el ritme de creixement de l'àrea del rectangle que representen, segons la justificació de la regla del producte?
2. b) Calcula formalment la funció derivada $f'(x)$ aplicant la regla del producte, extreu factor comú $e^x$ i avalua $f'(2)$. Comprova si el valor numèric obtingut confirma la teva predicció de l'apartat anterior.

Segons un estudi sociodemogràfic sobre connectivitat territorial a Espanya, el percentatge $P(t)$ de llars d'una comarca rural que disposen d'accés a fibra òptica ultraràpida després de $t$ anys d'inversió pública ($t \ge 0$) es modelitza mitjançant la funció:

1. a) Modelitza el ritme de penetració de la fibra òptica obtenint la taxa de variació instantània $P'(t)$ mitjançant la regla de derivació del quocient. Simplifica el numerador de l'expressió resultant.
2. b) Calcula $P'(1)$ i $P'(6)$, expressant el resultat amb les seves unitats corresponents (punts percentuals per any). A partir de l'estructura del denominador de $P'(t)$, justifica raonadament si el procés de digitalització s'està accelerant o desaccelerant amb el transcurs dels anys.

Es sap que la funció de beneficis d'una empresa tecnològica segueix l'expressió $B(x) = ax^2 + \frac{b}{x}$, on $x$ és la inversió en publicitat en milers d'euros. Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ sabent que quan la inversió és de $1$ mil euros ($x=1$), el benefici és de $5$ mil euros i, a més, en aquest mateix punt, la taxa de variació instantània del benefici és de $1$ mil euros per cada mil euros invertits.

Calcula l'equació de la recta tangent a la corba $f(x) = \sqrt{x^2 + 5}$ en el punt on aquesta corba talla la recta $y = 3$ (considera només la solució al primer quadrant). Una vegada trobada la recta, determina l'àrea del triangle que forma aquesta recta tangent amb els eixos de coordenades.

Donada la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1 & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) + 2 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Determina els valors de $a$ i $b$ perquè la funció sigui derivable en tot el seu domini. Per a això, recorda que la derivabilitat implica necessàriament la continuïtat en el punt de salt.

Un estudi sociològic indica que el nombre d'usuaris d'una nova xarxa social (en milions) ve donat per la funció $U(t) = \frac{40t}{t^2 + 4}$, on $t$ és el temps en mesos des del seu llançament. Aplica la regla del quocient per trobar la funció derivada $U'(t)$ i determina en quin mes el creixement d'usuaris s'atura per començar a decreixer. Quina és la velocitat de pèrdua d'usuaris al cap d'un any ($t=12$)?

Troba els punts de la gràfica de la funció $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ en què la recta tangent és paral·lela a la recta $y = \frac{1}{2}x - 3$. Expressa les equacions d'aquestes rectes tangents.

Donada la funció $g(x) = (x^2 - k)^3$, determina el valor o els valors del paràmetre real $k$ sabent que la segona derivada de la funció en el punt $x=1$ és igual a $0$, és a dir, $g''(1) = 0$. Tingues una cura especial en aplicar la regla de la cadena de forma successiva.

Una empresa de missatgeria ha comprovat que el cost diari de combustible de la seva flota (en euros) depèn de la velocitat mitjana $v$ (en km/h) segons la funció $C(v) = 0,5v + \frac{2000}{v}$. Utilitzant les regles de derivació, calcula la taxa de variació del cost quan la velocitat augmenta de $80$ km/h a $81$ km/h de forma aproximada mitjançant la derivada. A quina velocitat el cost deixa de disminuir i comença a augmentar?

Calcula la derivada de la funció composta següent, simplificant el resultat final tant com sigui possible:

$f(x) = \ln \left( \frac{1 + e^x}{1 - e^x} \right)$

Aplica les propietats dels logaritmes abans de derivar per facilitar el càlcul i utilitza la regla de la cadena per a les funcions exponencials.

Una consultora d'anàlisi financera modelitza el creixement del rendiment d'un pla de pensions mitjançant una funció amb l'estructura $f(x) = (ax + b) \cdot e^{3x}$, on $a$ i $b$ són paràmetres reals constants i $x$ és el temps en anys transcorregut des de l'obertura.

1. a) Aplica la regla del producte i la regla de la cadena per obtenir l'expressió algebraica general de $f'(x)$, deixant factoritzada la funció exponencial $e^{3x}$.
2. b) Sabent que l'estudi economètric exigeix que la funció derivada sigui exactament $f'(x) = (12x + 19) \cdot e^{3x}$, dedueix mitjançant el mètode de coeficients indeterminats els valors únics de $a$ i $b$.
3. c) Raona detalladament si seria possible trobar valors de $a$ i $b$ tals que la derivada $f'(x)$ quedés reduïda a un polinomi ordinari (és a dir, sense presència del factor $e^{3x}$). Justifica la teva resposta basant-te en les propietats algebraiques de la derivada de la funció exponencial.

En una investigació sobre la difusió d'una campanya de conscienciació ciutadana contra el malbaratament alimentari, el percentatge de població assolida després de $t$ setmanes es modelitza mitjançant la funció logística:

1. a) Per calcular la taxa de difusió $R'(t)$, es plantegen dos mètodes: la regla del quocient o reescriure l'expressió com una potència d'exponent negatiu, $R(t) = 80 \cdot (1 + 4e^{-0,2t})^{-1}$, i aplicar la regla de la cadena. Desenvolupa la derivada seguint ambdós camins pas a pas i comprova que tots dos condueixen a:

1. b) Justifica per què el ritme de difusió $R'(t)$ és estrictament positiu per a qualsevol instant $t \ge 0$, analitzant el signe de cada factor.
2. c) Determina en quina setmana exacta $t$ la campanya arriba al $40\,\%$ de la població (és a dir, $R(t) = 40$) i calcula el ritme exacte de difusió $R'(t)$ en aquest instant.