Exercicis: Optimització i estudi complet de funcions

Sigui $f(x) = x^{2} - 4x + 3$.

1. a) Calcula $f'(x)$ i troba el punt on s'anul·la.

1. b) Aquest punt és un màxim o un mínim? Justifica-ho estudiant el signe de $f'$ a tots dos costats.

La derivada d'una funció és $f'(x) = 2x - 6$.

1. a) En quin punt s'anul·la $f'$?

1. b) On és $f$ creixent i on decreixent?

1. c) Quin tipus d'extrem té $f$ i en quin punt?

La figura mostra el benefici setmanal d'una gelateria en funció del preu del gelat: la paràbola talla l'eix de preus a $5\ \text{ €}$ i a $25\ \text{ €}$.

1. a) Fent servir la simetria de la paràbola, quin preu maximitza el benefici?

1. b) Per a quins preus el benefici és zero? Què signifiquen aquests valors?

1. c) Per a quins preus el benefici és negatiu? Interpreta-ho.

La derivada d'una funció $f$ s'anul·la a $x = 2$ i a $x = 5$, i el seu signe ve donat per la taula:

• A $(-\infty, 2)$: $f'(x) > 0$.

• A $(2, 5)$: $f'(x) < 0$.

• A $(5, +\infty)$: $f'(x) > 0$.

Classifica els punts $x = 2$ i $x = 5$ com a màxim o mínim relatiu, justificant la resposta.

Sigui $f(x) = x^{3} - 3x$.

1. a) Calcula $f'(x)$.

1. b) En quins punts s'anul·la la derivada?

1. c) Indica els intervals on $f$ és creixent.

El benefici d'una fàbrica, en milers d'euros, en produir $x$ tones setmanals és $B(x) = -2x^{2} + 80x - 300$.

1. a) Quina producció setmanal maximitza el benefici?

1. b) Quin és aquest benefici màxim, en euros?

Raona si és vertadera o falsa l'afirmació: «si $f'(3) = 0$, aleshores $f$ té un màxim o un mínim relatiu a $x = 3$». Si és falsa, dona un contraexemple concret i explica'l.

Es disposa de $40$ m de tanca per tancar un corral rectangular pels seus quatre costats.

1. a) Si un costat mesura $x$, expressa l'àrea del corral en funció de $x$.

1. b) Quines dimensions fan màxima l'àrea? Quina forma té aleshores el corral?

Una cooperativa agrària a Múrcia disposa de $40\text{ metres}$ de tanca metàl·lica per tancar un hort rectangular que aprofita una paret recta de pedra ja construïda com un dels seus costats (per la qual cosa només necessita tancar els altres tres costats). Per exigències de la séquia de reg contigua, el costat paral·lel a la paret no pot mesurar més de $15\text{ metres}$.

Alejandro, un dels socis, realitza els càlculs següents per maximitzar la superfície de l'hort:

1. Anomena $x$ a la longitud dels dos costats perpendiculars a la paret i $y$ al costat paral·lel: $2x + y = 40 \implies y = 40 - 2x$.

2. Expressa l'àrea: $A(x) = x \cdot (40 - 2x) = 40x - 2x^2$.

3. Deriva i iguala a zero: $A'(x) = 40 - 4x = 0 \implies x = 10\text{ m}$.

4. Conclou: «Els costats perpendiculars han de mesurar $10\text{ m}$ i el paral·lel $20\text{ m}$, obtenint una àrea màxima de $200\text{ m}^2$».

1. a) Localitza i explica raonadament l'error conceptual que ha comès Alejandro en el procés d'optimització, indicant quin pas fonamental no ha tingut en compte.
2. b) Estableix el domini admissible de la variable $x$ tenint en compte la limitació legal imposada per la séquia i les condicions geomètriques reals.
3. c) Corregeix l'exercici: analitza el comportament de la funció $A(x)$ en el seu domini real i determina les dimensions exactes que maximitzen la superfície respectant la normativa, així com el valor d'aquesta àrea màxima.

Una parada al passeig de Gràcia de Barcelona ven rams de flors per Sant Jordi. El benefici net diari $B(p)$, en euros, en funció del preu de venda $p$ de cada ram (en euros), ve modelitzat per la funció quadràtica:

$B(p) = -20p^2 + 360p - 1.000$, per a $p \in [5, 15]$.

