Ejercicios: Ecuación de un plano en el espacio

Un ingeniero está diseñando la base de una pieza mediante un programa de CAD. La base debe ser un plano que pase por el punto $P(2, -1, 3)$ y cuyo vector normal sea $\vec{n} = (3, 2, -4)$. Calcula la ecuación general del plano que define dicha base.

La superficie de un panel solar en un satélite se puede representar mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:

$\begin{cases} x = 1 + \lambda + 2\mu \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\mu \end{cases}$

Obtén la ecuación general o implícita de dicho plano.

En un escenario de realidad virtual, tres sensores están situados en los puntos $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$ y $C(0, 0, 3)$. Determina la ecuación general del plano que contiene a estos tres sensores.

Dada la ecuación del plano que representa una de las paredes de una habitación, $\pi \equiv 2x - 3y + z - 6 = 0$, indica razonadamente si los siguientes puntos pertenecen a dicha pared:

1. a) $Q(3, 0, 0)$
2. b) $R(1, 1, 1)$

Halla la ecuación del plano que pasa por el punto $A(5, -2, 4)$ y es paralelo al plano de ecuación $\pi \equiv 3x - y + 2z + 8 = 0$. Recuerda que dos planos paralelos comparten el mismo vector normal.

Un arquitecto utiliza la "ecuación segmentaria" para definir un techo inclinado que corta a los ejes de coordenadas en los puntos $(4, 0, 0)$, $(0, 3, 0)$ y $(0, 0, 2)$. Escribe directamente su ecuación y transfórmala a la forma general $Ax + By + Cz + D = 0$.

Se desea instalar un foco de luz cuya trayectoria sea perpendicular a una placa metálica. Si la trayectoria del rayo de luz viene dada por la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{4}$, halla la ecuación del plano que contiene a la placa metálica sabiendo que pasa por el punto $M(0, 4, -2)$.

Determina la ecuación del plano que contiene a la recta $r \equiv \begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$ y que además pasa por el punto exterior $P(1, 1, 1)$.

Un arquitecto está diseñando una cubierta plana para un pequeño pabellón. La cubierta debe apoyarse sobre tres pilares cuyos extremos superiores están situados en los puntos $A(2, 0, 3)$, $B(0, 4, 3)$ y $C(1, 1, 5)$, donde las unidades están en metros.

1. a) Obtén la ecuación general o implícita del plano que contiene a la cubierta.
2. b) Calcula los puntos de corte de dicho plano con los ejes de coordenadas para determinar dónde se situarían los anclajes si la cubierta se extendiera hasta tocar los muros principales (ejes).

Determina la ecuación del plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ dada por:

y es paralelo a la recta $s$, que pasa por los puntos $P(0, 2, 1)$ y $Q(1, 2, 4)$. Justifica por qué el vector director de $s$ no puede ser proporcional al de $r$ para que el plano esté unívocamente determinado.

Se considera el haz de planos cuya arista es la recta de intersección de los planos $\pi_1 \equiv 2x - y + z - 3 = 0$ y $\pi_2 \equiv x + y - 2z + 1 = 0$. Halla el plano perteneciente a dicho haz que pasa por el punto medio del segmento de extremos $A(1, 2, -1)$ y $B(3, 0, 5)$.

Un plano $\pi$ corta a los ejes de coordenadas en los puntos $X(a, 0, 0)$, $Y(0, b, 0)$ y $Z(0, 0, c)$. Se sabe que el plano pasa por el punto $P(1, 2, 2)$ y que las distancias al origen desde los puntos de corte son iguales ($a = b = c$).

1. a) Escribe la ecuación general del plano.
2. b) Calcula el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas y los tres puntos de corte con los ejes.

Halla el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que los puntos $A(1, 0, 1)$, $B(0, 2, 1)$, $C(2, 1, 0)$ y $D(k, k, 2)$ sean coplanarios. Una vez hallado $k$, escribe la ecuación del plano que los contiene en forma paramétrica.

En una misión de rescate, un dron se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea dada por la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{-1}$. El dron debe emitir una señal de radiofrecuencia que solo es efectiva si choca perpendicularmente contra una pantalla plana de seguridad.

1. a) Determina la ecuación del plano que representa dicha pantalla si esta debe pasar por el punto $P(2, 2, 2)$ y ser perpendicular a la trayectoria del dron.
2. b) Calcula el punto exacto donde la trayectoria del dron impactaría contra la pantalla.

