Exercicis: El mètode de Gauss

En el mètode de Gauss, l'objectiu és transformar un sistema d'equacions en un d'escalonat (triangular) perquè sigui molt més senzill de resoldre. Observa el sistema següent, que ja es troba en forma escalonada, i troba el valor de les incògnites $x$, $y$ i $z$ mitjançant el procés de substitució regressiva (de baix cap a dalt):

$\begin{cases} x + y + z = 9 \\ 2y - z = 5 \\ 3z = 9 \end{cases}$

Resol el sistema següent d'equacions lineals utilitzant el mètode de Gauss. Per facilitar-te la feina, fixa't que la variable $x$ ja ha estat eliminada de la segona equació:

$\begin{cases} x - y + z = 2 \\ y + 2z = 8 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$

Tres amics, Alex, Bea i Unai, han anat a una botiga de videojocs per aprofitar les rebaixes en subscripcions mensuals de diferents plataformes.

• L'Alex va comprar una subscripció de tipus A, una de tipus B i una de tipus C per $30$ €.

• La Bea va comprar dues de tipus B i una de tipus C per $25$ €.

• En Unai va comprar només una subscripció de tipus C per $9$ €.

Planteja el sistema d'equacions i calcula el preu de cada tipus de subscripció ($A$, $B$ i $C$). Aquest sistema ja està escalonat?

A vegades, per aplicar el mètode de Gauss de manera més eficient, és útil intercanviar les files del sistema. Atès el sistema següent:

$\begin{cases} 3x - 2y + z = 10 \\ x + y + z = 6 \\ 2y - 3z = -4 \end{cases}$

1. a) Explica per què seria convenient intercanviar la primera equació ($E_1$) per la segona ($E_2$) abans de començar a operar.
2. b) Escriu el sistema resultant després de l'intercanvi i fes el primer pas de Gauss per eliminar la $x$ de la nova segona equació.

En acabar el procés de Gauss, un estudiant arriba a la matriu de coeficients següent (on l'última columna és el terme independent):

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

1. a) Escriu el sistema d'equacions associat a aquesta matriu.
2. b) Basant-te en l'última fila, indica si el sistema és compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible. Raona la teva resposta.

Resol el sistema d'equacions següent aplicant el mètode de Gauss pas a pas:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$

Suggeriment: Resta la primera equació a la segona i a la tercera per eliminar les $x$ d'un sol pas.

En un torneig d'e-sports local, es premia els equips segons els objectius aconseguits: torres destruïdes ($x$), dracs capturats ($y$) i jugadors eliminats ($z$). Sabem que:

1. El total d'accions ($x + y + z$) d'un equip va ser de $20$.

2. Van destruir el mateix nombre de torres que de dracs capturats ($x - y = 0$).

3. Van capturar $4$ dracs ($y = 4$).

Fes servir aquestes dades per formar un sistema escalonat i determina quantes accions de cada tipus va realitzar l'equip.

Determina si el sistema següent té solució o no, aplicant el mètode de Gauss fins a obtenir l'última fila:

$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + 2y + 2z = 10 \\ 3x - y + z = 2 \end{cases}$

Justifica la teva resposta analitzant la relació entre la primera i la segona equació.

En Marcos aplica el mètode d'eliminació de Gauss a un sistema de tres equacions lineals amb incògnites $x$, $y$, $z$. Després de realitzar correctament les primeres operacions elementals, arriba al següent sistema esglaonat:

$$\begin{cases} x - 2y + z = 3 \\ 3y - 2z = 1 \\ 0x + 0y + 0z = 0 \end{cases}$$

En observar l'última fila, en Marcos afirma: «El sistema no té solució perquè hem perdut una equació i és impossible calcular tres incògnites disposant únicament de dues equacions». Per la seva banda, la seva comanyera Alba li rebat: «Sí que té solució; a més, com que l'última fila és $0 = 0$, això ens obliga que $z = 0$, per la qual cosa la solució és única». (ERROR D'ALTRI)

1. a) Identifica i explica amb detall l'error conceptual comès per en Marcos i el comès per l'Alba a la llum dels criteris de classificació del mètode de Gauss.
2. b) Classifica de manera rigorosa el sistema indicant el nombre de pivots no nuls $r$, el nombre d'incògnites $n$ i quants paràmetres lliures es requereixen.
3. c) Determina l'expressió general de totes les solucions del sistema en funció d'un paràmetre real $\lambda$.

Considera el següent sistema d'equacions lineals:

$$\begin{cases} 3x - 2y + 4z = 11 \\ x + y - z = 0 \\ 2x + 3y - z = 5 \end{cases}$$

Per resoldre'l mitjançant el mètode d'eliminació de Gauss, es plantegen dos camins possibles per al primer pas: (TRIA EL MÈTODE)

• Estratègia A: Mantenir l'ordre de les equacions tal com estan i transformar la segona fila mitjançant $3F_2 - F_1$ i la tercera mitjançant $3F_3 - 2F_1$.