1. a) Estima: Sense calcular derivades, troba els dos preus per als quals el benefici net és nul ($B(p) = 0$). Sabent que la gràfica de tota funció quadràtica és simètrica respecte al seu vèrtex, dedueix raonadament a quin preu $p$ s'assolirà el benefici màxim i estima el valor d'aquest benefici.
2. b) Comprova: Aplica el mètode del càlcul diferencial (primera derivada, condició d'extrem relatiu $B'(p) = 0$ i criteri de la segona derivada o signe de $B'$) per calcular analíticament el preu òptim i el benefici màxim.
3. c) Compara ambdós resultats, comprova si coincideixen i reflexiona: per què en una funció polinòmica de segon grau l'estimació geomètrica per simetria proporciona exactament el mateix resultat que la derivada?

Es volen tancar $100$ m per a fer un hort rectangular recolzat en una paret, de manera que només s'han de tancar tres costats, com mostra la figura.

1. a) Si $x$ és la longitud de cada costat perpendicular a la paret i $y$ la del costat paral·lel, expressa $y$ en funció de $x$ i escriu la funció àrea $A(x)$.

1. b) Calcula les dimensions que fan màxima l'àrea.

1. c) Quina és aquesta àrea màxima?

D'una làmina quadrada de cartó de $24$ cm de costat es retallen quatre quadrats iguals de costat $x$ a les cantonades per a construir, plegant, una caixa sense tapa, com mostra la figura.

1. a) Expressa el volum de la caixa $V(x)$ en funció de $x$ i indica el seu domini.

1. b) Calcula $V'(x)$ i troba els seus punts crítics, descartant els que no pertanyin al domini.

1. c) Quin valor de $x$ fa màxim el volum? Quant val aquest volum màxim?

Una empresa té uns ingressos $I(q) = -0,2q^{2} + 60q$ i uns costos $C(q) = 20q + 800$, en euros, on $q$ són les unitats produïdes i venudes. La figura mostra totes dues corbes.

1. a) Escriu la funció benefici $B(q)$ i calcula la seva derivada.

1. b) Quin nivell de producció maximitza el benefici? Quant val aquest benefici màxim?

1. c) Calcula els llindars de rendibilitat (els valors de $q$ per als quals $B(q) = 0$) i relaciona'ls amb els punts de tall de la figura.

Estudia i representa la funció $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$:

1. a) Punts de tall amb els eixos.

1. b) Intervals de creixement i decreixement, i extrems relatius.

1. c) Curvatura i punt d'inflexió.

1. d) Fes un esborrany de la gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estudia la funció $f(x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$:

1. a) Domini i simetria (comprova que és senar).

1. b) Assimptota horitzontal (calcula el límit quan $x \to +\infty$).

1. c) Extrems relatius i monotonia.

1. d) Amb la informació anterior, esboça la seva gràfica completa.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de conserves vol fabricar una caixa amb base quadrada i tapa, amb un volum de $1\ \text{dm}^{3}$ ($1.000\ \text{cm}^{3}$), fent servir la mínima quantitat de cartró.

1. a) Si $x$ és el costat de la base i $y$ l'altura, expressa $y$ en funció de $x$ fent servir la condició de volum.

1. b) Escriu la funció superfície total $S(x)$ i calcula la seva derivada.

1. c) Troba les dimensions que minimitzen la superfície. Quina forma té la caixa òptima?

La figura mostra la gràfica d'una funció polinòmica $f$. Llegeix els valors que necessitis a la quadrícula.

1. a) Indica els intervals de creixement i de decreixement de la funció.

1. b) Quin és el signe de $f'(x)$ en cadascun d'aquests intervals? Quant val $f'$ en els punts en què la funció passa de créixer a decréixer o de decréixer a créixer?

1. c) Quines són les coordenades del màxim i del mínim relatius? Són també absoluts? Raona la resposta mirant les branques de la gràfica.

Un estudi de mercat estima que el benefici setmanal d'una botiga, en euros, en vendre $x$ unitats d'un producte és $B(x) = -x^{2} + 140x - 3.600$.

1. a) Quantes unitats ha de vendre per obtenir el benefici màxim? A quant puja?

1. b) Per a quins nivells de venda la botiga perd diners?

