Ejercicios: Vectores y espacios vectoriales

Un dron de mensajería se desplaza en el espacio tridimensional siguiendo trayectorias marcadas por vectores. Sus propulsores básicos le permiten realizar tres movimientos fundamentales definidos por los vectores $\vec{u} = (1, -1, 0)$, $\vec{v} = (0, 2, 1)$ y $\vec{w} = (2, 0, 3)$. Si el dron necesita realizar un transporte urgente desde el centro de control hasta un cliente siguiendo el vector de desplazamiento resultante $\vec{d} = (5, 1, 10)$, calcula los coeficientes $a, b$ y $c$ tales que el movimiento se pueda expresar como combinación lineal de los propulsores: $\vec{d} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$.

En el diseño de un videojuego, la iluminación de una sala depende de tres focos cuyas direcciones de haz están definidas por los vectores $\vec{v_1} = (1, 2, k)$, $\vec{v_2} = (k, 0, 1)$ y $\vec{v_3} = (3, 2, 2)$. Determina razonadamente los valores del parámetro real $k$ para los cuales los tres haces de luz son linealmente dependientes (están en un mismo plano). ¿Qué ocurre con la base del espacio si $k$ toma uno de esos valores?

Considera los vectores del espacio $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (0, 1, 1)$ y $\vec{w} = (1, 0, 1)$.

1. a) Demuestra que el conjunto $B = \{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \}$ forma una base de $\mathbb{R}^3$.
2. b) Encuentra las coordenadas del vector canónico $\vec{e_1} = (1, 0, 0)$ respecto de la base $B$.

Un sistema de seguridad láser utiliza tres sensores situados en los puntos $A(1, 2, 3)$, $B(3, 0, 1)$ y $C(k, -2, -1)$. Para que el sistema funcione correctamente, los tres sensores deben estar perfectamente alineados.

1. a) Calcula el valor de $k$ para que los sensores $A, B$ y $C$ estén alineados.
2. b) Utilizando el valor de $k$ hallado, determina las coordenadas del punto medio del segmento $AC$.

Se están instalando paneles solares en una estructura metálica. Los puntos de anclaje de un panel son $P(1, 0, 1)$, $Q(2, 1, 3)$, $R(0, 2, 2)$ y $S(1, 3, a)$. Para que el panel no sufra tensiones mecánicas, los cuatro puntos deben ser coplanarios (pertenecer al mismo plano).

1. a) Determina el valor de $a$ para que los puntos $P, Q, R$ y $S$ sean coplanarios.
2. b) Para el valor de $a$ obtenido, ¿son los vectores $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$ linealmente independientes? Justifica tu respuesta.

Dados los puntos $A(2, -1, 4)$ y $B(8, 5, -2)$, encuentra las coordenadas de los puntos $C$ y $D$ que dividen al segmento $AB$ en tres partes iguales. Explica la relación vectorial que has utilizado para resolverlo.

Estudia el rango de la siguiente familia de vectores según los valores del parámetro $m$:

$\vec{u} = (1, m, 1)$, $\vec{v} = (m, 1, 1)$ y $\vec{w} = (1, 1, m)$.

Determina para qué valores de $m$ el sistema de vectores es linealmente dependiente y, en caso de serlo, indica si los vectores son proporcionales o coplanarios.

En un software de simulación física, se define un sistema de referencia local mediante los vectores $\vec{a} = (2, 1, -1)$, $\vec{b} = (1, 0, 1)$ y un tercer vector $\vec{c}$ de modo que el conjunto sea linealmente independiente.

Si el vector $\vec{c}$ tiene la forma $(0, 1, \lambda)$, determina el intervalo de valores de $\lambda$ para los cuales $\vec{c}$ no puede expresarse como combinación lineal de $\vec{a}$ y $\vec{b}$. Razona si esto significa que el conjunto $\{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \}$ formaría una base de $\mathbb{R}^3$.

Un dron de vigilancia despega desde una plataforma situada en el punto $A(1, -2, 5)$ y se desplaza en línea recta hasta alcanzar un objetivo en el punto $B(4, 3, -1)$. Calcula las componentes del vector de desplazamiento $\vec{AB}$ y obtén su módulo para conocer la distancia recorrida por el dron.

Dados los vectores $\vec{u} = (2, -1, 3)$ y $\vec{v} = (0, 4, 1)$, realiza las siguientes operaciones analíticas:

1. a) $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$

1. b) $\vec{t} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$

1. c) Calcula el valor del escalar $k$ si se sabe que $k \cdot \vec{u} = (10, -5, 15)$.

En el diseño de una estructura metálica, dos vigas se unen en sus extremos representados por los puntos $P(2, 5, -3)$ y $Q(8, -1, 7)$. Para reforzar la estructura, se debe colocar un soporte exactamente en el punto medio del segmento $PQ$. Halla las coordenadas de dicho punto medio $M$.

Determina si los vectores $\vec{a} = (1, -2, 4)$ y $\vec{b} = (-3, 6, -12)$ son linealmente dependientes. Justifica tu respuesta comprobando si sus coordenadas son proporcionales y explica qué relación geométrica existe entre ellos (¿son paralelos?).