• Estratègia B: Intercanviar prèviament la primera i la segona equació ($F_1 \leftrightarrow F_2$) per emprar com a pivot el coeficient $1$ de la incògnita $x$.

1. a) Compara raonadament ambdues estratègies analitzant quina redueix la complexitat operativa i minimitza el risc de cometre errors de càlcul amb coeficients grans o fraccions. Justifica a més si permutar dues equacions modifica el conjunt de solucions del sistema original basant-te en les propietats de les operacions elementals de Gauss.
2. b) Seguint l'estratègia que hagis considerat més convenient, aplica pas a pas el mètode de Gauss (indicant amb claredat les operacions de fila utilitzades) fins a obtenir el sistema triangular i calcula la solució única $(x, y, z)$ mitjançant substitució cap enrere.

Resol el sistema d'equacions lineals següent utilitzant el mètode d'eliminació de Gauss. Recorda organitzar els passos per obtenir una estructura triangular abans de calcular el valor de les incògnites:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 7 \\ x + y - 2z = -2 \end{cases}$$

Una jove inversora decideix diversificar els seus estalvis de $12.000$ € en tres productes financers diferents: un compte d'estalvis que rendeix el $2\%$, un fons d'inversió que rendeix el $5\%$ i accions tecnològiques amb un rendiment del $8\%$.

Se sap que:

• La suma total dels interessos anuals obtinguts és de $600$ €.

• La quantitat invertida en accions tecnològiques és la meitat de la suma de les altres dues inversions.

Planteja un sistema de tres equacions amb tres incògnites i resol-lo mitjançant Gauss per trobar quants diners va invertir en cada producte.

Una empresa de logística utilitza tres tipus de furgonetes (Petita, Mitjana i Gran) per repartir paquets. Ahir van fer tres rutes amb les característiques següents:

• Ruta A: 2 petites, 1 mitjana i 3 grans, transportant un total de $26$ contenidors.

• Ruta B: 1 petita, 4 mitjanes i 1 gran, transportant un total de $22$ contenidors.

• Ruta C: 3 petites, 2 mitjanes i 2 grans, transportant un total de $23$ contenidors.

Calcula la capacitat de càrrega de cada tipus de furgoneta aplicant el mètode de Gauss.

Analitza i resol el sistema següent. Si el sistema resulta ser compatible indeterminat, expressa la solució general utilitzant un paràmetre $\lambda$ (o $t$):

$$\begin{cases} x - 3y + 2z = 4 \\ 2x + y - 3z = 1 \\ 5x - 8y + 3z = 13 \end{cases}$$

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè el sistema d'equacions següent sigui incompatible (és a dir, que no tingui solució):

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ 3x + 4y + kz = 10 \end{cases}$$

En una cafeteria del centre de Madrid, un grup d'amics ha berenat.

• El primer dia, per 2 cafès, 1 refresc i 1 tros de pastís, van pagar $11$ €.

• El segon dia, per 1 cafè, 2 refrescos i 2 trossos de pastís, van pagar $16$ €.

• El tercer dia, per 3 cafès i 3 trossos de pastís (sense refrescos), van pagar $18$ €.

Determina el preu unitari de cada producte mitjançant el mètode de Gauss. És possible que el sistema tingui infinites solucions o el preu és únic? Justifica la teva resposta.

Atès el sistema d'equacions següent, utilitza Gauss per discutir la seva naturalesa segons el valor del resultat final. Si el sistema és compatible determinat, troba els valors de $x$, $y$ i $z$:

$$\begin{cases} 3x - y + 2z = 7 \\ -x + 2y + z = 1 \\ 4x + y + 3z = 8 \end{cases}$$

Un taller d'artesans fabrica tres tipus de llàmpades: model Alfa, model Beta i model Gamma.

• Per fabricar una llàmpada Alfa es necessiten 20 minuts de muntatge, 10 de pintura i 10 d'embalatge.

• Per a una Beta, 10 minuts de muntatge, 20 de pintura i 10 d'embalatge.

• Per a una Gamma, 10 minuts de muntatge, 10 de pintura i 20 d'embalatge.

Si el taller ha dedicat avui un total de $100$ hores al muntatge, $100$ hores a la pintura i $100$ hores a l'embalatge, quantes llàmpades de cada tipus han fabricat?

Nota: Recorda passar totes les unitats de temps a la mateixa mesura (minuts o hores) abans de plantejar el sistema.

