El método de Gauss

En el método de Gauss, el objetivo es transformar un sistema de ecuaciones en uno escalonado (triangular) para que sea mucho más sencillo de resolver. Observa el siguiente sistema que ya se encuentra en forma escalonada y halla el valor de las incógnitas $x$, $y$ y $z$ mediante el proceso de sustitución regresiva (de abajo hacia arriba):

$\begin{cases} x + y + z = 9 \\ 2y - z = 5 \\ 3z = 9 \end{cases}$

Al finalizar el proceso de Gauss, un estudiante llega a la siguiente matriz de coeficientes (donde la última columna es el término independiente):

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

1. a) Escribe el sistema de ecuaciones asociado a esta matriz.
2. b) Basándote en la última fila, indica si el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible. Razona tu respuesta.

A veces, para aplicar el método de Gauss de forma más eficiente, es útil intercambiar las filas del sistema. Dado el siguiente sistema:

$\begin{cases} 3x - 2y + z = 10 \\ x + y + z = 6 \\ 2y - 3z = -4 \end{cases}$

1. a) Explica por qué sería conveniente intercambiar la primera ecuación ($E_1$) por la segunda ($E_2$) antes de empezar a operar.
2. b) Escribe el sistema resultante tras el intercambio y realiza el primer paso de Gauss para eliminar la $x$ de la nueva segunda ecuación.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. Para facilitarte el trabajo, fíjate en que la variable $x$ ya ha sido eliminada de la segunda ecuación:

$\begin{cases} x - y + z = 2 \\ y + 2z = 8 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$

Pista: Solo necesitas realizar una operación elemental sobre la tercera ecuación ($E_3$) usando la primera ($E_1$) para empezar a triangular el sistema.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de Gauss paso a paso:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$

Sugerencia: Resta la primera ecuación a la segunda y a la tercera para eliminar las $x$ de un solo paso.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminación de Gauss. Recuerda organizar los pasos para obtener una estructura triangular antes de calcular el valor de las incógnitas:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 7 \\ x + y - 2z = -2 \end{cases}$$

Determina si el siguiente sistema tiene solución o no, aplicando el método de Gauss hasta obtener la última fila:

$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + 2y + 2z = 10 \\ 3x - y + z = 2 \end{cases}$

Justifica tu respuesta analizando la relación entre la primera y la segunda ecuación.

Analiza y resuelve el siguiente sistema. Si el sistema resulta ser compatible indeterminado, expresa la solución general utilizando un parámetro $\lambda$ (o $t$):

$$\begin{cases} x - 3y + 2z = 4 \\ 2x + y - 3z = 1 \\ 5x - 8y + 3z = 13 \end{cases}$$

Halla el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea incompatible (es decir, que no tenga solución):

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ 3x + 4y + kz = 10 \end{cases}$$

Pista: Utiliza el método de Gauss y observa qué ocurre en la última fila de la matriz resultante.

En una pequeña empresa de tecnología se están gestionando tres proyectos de inteligencia artificial: Alpha, Beta y Gamma. El presupuesto total asignado para los tres es de $450.000$ €. Se sabe que el coste del proyecto Gamma es igual a la suma del coste de Alpha más el doble de Beta. Además, si al triple del coste de Alpha le restamos el coste de Gamma, obtenemos exactamente el coste de Beta aumentado en $10.000$ €.

Plantea un sistema de ecuaciones lineales y utiliza el método de Gauss para determinar la inversión exacta que requiere cada uno de los proyectos.

Una joven inversora decide diversificar sus ahorros de $12.000$ € en tres productos financieros diferentes: una cuenta de ahorros que rinde el $2\%$, un fondo de inversión que rinde el $5\%$ y acciones tecnológicas con un rendimiento del $8\%$.

Se sabe que:

• La suma total de los intereses anuales obtenidos es de $600$ €.

• La cantidad invertida en acciones tecnológicas es la mitad de la suma de las otras dos inversiones.

Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resuélvelo mediante Gauss para hallar cuánto dinero invirtió en cada producto.

Un taller de artesanos fabrica tres tipos de lámparas: modelo Alfa, modelo Beta y modelo Gamma.

• Para fabricar una lámpara Alfa se necesitan 20 minutos de ensamblaje, 10 de pintura y 10 de embalaje.

• Para una Beta, 10 minutos de ensamblaje, 20 de pintura y 10 de embalaje.

• Para una Gamma, 10 minutos de ensamblaje, 10 de pintura y 20 de embalaje.

Si el taller ha dedicado hoy un total de $100$ horas al ensamblaje, $100$ horas a la pintura y $100$ horas al embalaje, ¿cuántas lámparas de cada tipo han fabricado?

Nota: Recuerda pasar todas las unidades de tiempo a la misma medida (minutos u horas) antes de plantear el sistema.