Ejercicios: Producto mixto

Dados los vectores $\vec{u} = (2, -1, 3)$, $\vec{v} = (0, 4, 1)$ y $\vec{w} = (1, 1, -2)$, calcula el valor del producto mixto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ utilizando la definición basada en el determinante de sus componentes.

Un estudiante de ingeniería está diseñando una pieza mediante un programa de CAD. La base de la pieza viene definida por los vectores $\vec{a} = (3, 0, 0)$ y $\vec{b} = (0, 5, 0)$, mientras que el tercer vector que define la profundidad es $\vec{c} = (1, 2, 4)$. Calcula el volumen del paralelepípedo que forman estos tres vectores.

Comprueba de forma razonada si los vectores $\vec{a} = (1, 2, -1)$, $\vec{b} = (3, 0, 2)$ y $\vec{c} = (4, 2, 1)$ son coplanarios. Para ello, calcula su producto mixto y justifica tu respuesta basándote en el resultado obtenido.

Dados los vectores $\vec{u} = (1, 0, 1)$ y $\vec{v} = (2, 1, -1)$, encuentra un tercer vector $\vec{w}$ de la forma $(0, 0, z)$ tal que el volumen del paralelepípedo definido por los tres sea exactamente de 5 unidades cúbicas.

Dadas las rectas $r$ y $s$ definidas por las siguientes ecuaciones:

$r: \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x - z = 3 \end{cases}$

$s: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-1}$

Se pide determinar la ecuación de la recta $t$ que es la perpendicular común a $r$ y $s$. Para ello, obtén primero los vectores directores de ambas rectas y justifica razonadamente que se cruzan en el espacio.

Estudia, en función del parámetro real $a$, la posición relativa de las rectas $r$ y $s$:

$r: \frac{x-1}{a} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z}{2}$

$s: \begin{cases} x - 2y = 3 \\ ax + z = 1 \end{cases}$

En el caso particular de que las rectas sean secantes, calcula las coordenadas del punto de intersección $P$ y la ecuación del plano que las contiene.

Consideramos el punto $P(1, 0, -1)$ y las rectas:

$r: x = y = z$

$s: \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = 1 + t \end{cases}$

Halla la ecuación general del plano $\pi$ que pasa por el punto $P$ y es paralelo a ambas rectas. A continuación, determina la ecuación de una tercera recta $k$ que pase por el origen de coordenadas, esté contenida en dicho plano $\pi$ y sea perpendicular a la recta $r$.

Halla la ecuación de la recta $t$ que pasa por el punto $A(1, 2, 1)$ y corta a las rectas $r$ y $s$:

$r: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{1}$

$s: \begin{cases} x + z = 3 \\ y = 2 \end{cases}$

Explica el método utilizado basándote en la intersección de planos (haz de planos).

Se sabe que la recta $r$ pasa por el punto $A(1, m, 0)$ y tiene como vector director $\vec{u} = (1, 1, a)$. Por otro lado, la recta $s$ es la intersección de los planos:

$\pi_1: x - y + z = 0$

$\pi_2: 2x + y = 1$

Determina los valores de los parámetros $m$ y $a$ para que las rectas $r$ y $s$ sean la misma (rectas coincidentes).

Dos aeronaves siguen trayectorias rectilíneas dadas por:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$

$s: \frac{x-a}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{2}$

1. Calcula el valor de $a$ para que las trayectorias de las aeronaves se corten en un punto.

2. Para ese valor de $a$, halla la ecuación de la recta $n$ que sea perpendicular al plano formado por las trayectorias $r$ y $s$ y que pase por el punto de colisión.

Se desea instalar un cable de fibra óptica que conecte el punto $A(1, 4, -2)$ con el punto $B(3, -1, 0)$. Halla la ecuación de la recta que pasa por ambos puntos en su forma continua.

Dada la recta $r$ expresada mediante sus ecuaciones paramétricas:

Comprueba de forma razonada si los puntos $A(3, -3, 3)$ y $B(1, 0, 5)$ pertenecen a dicha recta.

Expresa en forma paramétrica la recta $s$ definida como la intersección de los siguientes planos (ecuaciones implícitas):

Obtén un punto y un vector director de la recta $r$ cuya ecuación continua es:

Pista: Presta atención a los coeficientes de las variables $y$ y $z$ en los numeradores.

Un estudio de arquitectura diseña una claraboya con forma de tetraedro cuyos vértices son los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$, $C(2, 4, -1)$ y $D(0, 0, z)$. Calcula el valor de la cota $z$ sabiendo que el volumen de la claraboya es de $5$ unidades cúbicas y que el vértice $D$ se encuentra en el semieje negativo de las $Z$.

Comprueba si los puntos $P(1, 2, -1)$, $Q(3, 0, 2)$, $R(2, 1, 4)$ y $S(5, -2, 7)$ son coplanarios utilizando el producto mixto. En caso de que no lo sean, calcula el volumen del tetraedro que tiene a estos cuatro puntos como vértices.

