Ejercicios: Posiciones relativas

Un satélite de observación sigue una trayectoria lineal en el espacio definida por la recta $r: (x, y, z) = (1, 2, 0) + \lambda(2, -1, 3)$. Se quiere comprobar si el satélite pasará exactamente por un punto de control situado en $P(5, 0, 6)$. Determina si el punto $P$ pertenece a la trayectoria del satélite.

En el diseño de un edificio inteligente, se han definido dos superficies planas correspondientes al techo y al suelo de una planta técnica. Las ecuaciones de los planos son $\pi_1: 2x - y + 3z - 5 = 0$ y $\pi_2: 4x - 2y + 6z + 8 = 0$. Analiza la posición relativa de ambos planos para confirmar si son paralelos.

Un rayo láser se propaga siguiendo la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}$ e incide sobre una lámina de cristal plana cuya ecuación es $\pi: x + y + z - 1 = 0$. Determina la posición relativa entre el rayo láser y la lámina. En caso de que se corten, calcula las coordenadas del punto de impacto.

Dadas las rectas $r$ y $s$ expresadas por sus ecuaciones paramétricas:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = 2 - \mu \end{cases}$

Estudia la posición relativa de ambas comparando sus vectores directores. ¿Son paralelas o tienen direcciones distintas?

Comprueba si la recta $r$, definida como la intersección de los planos $x + y = 2$ y $x - y = 0$, es paralela al plano de coordenadas $XY$ (el plano $z = 0$). Argumenta tu respuesta basándote en el vector director de la recta.

Un arquitecto utiliza un software de diseño para situar una viga estructural representada por la recta $r: \frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-4}{4}$. Determina si la viga es perpendicular al plano de fachada $\pi: 3x - 2y + 4z + 1 = 0$.

Dados los puntos $A(1, 0, -1)$, $B(2, 1, 0)$ y $C(3, 2, 1)$, determina la posición relativa de la recta que pasa por $A$ y $B$ respecto a la recta que pasa por $B$ y $C$. ¿Se trata de la misma recta (coincidentes) o son rectas secantes en el punto $B$?

Determina el valor del parámetro $k$ para que los planos $\pi_1: x + ky + z - 2 = 0$ y $\pi_2: 2x - 4y + 2z + 1 = 0$ sean paralelos. Para ese valor de $k$, ¿podrían ser los planos coincidentes? Justifica tu respuesta observando los términos independientes.

Estudia la posición relativa de las siguientes rectas $r$ y $s$. En caso de que sean secantes, calcula las coordenadas del punto de corte:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-4}{-1}$

Considera el plano $\pi: 2x - y + az + 3 = 0$ y la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1, 0, -1)$ y $B(2, 1, 0)$. Determina el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para que la recta sea paralela al plano. Para dicho valor de $a$, ¿está la recta contenida en el plano? Justifica tu respuesta.

Dos drones de vigilancia aérea siguen trayectorias rectilíneas definidas por las rectas $r$ y $s$. El centro de control necesita saber si existe algún riesgo de colisión (si las trayectorias se cortan). Las ecuaciones de las trayectorias son:

$r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{3}$

$s: \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Determina la posición relativa de ambas trayectorias.

Discute, en función del parámetro real $m$, la posición relativa de los siguientes tres planos:

$\pi_1: mx + y + z = 1$

$\pi_2: x + my + z = m$

$\pi_3: x + y + mz = m^2$

Halla la ecuación implícita del plano que contiene a la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$ y es paralelo a la recta $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$. ¿Cuál es la posición relativa de las rectas $r$ y $s$?

Un haz de planos tiene como arista la recta $r: \begin{cases} 3x - y + z = 2 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}$. Encuentra cuál de los planos del haz pasa por el punto $P(1, 1, 1)$. Una vez obtenido, determina la posición relativa de este plano con el eje $OY$.

Se proyecta un rayo láser desde el punto $A(2, 3, 5)$ en la dirección del vector $\vec{v} = (1, -1, -2)$. El rayo impacta contra una pared metálica representada por el plano $\pi: x + 2y + z = 12$.

1. a) Determina las coordenadas del punto de impacto.
2. b) Estudia la posición relativa de la trayectoria del láser con la recta $s: \begin{cases} x = 3 + \mu \\ y = 2 \\ z = 3 - 2\mu \end{cases}$.