Un centre d'educació secundària adquireix 80 llicències anuals de programari educatiu distribuïdes en tres modalitats: Bàsica (a 10 € cadascuna), Avançada (a 20 € cadascuna) i Professional (a 50 € cadascuna), amb un pressupost total invertit de 1.650 €. Per criteris d'implantació del centre, el nombre de llicències Bàsiques adquirides ha de coincidir exactament amb la suma de les llicències Avançades i Professionals juntes. (ESTIMA I COMPROVA)

1. a) Estima i raona: Abans de calcular el sistema complet:

• Dedueix directament el valor exacte de llicències Bàsiques ($x$) relacionant la condició pedagògica amb el total de 80 llicències.

• Si s'haguessin comprat 30 o més llicències Professionals, quant costarien només aquestes llicències sumades al cost de les Bàsiques que ja has deduït? A partir d'aquesta cota de despesa, valora si és plausible que el nombre de llicències Professionals sigui igual o superior a 30.

1. b) Modela el problema plantejant un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites i utilitza el mètode d'eliminació de Gauss per triangular la matriu associada i trobar quantes llicències de cada modalitat s'han adquirit.
2. c) Contrasta els resultats numèrics obtinguts amb les deduccions i estimacions de l'apartat a) i justifica per què la solució trobada és coherent en el context escolar.

Un estudi de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) sobre la despesa turística analitza una mostra de 120 viatgers que pernocten en una ciutat espanyola durant un cap de setmana. Els viatgers s'allotgen en tres tipus d'establiments: hotels de quatre estrelles ($x$), hotels de tres estrelles ($y$) i apartaments turístics reglats ($z$). (MODELITZA)

Es disposa de les següents dades versemblants:

• La taxa turística municipal per nit és de 3 € per persona en hotels de quatre estrelles, 2 € en hotels de tres estrelles i 1,50 € en apartaments turístics. La recaptació municipal total d'aquella nit generada pel grup de 120 persones va ser de 280 €.

• El nombre total de turistes allotjats en hotels (sumant els de quatre i tres estrelles) supera en 20 persones el quàdruple dels que es van allotjar en apartaments turístics.

1. a) Planteja el sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites que tradueix amb precisió les tres condicions del problema.
2. b) Aplica el mètode d'eliminació de Gauss per triangular el sistema (indicant a cada pas les transformacions elementals entre files) i troba quants turistes van optar per cada modalitat d'allotjament.
3. c) Si l'Ajuntament decideix incrementar la taxa municipal dels apartaments turístics a 2,50 € per nit mantenint invariables les taxes dels hotels, en quants euros i en quin percentatge exacte augmentaria la recaptació generada per aquest grup de 120 turistes?

En una petita empresa de tecnologia es gestionen tres projectes d'intel·ligència artificial: Alpha, Beta i Gamma. El pressupost total assignat per als tres és de $450.000$ €. Se sap que el cost del projecte Gamma és igual a la suma del cost d'Alpha més el doble de Beta. A més, si al triple del cost d'Alpha li restem el cost de Gamma, obtenim exactament el cost de Beta augmentat en $30.000$ €.

Planteja un sistema d'equacions lineals i utilitza el mètode de Gauss per determinar la inversió exacta que requereix cadascun dels projectes.

Discuteix el sistema d'equacions lineals següent en funció dels valors del paràmetre real $k$, utilitzant el procediment d'esglaonament de Gauss:

$\begin{cases} x + y + kz = 1 \\ x + ky + z = k \\ kx + y + z = k^2 \end{cases}$

Indica per a quins valors de $k$ el sistema és Compatible Determinat, Compatible Indeterminat o Incompatible. Resol-lo per al cas en què sigui Compatible Indeterminat.

Una cooperativa agrícola barreja tres tipus d'olis d'oliva: Verge Extra ($x$), Verge ($y$) i Lampant ($z$) per obtenir una partida de $1000$ litres. El Verge Extra costa $8$ €/litre, el Verge $6$ €/litre i el Lampant $3$ €/litre. El cost total de la mescla ha sigut de $5800$ €.

A causa de normatives de qualitat, la quantitat d'oli Verge ha de ser exactament el triple de la diferència entre el Verge Extra i el Lampant.

Determina mitjançant el mètode de Gauss quants litres de cada tipus d'oli conté la mescla.

Troba un nombre de tres xifres sabent que la suma de les seves xifres és $12$. Si s'intercanvia la xifra de les centenes per la de les unitats, el nombre disminueix en $198$ unitats. Finalment, sabem que el doble de la xifra de les desenes és igual a la suma de les altres dues xifres més $6$.

Planteja el sistema corresponent i resol-lo per Gauss.

Un inversor disposa de $60.000$ € que reparteix entre tres productes financers amb rendibilitats anuals del $2\%$, $4\%$ i $6\%$ respectivament. En acabar l'any, els beneficis totals han sigut de $2.600$ €. Si el capital invertit al $6\%$ és la mitjana aritmètica dels altres dos capitals invertits, quina quantitat va destinar a cada producte?