Dados tres vectores linealmente independientes $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ tales que su producto mixto es $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 4$, calcula razonadamente, aplicando las propiedades de los determinantes, el valor del producto mixto de los vectores $\vec{x} = 2\vec{u}$, $\vec{y} = \vec{u} + \vec{v}$ y $\vec{z} = \vec{w} - \vec{v}$.

Se considera un hangar de almacenamiento con forma de paralelepípedo donde tres de sus aristas concurrentes en un vértice son los vectores $\vec{u} = (3, 0, 0)$, $\vec{v} = (0, 4, 0)$ y $\vec{w} = (1, 2, 5)$.

1. a) Calcula el volumen total del hangar.
2. b) Si se divide el hangar mediante un plano inclinado que pase por los extremos de los tres vectores anteriores para crear un altillo triangular (tetraedro con el origen), ¿qué fracción del volumen total del hangar ocuparía dicho altillo?

La trayectoria de un rayo láser en una sala de espectáculos viene dada por la intersección de los planos $\pi_1: x + y - z = 3$ y $\pi_2: 2x - y + z = 0$.

1. a) Expresa la ecuación de la trayectoria del láser en forma continua.
2. b) Un sensor de seguridad está situado en el punto $S(1, 2, 0)$. Determina si el rayo láser pasará exactamente por la posición del sensor.

En el diseño de una estructura arquitectónica, una viga metálica sigue la dirección de la recta $r$ que pasa por el punto $A(1, 0, -1)$ y es paralela a la recta $s: \begin{cases} 3x - y + z = 0 \\ x + y = 2 \end{cases}$.

Obtén la ecuación de la recta $r$ en forma implícita (como intersección de dos planos) y calcula un punto de la misma cuya coordenada $z$ sea igual a $5$.

Dada la recta $r: \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{2}$, se pide:

1. a) Hallar la ecuación de una recta $s$ que pase por el origen de coordenadas y sea paralela a $r$.
2. b) Determinar la distancia que separa el punto $Q(1, 1, 1)$ de la recta $s$ mediante el uso de un punto genérico de la misma.

Se considera un triángulo en el espacio cuyos vértices son $A(1, 1, 0)$, $B(0, 2, 1)$ y $C(2, 0, 1)$.

1. a) Halla la ecuación de la recta que contiene a la mediana que parte del vértice $A$.
2. b) Obtén un punto $D$ sobre dicha recta tal que el vector $\vec{AD}$ tenga módulo $\sqrt{6}$.

Se considera el tetraedro de vértices $A(1, 0, 1)$, $B(k, 1, 1)$, $C(1, k, 0)$ y $D(1, 1, k)$.

1. a) Determina los valores del parámetro real $k$ para los que el volumen del tetraedro es de $2$ unidades cúbicas.
2. b) Para $k = 2$, halla la altura del tetraedro que parte del vértice $D$ sobre la cara formada por los vértices $A$, $B$ y $C$.

Un equipo de ingenieros está diseñando una pieza de soporte para un satélite con forma de paralelepípedo. La base está definida por los vectores $\vec{u} = (2, -1, 0)$ y $\vec{v} = (1, 2, 1)$. El tercer vector que define la pieza es $\vec{w} = (k, 1, k+1)$.

1. a) Si se sabe que la proyección del vector $\vec{w}$ sobre el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ tiene una longitud de $3$ unidades, determina el valor de $k$.
2. b) Razona si existe algún valor de $k$ que haga que la pieza sea plana (volumen nulo).

Demuestra vectorialmente, utilizando las propiedades del producto mixto, que para tres vectores cualesquiera $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in \mathbb{R}^3$, se cumple que:

Interpreta el resultado geométricamente comparando el volumen de un paralelepípedo original con el formado por las sumas de sus vectores directores.

Se tienen cuatro puntos en el espacio: $P(1, 1, 1)$, $Q(2, 3, a)$, $R(k, 1, 2)$ y $S(0, 0, 3)$.

1. a) Determina la relación que deben cumplir $a$ y $k$ para que los cuatro puntos sean coplanarios.
2. b) Si fijamos $k = 2$, ¿cuánto debe valer $a$ para que el volumen del tetraedro $PQRS$ sea mínimo? Justifica tu respuesta basándote en la dependencia lineal de los vectores.

En una estructura arquitectónica moderna, una columna sigue la dirección de la perpendicular común a las rectas $r$ y $s$. La recta $r$ pasa por el origen y tiene dirección $\vec{d_r} = (1, 0, 1)$. La recta $s$ pasa por $P(0, 1, 0)$ y tiene dirección $\vec{d_s} = (0, 1, 1)$.

Calcula el volumen del paralelepípedo definido por los vectores directores $\vec{d_r}$, $\vec{d_s}$ y un tercer vector $\vec{v}$ que una un punto cualquiera de $r$ con un punto cualquiera de $s$. ¿Depende dicho volumen de los puntos elegidos en las rectas?

Sea $\vec{u}$ un vector unitario y $\vec{v}, \vec{w}$ dos vectores tales que el área del paralelogramo que forman es igual a $10$. Si se sabe que el producto mixto $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 5$, calcula el ángulo que forma el vector $\vec{u}$ con el plano que contiene a los vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$.