Exercicis: Aplicacions de la derivada

El nombre de persones que visiten una nova exposició d'art contemporani durant les primeres 4 hores des de la seva obertura segueix la funció $f(t) = t^2 + 2t$, on $t$ és el temps en hores. Calcula la taxa de variació mitjana (TVM) del nombre de visitants entre l'hora $t = 1$ i l'hora $t = 3$.

Donada la funció $f(x) = x^2 - 4x + 5$, utilitza la definició de derivada en un punt per a trobar el pendent de la recta tangent a la gràfica en $x = 3$.

Troba l'equació de la recta tangent a la funció $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ en el punt d'abscissa $x = 1$.

Una gelateria ha determinat que els seus beneficis mensuals (en centenars d'euros) depenen del nombre d'empleats contractats $x$ segons la funció $B(x) = -x^2 + 10x - 16$. Determina si el benefici està creixent o decreixent quan la gelateria compta amb 3 empleats.

Determina els punts de la gràfica de la funció $f(x) = x^3 - 12x + 2$ en què la recta tangent és horitzontal.

Estudia els intervals de creixement i decreixement de la funció quadràtica $f(x) = x^2 - 6x + 8$ analitzant el signe de la seva primera derivada.

Un dron s'enlaira verticalment i la seva altura $h$ (en metres) respecte al temps $t$ (en segons) ve donada per l'expressió $h(t) = -t^2 + 8t$. Calcula la velocitat instantània del dron als 2 segons del seu enlairament.

Calcula el valor de $x$ per al qual la funció $f(x) = x^2 - 8x + 20$ assoleix el seu valor mínim relatiu utilitzant la derivada.

La Lucía intenta classificar els punts singulars de la funció $f(x) = (x - 2)^4 + 3$. En el seu quadern escriu la següent resolució:

«Calculo la derivada primera: $f'(x) = 4(x - 2)^3$. Igualo a zero: $4(x - 2)^3 = 0 \implies x = 2$. Per veure si és màxim o mínim, calculo la segona derivada: $f''(x) = 12(x - 2)^2$. En avaluar en el punt crític obtinc $f''(2) = 0$. Com que la segona derivada és zero, la funció no té ni màxim ni mínim a $x = 2$, sinó que es tracta obligatòriament d'un punt d'inflexió».

1. a) Identifica i explica els dos errors conceptuals que comet la Lucía en aplicar els criteris de la derivada.
2. b) Corregeix l'exercici analitzant el signe de $f'(x)$ a l'esquerra i a la dreta de $x = 2$ per determinar raonadament si la funció presenta un màxim, un mínim o cap d'ells.
3. c) Comprova si el punt $(2, 3)$ és o no d'inflexió estudiant el signe de $f''(x)$ a banda i banda de $x = 2$.

Durant una onada de calor estival registrada per l'AEMET a Córdoba, la temperatura exterior $T$ (en graus Celsius) al llarg de les 24 hores del dia ($t \in [0, 24]$) s'ajusta al model:

1. a) Estima: Abans de derivar, i basant-te en l'experiència quotidiana sobre les hores de més calor a l'estiu, planteja un interval horari raonable en el qual esperis que s'assoleixi la temperatura màxima del dia. Justifica breument la teva previsió.
2. b) Calcula: Mitjançant les eines del càlcul diferencial, troba l'hora exacta $t$ en què es produeix la temperatura màxima absoluta i el valor d'aquesta temperatura.
3. c) Comprova: Contrasta el resultat exacte amb la teva estimació inicial i valora si el model matemàtic descriu de manera versemblant l'evolució tèrmica diària.

Calcula l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció racional $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ en el punt $P$ d'abscissa $x = 2$ (marcat a la figura). Interpreta el resultat indicant si la funció és creixent o decreixent en aquest punt basant-te en el valor del pendent.

Donada la funció polinòmica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$, fes un estudi de la seva monotonia. Per a fer-ho, determina els intervals de creixement i decreixement, i troba les coordenades dels seus màxims i mínims relatius.

Una empresa de venda de fundes personalitzades per a mòbils ha determinat que els seus beneficis diaris, en euros, segueixen la funció $B(x) = -x^2 + 40x - 300$, on $x$ representa el nombre de fundes venudes.

1. a) Quantes fundes han de vendre perquè el benefici sigui màxim?

1. b) A quant ascendeix aquest benefici màxim?

1. c) Entre quines quantitats de fundes venudes l'empresa obté benefici positiu (és a dir, $B(x) > 0$)?

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció $f(x) = x^3 + ax^2 + b$ tingui un mínim relatiu en el punt $(2, -3)$. Una vegada trobats els paràmetres, comprova si la funció té algun altre extrem relatiu.

Un dron de vigilància es desplaça seguint una trajectòria rectilínia. La seva distància al punt de control (en metres) ve donada per la funció $s(t) = \dfrac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 12t$, on $t$ és el temps en segons ($0 \le t \le 10$).