Dadas las rectas $r$ y $s$, demuestra que se cruzan y halla la ecuación del plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$:

$r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{1}$

$s: \frac{x-1}{-1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}$

En un proyecto de diseño industrial, se definen tres superficies mediante los siguientes planos en el espacio:

$\pi_1: x + ay + z = a$

$\pi_2: ax + y + (a-1)z = 1$

$\pi_3: x + y + z = 1$

Discute la posición relativa de los tres planos según los diferentes valores del parámetro real $a$. En los casos en los que los tres planos se corten en una recta (formando un haz de planos), obtén la ecuación paramétrica de dicha recta.

Se considera una trayectoria de un dron representada por la recta $r$ que pasa por el punto $A(1, 2, -1)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (k, 1, 2)$. Por otro lado, un panel solar está contenido en el plano $\pi$ definido por los puntos $P(1, 0, 1)$, $Q(0, 2, 3)$ y $R(2, 1, 0)$.

Determine el valor del parámetro $k$ para que la trayectoria del dron sea paralela al panel solar. Para ese valor de $k$, ¿existe alguna recta $s$ contenida en el plano $\pi$ que sea perpendicular a $r$? Justifica la respuesta basándote en la posición relativa de los elementos.

Dadas las rectas $r$ y $s$ definidas por:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{m} = z$

1. a) Estudia la posición relativa de $r$ y $s$ en función del parámetro $m$.
2. b) Para el valor de $m$ que hace que las rectas se corten, encuentra la ecuación del plano $\pi$ que las contiene.
3. c) Si $m=0$, las rectas se cruzan. Encuentra la ecuación de la recta $t$ que pasa por el origen de coordenadas y corta a $r$ y a $s$ simultáneamente.

Un arquitecto diseña una estructura donde tres vigas de soporte deben converger en un punto. Las caras de los pilares principales se asientan sobre los planos:

$\pi_1: x + 2y - z = 3$

$\pi_2: 2x - y + z = 1$

$\pi_3: 5x + ay + bz = 5$

Calcula los valores de $a$ y $b$ para que:

1. a) Los tres planos se corten en una única recta (la viga de soporte común).
2. b) Los tres planos no tengan ningún punto común y se corten dos a dos (formando un prisma infinito). Explica qué relación deben cumplir los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada en este caso.

Sea la recta $r$ definida por la intersección de los planos $\sigma_1: x + y = 2$ y $\sigma_2: x - z = 1$. Consideramos también el plano $\pi: 2x + y - z = k$.

1. a) Determina el valor de $k$ para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$.
2. b) Para un valor de $k$ distinto al hallado en el apartado anterior, la recta $r$ y el plano $\pi$ son paralelos. En esta situación, calcula la ecuación de una nueva recta $s$ que sea la proyección ortogonal de $r$ sobre el plano $\pi$.
3. c) Estudia la posición relativa de esta nueva recta $s$ con el eje $OY$.

Se dan las rectas $r$ y $s$ de ecuaciones:

$r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$

$s: \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + z = 1 \end{cases}$

1. a) Demuestra analíticamente que las rectas $r$ y $s$ se cruzan.
2. b) Halla la ecuación de la perpendicular común a ambas rectas.
3. c) Determina la posición relativa de esta perpendicular común con el plano coordenado $XZ$.

Consideramos una familia de planos que dependen de un parámetro $\alpha \in \mathbb{R}$:

$\pi_\alpha: \alpha x + y + z = \alpha$

Y la recta $r$ que pasa por los puntos $M(1, 1, 1)$ y $N(2, 3, 0)$.

1. a) Estudia la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi_\alpha$ según los valores de $\alpha$.
2. b) ¿Existe algún valor de $\alpha$ para el cual el plano $\pi_\alpha$ contenga a la recta $r$?
3. c) Para $\alpha = 0$, halla el punto simétrico de $M$ respecto al plano $\pi_0$ y comprueba si la recta que une $M$ con su simétrico es secante, paralela o coincidente con la recta $r$.

En un sistema de coordenadas estelar, se detectan dos señales de radio lineales:

$L_1: (x, y, z) = (1, 0, 2) + \lambda(1, -1, 1)$

$L_2: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-m}{2}$

1. a) Halla el valor de $m$ para que las trayectorias de las señales sean secantes.
2. b) Para el valor de $m$ hallado, calcula el punto de impacto $I$.
3. c) Considera un satélite situado en el plano $\pi: x + y + z = 10$. Determina la posición relativa de la recta $L_1$ respecto a este plano y calcula, si existe, la distancia mínima entre la señal $L_1$ y el satélite (representado por el plano).