Optimización y estudio completo de funciones

Sea $f(x) = x^{2} - 4x + 3$.

1. a) Calcula $f'(x)$ y halla el punto donde se anula.

1. b) ¿Ese punto es un máximo o un mínimo? Justifícalo estudiando el signo de $f'$ a ambos lados.

La derivada de una función es $f'(x) = 2x - 6$.

1. a) ¿En qué punto se anula $f'$?

1. b) ¿Dónde es $f$ creciente y dónde decreciente?

1. c) ¿Qué tipo de extremo tiene $f$ y en qué punto?

Se quieren vallar $100$ m para hacer un huerto rectangular apoyado en una pared, de modo que solo hay que vallar tres lados, como muestra la figura.

1. a) Si $x$ es la longitud de cada lado perpendicular a la pared e $y$ la del lado paralelo, expresa $y$ en función de $x$ y escribe la función área $A(x)$.

1. b) Calcula las dimensiones que hacen máxima el área.

1. c) ¿Cuál es esa área máxima?

Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un semicírculo (ventana de arco). El perímetro total del marco es de $12$ m y se quiere que entre la máxima luz posible, es decir, que el área sea máxima.

1. a) Si $r$ es el radio del semicírculo y $h$ la altura del rectángulo, escribe la relación entre $r$ y $h$ que impone el perímetro.

1. b) Expresa el área total $A(r)$ en función solo de $r$.

1. c) Halla el valor de $r$ que maximiza el área, dejando el resultado en función de $\pi$, y calcula las dimensiones completas de la ventana.

Un cine con $400$ localidades vende las entradas a $8\ \text{ €}$ y llena todas las sesiones. El gerente estima que por cada $0,50\ \text{ €}$ que suba el precio perderá $20$ espectadores.

1. a) Si $x$ es el número de subidas de $0,50\ \text{ €}$, escribe la función ingreso $I(x)$.

1. b) ¿Qué precio de entrada maximiza el ingreso? ¿Cuánto vale ese ingreso máximo?

1. c) ¿A partir de qué precio el ingreso sería menor que el actual de sala llena?

1. d) El gerente decide no subir más de $2\ \text{ €}$ para no vaciar la sala. ¿Le conviene subir esos $2\ \text{ €}$? Justifícalo con el modelo.

El coste total de producir $q$ unidades de un producto es $C(q) = q^{2} + 30q + 25$, en euros.

1. a) Escribe la función de coste medio por unidad, $CM(q) = \frac{C(q)}{q}$, para $q > 0$.

1. b) Calcula el valor de $q$ que minimiza el coste medio y comprueba, estudiando el signo de $CM'(q)$, que es un mínimo.

1. c) Calcula el coste marginal $C'(q)$ en ese mismo valor y comprueba que coincide con el coste medio mínimo. ¿Es una casualidad? Investiga qué relación hay entre $CM'(q)$ y $C'(q) - CM(q)$ y enuncia la conclusión general.

Estudia y representa la función $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2$:

1. a) Cortes con los ejes.

1. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, y extremos relativos.

1. c) Curvatura y punto de inflexión.

1. d) Esboza la gráfica.

Estudia la función $f(x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$:

1. a) Dominio y simetría (comprueba que es impar).

1. b) Asíntota horizontal (calcula el límite cuando $x \to +\infty$).

1. c) Extremos relativos y monotonía.

1. d) Con la información anterior, esboza su gráfica completa.

La figura muestra la gráfica de una función racional con asíntota vertical $x = 2$ y asíntota horizontal $y = 1$.

1. a) Indica el dominio de la función y calcula, a partir de la gráfica, $\lim_{x \to 2^{-}} f(x)$, $\lim_{x \to 2^{+}} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

1. b) Estima las coordenadas del máximo relativo marcado con «?» y explica qué condición debe cumplir la derivada en ese punto.

1. c) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada rama y razona por qué la función no tiene extremos en la rama derecha.

1. d) Una compañera afirma que la función podría ser $g(x) = 1 + \frac{3}{x - 2}$, que tiene las mismas asíntotas. Calcula $g'(x)$, estudia su signo y razona por qué esa función no puede ser la de la gráfica.