Dados los planos $\pi_1 \equiv (a+1)x + 2y + z = 3$ y $\pi_2 \equiv 4x + ay + 2z = b$:

1. a) Calcula los valores de $a$ y $b$ para que los planos sean coincidentes.
2. b) Calcula los valores de $a$ y $b$ para que los planos sean paralelos pero no coincidentes.
3. c) ¿Qué relación debe existir entre $a$ y $b$ para que el origen de coordenadas pertenezca a la intersección de ambos planos?

Halla la ecuación del plano que contiene a las siguientes rectas, verificando primero que se cortan en un punto:

Si un tercer rayo láser sigue la dirección del vector normal a este plano y sale del punto de intersección de $r$ y $s$, ¿cuál sería su ecuación vectorial?

Un arquitecto está diseñando la cubierta de un pabellón deportivo. La estructura principal está definida por dos vigas metálicas que se sitúan sobre las rectas:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3\lambda \end{cases}$ y $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$

Determina la ecuación general del plano $\pi$ que es paralelo a ambas vigas y que se encuentra a una distancia de $\sqrt{14}$ unidades del origen de coordenadas. ¿Existe una única solución? Razona tu respuesta.

Se considera el haz de planos cuya arista es la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3}$. Calcula la ecuación del plano $\pi$ perteneciente a dicho haz que cumple las siguientes dos condiciones simultáneamente:

1. Es perpendicular al plano $\sigma: x - 2y + z - 5 = 0$.

2. El punto $P(0, a, 1)$ pertenece al plano $\pi$ para algún valor real de $a$.

Determina el valor de $a$ y la ecuación general de $\pi$.

Un rayo láser parte del punto $A(1, 2, 3)$ y sigue la dirección del vector $\vec{u} = (1, -1, 1)$ hasta impactar en un espejo plano que contiene a la recta $s: \begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$ y al punto $B(0, 0, 4)$.

1. a) Calcula la ecuación del plano $\pi$ donde se encuentra el espejo.
2. b) Halla las coordenadas del punto de impacto $P$ del láser sobre el espejo.

Encuentra la ecuación del plano $\pi$ que contiene a la recta intersección de los planos $\alpha: 2x - y + 3z = 1$ y $\beta: x + 2y - z = 0$, y que corta a los ejes coordenados $OX$, $OY$ y $OZ$ en los puntos $P$, $Q$ y $R$ de forma que el volumen del tetraedro formado por el origen y estos puntos sea mínimo.

Pista: Utiliza la forma segmentaria del plano $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

Consideramos las rectas secantes $r$ y $s$ que definen un plano $\alpha$. La recta $r$ pasa por $P(1, 0, 1)$ con dirección $\vec{d_r} = (2, 1, -1)$ y la recta $s$ pasa por $Q(1, 0, 1)$ con dirección $\vec{d_s} = (0, 1, 1)$.

Calcula la ecuación de un plano $\pi$ que sea paralelo a $\alpha$ y tal que la esfera de centro $C(3, 2, 1)$ y radio $R=2$ sea tangente a dicho plano $\pi$. Obtén las dos posibles soluciones.

Dados los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 0, 2)$ y $C(4, k, 0)$, estudia la posición relativa de los planos $\pi_1$, $\pi_2$ y $\pi_3$ en función del parámetro real $k$, sabiendo que:

• $\pi_1$ es el plano que pasa por $A$, $B$ y el origen.

• $\pi_2$ es el plano que contiene a $C$ y es perpendicular a la recta que une $A$ y $B$.

• $\pi_3$ es el plano de ecuación $x + y + z = k + 2$.

Determina para qué valor de $k$ los tres planos se cortan en una recta.

Un dron se desplaza de forma rectilínea siguiendo la trayectoria de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{2}$. Se quiere instalar una pantalla de protección plana $\pi$ que contenga a la recta $s: \begin{cases} x = t \\ y = 2 \\ z = 1-t \end{cases}$.

Halla la ecuación del plano $\pi$ de modo que sea paralelo a la trayectoria del dron. Calcula la distancia mínima a la que pasará el dron de dicha pantalla.

Sea $P(1, 2, -1)$ un punto del espacio y $r$ la recta intersección de los planos $x - y = 0$ y $z = 2$.

1. a) Halla la ecuación del plano $\pi_1$ que contiene a $r$ y pasa por $P$.
2. b) Halla la ecuación del plano $\pi_2$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi_1$.
3. c) Calcula el ángulo que forma el plano $\pi_2$ con el plano coordenado $XY$.