Resol aplicant el mètode de Gauss.

Estudia i resol pel mètode de Gauss el següent sistema d'equacions lineals dependent del paràmetre $a$:

$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + ay + z = 0 \\ 3x + 4y + (a-2)z = 3 \end{cases}$

Analitza els casos en què el sistema no té solució i el cas en què té infinites solucions. En aquest últim cas, expressa la solució general.

Una fàbrica de mobles produeix tres models de prestatgeries: Bàsic, Estàndard i Luxe. Cada model requereix passar per tres departaments: Fusteria, Vernissat i Muntatge. El temps (en hores) requerit per cada unitat es detalla en la taula següent:

Departament	Bàsic	Estàndard	Luxe
Carpintería	$1$	$2$	$3$
Barnizado	$1$	$1$	$2$
Montaje	$0,5$	$1$	$1$

Si la fàbrica disposa setmanalment de $400$ hores de Fusteria, $250$ hores de Vernissat i $160$ hores de Muntatge, quantes prestatgeries de cada tipus ha de fabricar per esgotar exactament les hores disponibles? Utilitza el mètode de Gauss per resoldre el sistema resultant.

Considera el sistema d'equacions lineals següent on els coeficients són fraccions:

$\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + z = 13 \\ x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 14 \\ \frac{x}{3} + y + \frac{z}{2} = 17 \end{cases}$

Transforma el sistema per treballar amb coeficients enters i utilitza el mètode de Gauss per trobar els valors de $x$, $y$ i $z$. Explica pas a pas cada operació elemental que facis sobre les files de la matriu.

Un equip d'analistes de dades necessita reconstruir un sistema original de tres equacions lineals amb tres incògnites $(x, y, z)$ el registre informàtic del qual va patir un esborrament parcial. De l'informe de càlcul només es conserven les següents dades certificades: (PROBLEMA INVERS)

1. La primera equació del sistema original era $E_1: x - y + 2z = 1$.

2. La primera operació elemental realitzada sobre la segona fila va ser $F_2 \leftarrow E_2 - 2E_1$, i es va obtenir com a equació reduïda $F_2: y - 3z = 4$.

3. El sistema no tenia solució única: va resultar ser compatible indeterminat amb infinites solucions, i una d'elles era la terna particular $(x, y, z) = (7, 10, 2)$.

1. a) Dedueix de forma raonada l'expressió algebraica completa de la segona equació original ($E_2$) abans d'aplicar la transformació de Gauss.
2. b) Dissenya una tercera equació original ($E_3$) de tal manera que, en aplicar operacions elementals per eliminar la incògnita $x$ i la incògnita $y$, l'última fila s'anul·li per complet ($0x + 0y + 0z = 0$) i la terna $(7, 10, 2)$ verifiqui aquesta equació.
3. c) Aplica el mètode de Gauss al sistema de tres equacions que has reconstruït per comprovar que queda esglaonat amb dos pivots i expressa totes les seves solucions en funció d'un paràmetre real $\lambda$.
4. d) Sense necessitat de repetir tot el procés de triangulació, explica quin únic canvi hauries de fer en el terme independent de la teva equació $E_3$ perquè el sistema resultant passi a ser incompatible, justificant quina contradicció apareixeria a l'última fila.

Considera el següent sistema d'equacions lineals dependent del paràmetre real $k$: (ERROR D'ALTRI)

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 5 \\ x + 2y + (k^2 + 2k - 3)z = k + 2 \end{cases}$$

En triangular el sistema mitjançant el mètode d'eliminació de Gauss aplicant les operacions $F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$, $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$ i finalment $F_3 \leftarrow F_3 - F_2$, s'obté a la tercera fila la següent igualtat:

$$(k^2 + 2k - 3)z = k - 1$$

Hugo examina aquesta última equació i afirma en veu alta:

«Com que $k^2 + 2k - 3$ s'anul·la per a $k = 1$ i per a $k = -3$, en tots dos valors el coeficient de $z$ desapareix. Per tant, tant si $k = 1$ com si $k = -3$, el sistema té infinites solucions perquè en els dos casos ens queda una incògnita lliure».

1. a) Localitza i raona l'error fonamental de la deducció d'Hugo. Explica per què és indispensable contrastar el comportament del membre esquerre amb el del membre dret (terme independent) en aplicar el mètode de Gauss.
2. b) Discuteix i classifica de forma rigorosa el sistema per a tots els valors possibles de $k \in \mathbb{R}$ (distingint entre compatible determinat, compatible indeterminat i incompatible).
3. c) Resol el sistema per a $k = 1$ expressant les seves solucions en funció d'un paràmetre $\lambda$, i obtén l'expressió general de la incògnita $z$ en funció de $k$ quan el sistema sigui compatible determinat.