• Calcula la funció velocitat $v(t)$ i la funció acceleració $a(t)$.

• Determina en quins instants el dron està aturat momentàniament.

• Quina és la velocitat del dron als 5 segons? Està accelerant o frenant en aquest moment?

Determina els punts de la corba $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ en què la recta tangent és paral·lela a la recta $y = 9x - 5$. Escriu les equacions d'aquestes rectes tangents.

Estudia la curvatura (concavitat i convexitat) i troba els punts d'inflexió de la funció $f(x) = 3x^4 - 4x^3$. Dibuixa un esquema aproximat de la forma de la funció basant-te únicament en la seva segona derivada.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es vol tancar un jardí rectangular aprofitant la paret d'una casa, de manera que només sigui necessari posar tanca en tres dels seus costats. Si es disposa de 60 metres de tanca, calcula les dimensions del jardí perquè l'àrea envoltada sigui la màxima possible.

Una plataforma logística de paqueteria ubicada a Zaragoza modelitza el seu benefici diari net $B(x)$, expressat en milers d'euros, en funció del nombre $x$ de furgonetes de repartiment actives (amb $x \in [1, 7]$), mitjançant la funció polinòmica:

1. a) Determina els intervals de creixement i decreixement del benefici diari dins del rang operatiu de la flota $[1, 7]$.
2. b) Troba el nombre de furgonetes que proporciona un màxim relatiu de benefici i confirma aquest extrem mitjançant el criteri de la segona derivada.
3. c) El director d'operacions afirma que posar en circulació la flota sencera de 7 furgonetes sempre reportarà més benefici net total que deixar furgonetes aturades. Avalua el benefici en els extrems de l'interval $[1, 7]$, compara'ls amb el màxim trobat i refuta o confirma amb dades numèriques l'afirmació del director.

Un analista financer necessita reconstruir una funció cúbica $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ que descriu els beneficis acumulats d'una empresa d'energies renovables durant els seus primers anys d'activitat. Disposa únicament de les següents informacions:

1. L'empresa parteix sense beneficis ni pèrdues a l'inici de la seva activitat, per la qual cosa la seva gràfica passa per l'origen $O(0, 0)$.

2. La corba presenta un punt d'inflexió exactament a l'abscissa $x = 1$.

3. La funció té un mínim relatiu en el punt $P(2, -4)$.

1. a) Planteja el sistema d'equacions lineals que permet calcular els coeficients $a, b, c$ i $d$, justificant detalladament de quina propietat matemàtica procedeix cada equació.
2. b) Resol el sistema i escriu l'expressió analítica explícita de $f(x)$.
3. c) Esbrina si existeix un altre extrem relatiu en la trajectòria de l'empresa, calcula la seva abscisa i classifica'l utilitzant el signe de $f''(x)$ o de $f'(x)$.

Donada la funció polinòmica $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, determina els valors dels coeficients $a, b, c$ i $d$ sabent que es compleixen les condicions següents simultàniament:

• La gràfica de la funció passa pel punt $P(0, 2)$.

• Té un extrem relatiu en el punt d'abscissa $x = 1$.

• La recta tangent a la corba en el punt d'abscissa $x = -1$ és paral·lela a la recta d'equació $y = 12x - 5$.

• La funció presenta un punt d'inflexió a $x = -1$.

Estudia la continuïtat i la derivabilitat de la funció següent definida a trossos en tot el seu domini. En cas que hi hagi paràmetres, determina els valors de $a$ i $b$ perquè la funció sigui derivable en $x = 2$:

Una vegada trobats els paràmetres, calcula l'equació de la recta normal a la corba en el punt $x = 0$.

Una companyia d'autobusos interurbans ha determinat que el cost total (en euros) d'operar la seva flota durant un dia depèn de la velocitat mitjana $v$ (en km/h) a la qual circulen, segons la funció:

La figura mostra la gràfica de $C(v)$ i, ombrejat, l'interval de velocitats $[20, 60]$ que s'usa a l'apartat c).

Es demana:

1. a) Troba la velocitat mitjana a la qual han de circular els autobusos perquè el cost d'operació sigui mínim.

1. b) Demostra, utilitzant la segona derivada, que el valor trobat és efectivament un mínim.

1. c) Si per normativa de trànsit la velocitat mitjana ha d'estar compresa en l'interval $[20, 60]$ km/h, quins serien el cost màxim i el cost mínim en aquest interval?

Es vol tancar un recinte rectangular destinat a la zona de jocs d'una urbanització. El recinte ha de tenir una superfície de $600 \text{ m}^2$. Un dels costats del rectangle limita amb un edifici i no necessita tanca. El preu de la tanca per als dos costats laterals és de $20 \text{ €/m}$, mentre que el costat paral·lel a l'edifici utilitza una tanca reforçada que costa $60 \text{ €/m}$.

Determina les dimensions del recinte que minimitzen el cost total de la tanca i calcula aquest cost mínim.