1. c) Si per motius de magatzem no pot vendre més de $50$ unitats, quina és aleshores la seva millor decisió? Justifica-ho fent servir la monotonia de $B$.

Una empresa de paqueteria urgent a Madrid analitza el ritme de classificació d'enviaments al seu centre logístic durant una jornada contínua de $8\text{ hores}$. El nombre de paquets classificats per hora es modelitza mitjançant una funció cúbica:

$f(t) = a t^3 + b t^2 + c t$, amb $t \in [0, 8]$ (on $t$ és el temps transcorregut en hores des de l'inici del torn).

La direcció d'operacions disposa únicament de tres informes tècnics del torn:

1. El ritme de classificació assoleix un màxim relatiu al cap de $2\text{ hores}$ de començar el torn ($t = 2$).

2. El ritme experimenta el seu punt d'inflexió (canvi d'acceleració a desacceleració) exactament a les $4\text{ hores}$ del torn ($t = 4$).

3. En el moment de màxima activitat ($t = 2$), s'estan classificant exactament $32\text{ paquets per hora}$.

1. a) Tradueix cadascuna de les tres informacions a condicions matemàtiques sobre $f(t)$, $f'(t)$ o $f''(t)$ i planteja un sistema d'equacions per determinar els paràmetres $a$, $b$ i $c$.
2. b) Resol el sistema i escriu l'expressió analítica completa de $f(t)$.
3. c) A partir de la funció obtinguda, realitza l'estudi de la monotonia en tot l'interval $[0, 8]$ i determina en quins moments de la jornada el ritme de classificació assoleix el seu valor mínim absolut, indicant quants paquets per hora es processen en aquests instants.

L'empresa municipal de transports urbans d'una capital espanyola cobra actualment $1,20\text{ \euro}$ per bitllet senzill d'autobús, amb una afluència mitjana de $10.000$ usuaris diaris. Els tècnics de mobilitat estimen que, per cada augment de $0,10\text{ \euro}$ en el preu del bitllet, es perdran $500$ usuaris al dia; i anàlogament, per cada reducció de $0,10\text{ \euro}$, es guanyaran $500$ viatgers diaris. Per normativa municipal, el preu del bitllet no pot ser inferior a $0,60\text{ \euro}$ ni superior a $2,20\text{ \euro}$, i la capacitat màxima operativa de la flota és de $14.000$ passatgers diaris.

1. a) Anomena $p$ al preu final del bitllet en euros. Expressa el nombre d'usuaris diaris $N(p)$ com a funció lineal de $p$, i dedueix el domini físic admissible de $p$ tenint en compte les restriccions de preu i la capacitat màxima de la flota.
2. b) Escriu la funció d'ingressos diaris $I(p)$ en funció del preu $p$. Justifica per què l'ingrés no creix indefinidament en apujar el preu.
3. c) Utilitza les eines del càlcul diferencial per calcular el preu $p$ que maximitza els ingressos diaris de l'empresa municipal. Comprova que el valor obtingut pertany al domini admissible, verifica que es tracta d'un màxim i calcula la recaptació màxima diària resultant.

Fes l'estudi complet de la funció $f(x) = x^{3} - 12x$ i representa-la:

1. a) Domini, punts de tall amb els eixos i simetria.

1. b) Intervals de creixement i decreixement, i extrems relatius.

1. c) Curvatura i punt d'inflexió.

1. d) Traça la gràfica amb la informació obtinguda.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un cinema amb $400$ localitats ven les entrades a $8\ \text{ €}$ i omple totes les sessions. El gerent estima que per cada $0,50\ \text{ €}$ que apugi el preu perdrà $20$ espectadors.

1. a) Si $x$ és el nombre d'augments de $0,50\ \text{ €}$, escriu la funció ingrés $I(x)$.

1. b) Quin preu d'entrada maximitza l'ingrés? Quant val aquest ingrés màxim?

1. c) A partir de quin preu l'ingrés seria menor que l'actual de sala plena?

1. d) El gerent decideix no apujar més de $2\ \text{ €}$ per a no buidar la sala. Li convé apujar aquests $2\ \text{ €}$? Justifica-ho amb el model.

El cost total de produir $q$ unitats d'un producte és $C(q) = q^{2} + 30q + 25$, en euros.

1. a) Escriu la funció de cost mitjà per unitat, $CM(q) = \frac{C(q)}{q}$, per a $q > 0$.