Expresa el vector $\vec{w} = (7, 11, 2)$ como una combinación lineal de los vectores de la base canónica de $\mathbb{R}^3$, es decir, en función de $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ y $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Tres estaciones de radio están situadas en los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 2, 0)$ y $C(5, 3, -1)$. Comprueba si las tres estaciones están alineadas (pertenecen a la misma línea recta) estudiando la proporcionalidad de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$.

Calcula el valor del parámetro $m$ para que el vector $\vec{u} = (m, 2, -1)$ sea combinación lineal de los vectores $\vec{v} = (1, 0, 2)$ y $\vec{w} = (0, 1, -1)$ mediante la expresión $\vec{u} = 3\vec{v} + 2\vec{w}$.

Considera un paralelogramo donde tres de sus vértices consecutivos son $A(1, 1, 0)$, $B(4, 2, 1)$ y $C(5, 5, 3)$. Utilizando la igualdad entre vectores (por ejemplo, $\vec{AB} = \vec{DC}$), calcula las coordenadas del cuarto vértice $D$.

Dados los vectores del espacio $\mathbb{V}^3$ definidos por $\vec{u} = (k, 1, 1)$, $\vec{v} = (1, k, 1)$ y $\vec{w} = (1, 1, k)$, se pide:

• a) Determinar razonadamente para qué valores del parámetro real $k$ los vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ no constituyen una base de $\mathbb{R}^3$.

• b) Para los valores de $k$ hallados en el apartado anterior, estudia la dependencia o independencia lineal de los vectores tomados de dos en dos.

• c) En el caso de que $k = 0$, expresa el vector $\vec{a} = (2, 3, 5)$ como combinación lineal de $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$.

Considera una base $B = \{\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}\}$ de un espacio vectorial euclídeo. Se definen tres nuevos vectores a partir de los elementos de la base como:

$\vec{u} = \vec{e_1} + a\vec{e_2}$

$\vec{v} = \vec{e_2} + b\vec{e_3}$

$\vec{w} = \vec{e_3} + c\vec{e_1}$

Demuestra que los vectores $\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ son linealmente dependientes si y solo si el producto de los coeficientes $abc = -1$. En caso de que $a=1, b=1, c=-1$, obtén la relación de dependencia lineal que existe entre ellos.

Un equipo de ingenieros está calibrando el sistema de navegación de un satélite. Se han definido dos bases distintas en el espacio de trabajo. La base de control $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ y la base de maniobra $B' = \{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$. Sabemos que:

$\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$

$\vec{b} = \vec{u} + \vec{w}$

$\vec{c} = \vec{v} - \vec{w}$

Un objeto detectado tiene coordenadas $(1, -2, 3)$ respecto a la base maniobra $B'$. Calcula cuáles son sus coordenadas respecto a la base de control $B$. ¿Es posible que un vector tenga las mismas coordenadas en ambas bases? Justifica tu respuesta.

En un tetraedro de vértices $O(0,0,0)$, $A(1,2,0)$, $B(0,2,1)$ y $C(k,0,3)$, se pide determinar el valor de $k$ para que el vector que une el origen $O$ con el baricentro $G$ de la cara opuesta $ABC$ sea perpendicular al plano que contiene a dicha cara. Nota: El baricentro de un triángulo es la media aritmética de sus vértices.

Sean los vectores $\vec{u} = (1, -1, 0)$ y $\vec{v} = (0, 1, -1)$. Hallar todos los vectores $\vec{w}$ que cumplan simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. $\vec{w}$ es combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

2. El módulo de $\vec{w}$ es igual a $\sqrt{6}$.

3. $\vec{w}$ forma un ángulo de $60^\circ$ con el vector $\vec{u}$.

Estudia la dependencia lineal de los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(0, 2, 2)$, $C(2, 0, 0)$ y $D(m, m, m)$.

• a) Determina para qué valores de $m$ los cuatro puntos son coplanarios.

• b) ¿Existe algún valor de $m$ para el cual el vector $\vec{AB}$ sea ortogonal al vector $\vec{CD}$?

• c) Explica geométricamente qué ocurre con los puntos cuando $m=1$.

Se considera el conjunto de vectores $S = \{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}$ que forman una base ortonormal. Se construye un nuevo sistema de vectores $S' = \{ \vec{w_1}, \vec{w_2}, \vec{w_3} \}$ mediante las relaciones:

$\vec{w_1} = \vec{v_1} + \vec{v_2}$

$\vec{w_2} = \vec{v_1} - \vec{v_2}$

$\vec{w_3} = \vec{v_3}$

• a) Demuestra que $S'$ es una base ortogonal pero no ortonormal.

• b) Halla el volumen del paralelepípedo definido por los vectores de $S'$.

• c) Si un vector $\vec{x}$ tiene coordenadas $(3, 1, 4)$ en la base $S$, calcula sus coordenadas en la base $S'$.

Dos partículas se desplazan por el espacio siguiendo trayectorias rectilíneas. En el instante $t=0$, la primera partícula se encuentra en el punto $P(1, 0, 0)$ y se mueve con una velocidad constante dada por el vector $\vec{v_1} = (1, 1, 1)$. La segunda partícula parte de $Q(0, 2, 1)$ con velocidad $\vec{v_2} = (2, m, 0)$.

Determina el valor de $m$ para que los vectores posición de ambas partículas en cualquier instante $t > 0$ y el vector que une sus posiciones iniciales $\vec{PQ}$ sean siempre coplanarios. ¿Chocarán las partículas en algún momento para ese valor de $m$?