La gràfica següent representa la funció derivada $f'(x)$ d'una funció contínua $f(x)$. A partir de l'observació de la gràfica de $f'(x)$, dedueix raonadament per a la funció original $f(x)$:

1. Els intervals de creixement i decreixement.

2. Les abscisses on es troben els seus màxims i mínims relatius.

3. Els intervals de concavitat i convexitat (estudiant el creixement de $f'(x)$).

4. Sabent que $f(0) = 0$, fes un esborrany aproximat de la gràfica de $f(x)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un "influencer" ha analitzat la repercussió dels seus vídeos en una xarxa social. El nombre de visualitzacions acumulades $V(t)$ (en milers) del seu últim vídeo segueix la funció:

on $t$ és el temps en dies des de la publicació ($0 \le t \le 15$).

1. En quin dia el vídeo aconsegueix el màxim ritme de creixement de visualitzacions? (Nota: Es demana maximitzar la velocitat de creixement, és a dir, la derivada).

2. Quin dia s'aconsegueix el nombre màxim de visualitzacions acumulades abans que el vídeo perdi interès?

3. Quina és la taxa de variació mitjana del nombre de visualitzacions entre el dia 1 i el dia 5?

Es considera la funció racional $f(x) = \frac{x^2 + kx}{x - 1}$.

1. Calcula el valor de $k$ perquè la funció tingui un extrem relatiu en el punt d'abscissa $x = 2$.

2. Per a aquest valor de $k$, estudia si l'extrem és un màxim o un mínim.

3. Troba les equacions de les asímptotes de la funció per al valor de $k$ obtingut.

4. Determina els punts de la corba on el pendent de la recta tangent és igual a $0$.

La funció de benefici total d'una cooperativa agrícola (en milers d'euros) ve donada per $B(x) = -0,5x^2 + 20x - 18$, on $x$ representa les tones de producte venudes. La figura mostra la gràfica de $B(x)$.

1. a) Calcula la funció de benefici marginal $B'(x)$. Què representa aquest concepte en termes econòmics?

1. b) Si la producció actual és de $10$ tones, quant augmentaria aproximadament el benefici si es vengués una tona addicional?

1. c) Determina el nivell de producció que maximitza el benefici total.

1. d) A partir de quantes tones el benefici marginal comença a ser negatiu? Interpreta el resultat.

Una empresa tèxtil calcula que el cost mitjà de fabricar cada lot de $x$ centenars de peces de roba (per a $x \in [1, 8]$) ve donat per la funció racional:

(expressat en euros per peça). Per trobar el nivell de producció que assoleix el cost mitjà unitari mínim absolut en aquest interval tancat, dos membres del departament financer debaten quin mètode emprar:

• Mètode 1: Derivar $C(x)$, igualar a zero per trobar el valor crític $x_0 \in (1, 8)$, i calcular $C''(x_0)$. Com que $C''(x_0) > 0$, concloure directament que a $x_0$ s'assoleix el cost mínim absolut de tot l'interval $[1, 8]$.

• Mètode 2: Trobar els punts crítics interiors on $C'(x) = 0$ dins de $(1, 8)$ i avaluar directament la funció $C(x)$ en aquests punts interiors i en els extrems de la frontera, $C(1)$ i $C(8)$, triant el menor de tots els valors obtinguts.

1. a) Analitza la validesa teòrica d'ambdós procediments: per què el Mètode 1 és incomplet i arriscat per assegurar l'existència d'un extrem absolut en un interval tancat? Quina condició geomètrica ignora?
2. b) Aplica el Mètode 2 per calcular de manera rigorosa el volum de producció $x$ que minimitza el cost mitjà unitari absolut i el cost corresponent.
3. c) Raona com afectaria a les conclusions d'ambdós mètodes si l'empresa canviés la seva capacitat productiva i l'interval de treball passés a ser $[5, 8]$.

Una cooperativa d'oli d'oliva a Jaén ha estimat la seva funció de producció total diària $P(x)$, mesurada en centenars de litres, en funció del nombre d'operaris $x$ contractats a la trull (amb $x \in [0, 10]$):

En economia, la productivitat marginal es defineix com la derivada primera de la producció, $P'(x)$, i representa l'augment de producció obtingut en incorporar un treballador addicional.

1. a) Obtén l'expressió analítica de la productivitat marginal i calcula la segona derivada $P''(x)$. Troba el nombre de treballadors per al qual la productivitat marginal és màxima i explica quin element geomètric singular de la gràfica de $P(x)$ representa aquest punt.
2. b) Estudia els intervals de concavitat i convexitat de $P(x)$ a $[0, 10]$. Interpreta econòmicament per què el pas de funció convexa a funció còncava reflecteix la «llei de rendiments marginals decreixents».
3. c) La direcció proposa contractar 10 operaris per «obtenir el màxim volum possible d'oli». Mitjançant l'estudi complet dels extrems absoluts de $P(x)$ a l'interval tancat $[0, 10]$, determina si aquesta decisió maximitza realment la producció total diària o si hi ha un excés de personal que satura la trull.