1. b) Calcula el valor de $q$ que minimitza el cost mitjà i comprova, estudiant el signe de $CM'(q)$, que és un mínim.

1. c) Calcula el cost marginal $C'(q)$ en aquest mateix valor i comprova que coincideix amb el cost mitjà mínim. És una casualitat? Investiga quina relació hi ha entre $CM'(q)$ i $C'(q) - CM(q)$ i enuncia la conclusió general.

Es busca el punt de la paràbola $y = x^{2}$ més pròxim al punt $P = \left(0, \frac{3}{2}\right)$.

1. a) Expressa el quadrat de la distància d'un punt genèric $(x, x^{2})$ de la paràbola al punt $P$.

1. b) Deriva aquesta expressió i troba els seus punts crítics.

1. c) Determina quins punts de la paràbola estan a distància mínima de $P$ i calcula aquesta distància mínima. Per què hi ha dos punts solució?

Una finestra té forma de rectangle coronat per un semicercle (finestra d'arc). El perímetre total del marc és de $12$ m i es vol que entri la màxima llum possible, és a dir, que l'àrea sigui màxima.

1. a) Si $r$ és el radi del semicercle i $h$ l'altura del rectangle, escriu la relació entre $r$ i $h$ que imposa el perímetre.

1. b) Expressa l'àrea total $A(r)$ en funció només de $r$.

1. c) Troba el valor de $r$ que maximitza l'àrea, deixant el resultat en funció de $\pi$, i calcula les dimensions completes de la finestra.

Un alumne resol així un problema d'optimització: «Cal repartir $50$ m de corda en dos trossos per a envoltar dues zones quadrades de costat $x$ i de costat $y$. L'àrea total és $A = x^{2} + y^{2}$. Com que $4x + 4y = 50$, resulta $y = 12,5 - x$, així que $A(x) = x^{2} + (12,5 - x)^{2}$. Derivo: $A'(x) = 4x - 25 = 0$, per tant $x = 6,25$. Per tant, l'àrea màxima és $6,25\ \text{m}^{2}$.»

1. a) Troba els dos errors de la seva conclusió (un sobre el que val $6,25$ i un altre sobre si és màxim o mínim).

1. b) Resol correctament el problema: com s'ha de tallar la corda per a minimitzar l'àrea total? I per a maximitzar-la? (Pensa què passa en els extrems del domini de $x$.)

Valora raonadament si són vertaderes o falses aquestes afirmacions, amb exemples que ho justifiquin:

1. a) «Tota funció contínua en un interval tancat $[a, b]$ hi aconsegueix un valor màxim i un valor mínim.»

1. b) «Tota funció contínua en un interval obert $(a, b)$ hi aconsegueix un valor màxim i un valor mínim.»

1. c) «Si una funció té un màxim relatiu en $x = c$, aquest és també el seu màxim absolut en tot el seu domini.»

Troba els valors màxim i mínim absoluts de la funció $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1$ en l'interval $[0, 4]$.

1. a) Calcula els punts crítics dins de l'interval.

1. b) Avalua la funció en els punts crítics i en els extrems de l'interval.

1. c) Conclou: indica el màxim i el mínim absoluts i en quins punts s'aconsegueixen. Et sorprèn algun dels resultats? Comenta-ho.

La figura mostra la gràfica d'una funció racional amb asímptota vertical $x = 2$ i asímptota horitzontal $y = 1$.

1. a) Indica el domini de la funció i calcula, a partir de la gràfica, $\lim_{x \to 2^{-}} f(x)$, $\lim_{x \to 2^{+}} f(x)$ i $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

1. b) Estima les coordenades del màxim relatiu marcat amb «?» i explica quina condició ha de complir la derivada en aquest punt.

1. c) Indica els intervals de creixement i decreixement de cada branca i raona per què la funció no té extrems en la branca dreta.

1. d) Una companya afirma que la funció podria ser $g(x) = 1 + \frac{3}{x - 2}$, que té les mateixes asímptotes. Calcula $g'(x)$, estudia el seu signe i raona per què aquesta funció no pot ser la de la gràfica.

Una cooperativa oleícola de Jaén produeix oli d'oliva verge extra. El cost total (en centenars d'euros) d'envasar $x$ centenars de litres d'oli ve donat per la funció:

$C(x) = x^3 - 2x^2 + 10x + 8$, per a $x \in [1, 5]$.

El cost mitjà unitari per cada cent litres produïts es defineix com a $\overline{C}(x) = \frac{C(x)}{x} = x^2 - 2x + 10 + \frac{8}{x}$.

El director financer i la cap de producció debaten sobre com trobar el volum de producció $x$ que fa mínim el cost mitjà:

• Mètode 1 (Via directa): Derivar directament la funció de cost mitjà $\overline{C}(x)$, igualar a zero $\overline{C}'(x) = 0$ i resoldre l'equació resultant.

• Mètode 2 (Principi d'economia marginal): Igualar el cost marginal amb el cost mitjà, és a dir, resoldre l'equació $C'(x) = \overline{C}(x)$, basant-se en el fet que el cost mitjà s'estabilitza quan el cost de produir una unitat addicional coincideix amb la mitjana actual.

1. a) Demostra formalment que per a qualsevol funció de cost derivable $C(x)$, la condició $\overline{C}'(x) = 0$ és matemàticament equivalent a la igualtat $C'(x) = \overline{C}(x)$.
2. b) Desenvolupa ambdós mètodes per a la funció concreta de la cooperativa. Compara els passos algebraics d'ambdós camins i justifica quin dels dos mètodes resulta més eficient o menys propens a errors en derivar quocients.
3. c) Resol l'equació en l'interval $[1, 5]$ per trobar el nivell òptim de producció $x$ i el cost mitjà mínim corresponent. Justifica mitjançant l'anàlisi del signe de la derivada en els extrems de l'interval que el valor obtingut és un mínim absolut.

Un operador de turisme rural a Astúries analitza els ingressos nets setmanals $I(t)$ (en milers d'euros) generats pel seu portal web de reserves de cases de poble, en funció del temps d'antelació $t$ (en setmanes) amb què els turistes contracten la seva estada per a la temporada d'estiu ($0 \le t \le 10$). El model estimat respon a la funció:

$I(t) = \frac{50t}{t^2 + 16}$.

1. a) Realitza un estudi analític complet de la funció $I(t)$ en el seu domini $[0, 10]$:

1. Talls amb els eixos i signe de la funció.

2. Intervals de creixement, decreixement i extrems relatius (calculant $I'(t)$).

3. Concavitat, convexitat i punts d'inflexió (calculant $I''(t)$).

4. Comportament en els extrems de l'interval i determinació de l'asimptota horitzontal si el temps d'antelació pogués créixer indefinidament ($t \to +\infty$).

1. b) Determina l'antelació òptima amb la qual l'operador obté els màxims ingressos setmanals, calculant aquesta quantitat en euros.
2. c) Interpretació econòmica: Explica quin significat pràctic té el punt d'inflexió trobat a l'apartat a) en relació amb la velocitat a la qual disminueixen els ingressos quan les reserves es realitzen amb excessiva antelació.

Repte del tema. A quina hora ha d'encendre els forns un forn de pa per minimitzar costos? Assumeix el paper d'assessor econòmic i optimitza el consum energètic d'un negoci local.

1. Presa de dades: Entra al web de Red Eléctrica de España (REE, ESIOS) i recull el preu de l'electricitat ($€/\text{MWh}$) de les 24 hores del dia anterior. Introdueix-los a GeoGebra o a un full de càlcul i obtén un polinomi d'ajust $C(t)$ per a $t \in [0, 24]$.

2. Taxa de variació i derivada: Calcula la Taxa de Variació Mitjana de $C(t)$ en els trams vall i punta. Aplica les regles de derivació per trobar $C'(t)$ i interpreta el cost marginal en dues hores clau.

3. Estudi complet i optimització: Resol $C'(t) = 0$ i utilitza $C''(t)$ per classificar els extrems relatius, intervals de creixement i curvatura. Determina l'hora exacta en què el cost és mínim.

4. Proposta raonada: Redacta un informe breu (una pàgina) amb la gràfica, el desenvolupament analític i una recomanació horària justificada per al negoci.

Es valorarà:

• Precisió en el càlcul de la TVM, regles de derivació i optimització d'extrems.

• Rigor en l'estudi analític complet i en la interpretació econòmica de l'anàlisi marginal.

• Qualitat de la proposta final i ús adequat de GeoGebra o del full de càlcul.