Ejercicios: Producto escalar

Un equipo de ingenieros está diseñando la estructura de un soporte para una antena de telecomunicaciones. Han definido dos cables de sujeción representados por los vectores $\vec{u} = (2, -3, 1)$ y $\vec{v} = (4, 2, 5)$. Calcula el producto escalar de ambos vectores para determinar la relación de tensiones en el nudo central.

Dos drones de vigilancia se encuentran en posiciones fijas en el espacio. El primer dron está en el punto $A(1, 2, -1)$ y el segundo en el punto $B(3, -2, 2)$. Si el centro de control está en el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$, calcula el módulo del vector posición de cada dron, $|\vec{OA}|$ y $|\vec{OB}|$.

Determina el valor del parámetro real $k$ para que los vectores $\vec{a} = (k, 4, -2)$ y $\vec{b} = (3, -2, 5)$ sean perpendiculares (ortogonales). Este tipo de cálculos es fundamental en programación de videojuegos para detectar colisiones entre superficies.

En una atracción de un parque temático, dos cables tiran de una cabina. Las direcciones de los cables vienen dadas por los vectores $\vec{u} = (1, 0, 1)$ y $\vec{v} = (0, 1, 1)$. Utilizando la definición de producto escalar, halla el ángulo $\alpha$ que forman ambos cables.

Un vector de viento tiene componentes $\vec{w} = (3, -4, 12)$. En meteorología es útil trabajar con direcciones normalizadas. Calcula el vector unitario $\vec{u_w}$ en la misma dirección y sentido que $\vec{w}$.

Dado el vector $\vec{a} = (6, 2, -3)$, calcula su proyección escalar sobre el eje de abscisas (eje $X$). Para ello, utiliza el producto escalar de $\vec{a}$ con el vector unitario de dicho eje, $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Representa gráficamente la idea de la proyección.

Se consideran los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 1, 1)$ y $C(1, 4, 1)$.

1. a) Halla los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.
2. b) Calcula su producto escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
3. c) Justifica si el triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en el vértice $A$.

En física, el trabajo realizado por una fuerza constante se define como el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Si una fuerza $\vec{F} = (5, 3, 2)$ Newtons desplaza un objeto desde el punto $P(0, 0, 0)$ hasta el punto $Q(2, 4, 1)$ metros, calcula el trabajo realizado expresado en Julios.

Dados los vectores $\vec{u} = (m, 2, -1)$ y $\vec{v} = (3, m, m+2)$, determina los valores del parámetro real $m$ para que ambos vectores sean ortogonales. En caso de existir varios valores, explica si los vectores resultantes en cada caso tienen el mismo módulo.

Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores del espacio tales que sus módulos son $|\vec{u}| = 4$ y $|\vec{v}| = 3$. Si se sabe que el ángulo que forman es de $60^\circ$, calcula el valor del producto escalar de los vectores $\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$ y $\vec{b} = \vec{u} + 3\vec{v}$ utilizando las propiedades distributiva y conmutativa.

Calcula la proyección escalar y la proyección vectorial del vector $\vec{a} = (1, -2, 5)$ sobre el vector $\vec{b} = (3, 0, 4)$. Interpreta gráficamente si el vector proyección tiene el mismo sentido que $\vec{b}$ basándote en el signo del producto escalar obtenido.

Los vértices de un triángulo en el espacio son $A(1, 2, 1)$, $B(3, -1, 0)$ y $C(-1, 0, 4)$.

• a) Calcula el ángulo interior en el vértice $A$.

• b) Utiliza el producto escalar para determinar si el triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

Un vector $\vec{w}$ tiene módulo 10 y sus dos primeros cosenos directores son $\cos \alpha = 0,6$ y $\cos \beta = -0,8$.

• a) Determina el tercer coseno director, $\cos \gamma$.

• b) Halla las componentes del vector $\vec{w}$ sabiendo que su coordenada $z$ es positiva.

En una estructura de ingeniería, una fuerza $\vec{F} = (4, -3, 2)$ Newtons actúa sobre un punto desplazándolo desde la posición $P(1, 1, 1)$ hasta $Q(5, 2, -3)$ (coordenadas en metros). Calcula el trabajo realizado por la fuerza, recordando que el trabajo es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento $\vec{W} = \vec{F} \cdot \vec{d}$.

Determina el valor de $k$ para que el ángulo formado por los vectores $\vec{u} = (1, 1, 0)$ y $\vec{v} = (0, 1, k)$ sea exactamente de $45^\circ$. Justifica si el valor de $k$ obtenido es único o si existen varias orientaciones posibles para el vector $\vec{v}$.

Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores unitarios. Demuestra que el vector suma $\vec{u} + \vec{v}$ y el vector diferencia $\vec{u} - \vec{v}$ son siempre perpendiculares entre sí, independientemente de las componentes de dichos vectores. Utiliza este resultado para explicar la relación geométrica entre las diagonales de un rombo.

Un equipo de ingenieros está calibrando el sensor de orientación de un dron de inspección industrial. El sistema de referencia está fijado en la base de despegue. Se sabe que el eje principal del dron debe seguir la dirección de un vector $\vec{w}$ que cumpla simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. El vector $\vec{w}$ debe ser unitario.

2. $\vec{w}$ debe ser ortogonal al vector $\vec{u} = (1, -2, 2)$, que representa la dirección del viento dominante.

3. El ángulo que forma $\vec{w}$ con el vector de posición del objetivo, $\vec{v} = (0, 3, 4)$, debe ser de $45^\circ$.

Determina las coordenadas de los posibles vectores $\vec{w}$ que puede utilizar el software de navegación del dron.

Se considera un tetraedro de vértices $O(0,0,0)$, $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$ y $C(0, 0, c)$ con $a, b, c > 0$. Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$.

1. a) Utilizando exclusivamente el producto escalar, demuestra que el vector $\vec{AM}$ es perpendicular al segmento $BC$ si y solo si los catetos de la base sobre los ejes $Y$ y $Z$ tienen la misma longitud ($b = c$).

1. b) Si fijamos $a=4$, $b=2$ y $c=2$, calcula la proyección ortogonal del vector $\vec{OA}$ sobre la dirección definida por el vector $\vec{AB}$. Expresa el resultado como un vector.

En el diseño de una estructura arquitectónica de vanguardia, se requiere colocar un cable de tensión que una un punto fijo $P(1, 2, 3)$ con un punto variable $Q$ situado sobre una viga metálica cuya trayectoria viene dada por la recta $r: (x, y, z) = (2, 0, 1) + \lambda(1, -1, 0)$.

Se desea que el cable sea lo más corto posible. Utiliza el concepto de producto escalar y proyección para:

1. a) Determinar las coordenadas del punto $Q$ que minimiza la longitud del cable.
2. b) Comprobar que, para dicho punto, el vector $\vec{PQ}$ es perpendicular al vector director de la viga $r$.

Dados los vectores $\vec{u} = (m, 1, 1)$ y $\vec{v} = (1, m, 1)$, se pide:

1. a) Determinar los valores del parámetro real $m$ para los cuales el ángulo formado por $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sea exactamente de $60^\circ$.

1. b) Para el valor de $m=0$, encuentra un vector $\vec{w}$ de módulo $\sqrt{6}$ que sea combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$, y que además sea ortogonal al vector $\vec{a} = (1, 1, -1)$.

Demuestra, utilizando las propiedades del producto escalar, que para cualesquiera dos vectores $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^3$, se cumple la siguiente identidad (conocida como la Identidad de Polarización):

A continuación, utiliza este resultado para calcular el producto escalar de dos vectores cuyas sumas y restas tienen módulos $|\vec{x} + \vec{y}| = 10$ y $|\vec{x} - \vec{y}| = 6$. ¿Qué ángulo forman dichos vectores si además sabemos que sus módulos son iguales?

Un satélite artificial se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea. En un instante dado, su vector de posición es $\vec{r} = (2, 2, 1)$ y su vector velocidad es $\vec{v} = (1, -2, 2)$. Un centro de control en la Tierra emite una señal de radio cuya dirección viene dada por el vector $\vec{s} = (k, 1, 0)$.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la proyección de la velocidad del satélite sobre la dirección de la señal de radio sea nula. Interpreta físicamente qué significa que dicha proyección sea cero en términos de la aproximación o alejamiento del satélite respecto a la fuente de la señal.

Sea $B = \{ \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 \}$ una base de $\mathbb{R}^3$ que no es necesariamente ortonormal. Se conocen los siguientes productos escalares entre los vectores de la base:

• $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 = 2$, $\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = 1$, $\vec{e}_3 \cdot \vec{e}_3 = 3$

• $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = -1$, $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 = 0$, $\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 = 1$

Calcula el módulo del vector $\vec{u} = 2\vec{e}_1 - 3\vec{e}_2 + \vec{e}_3$ y determina el coseno del ángulo que forma este vector $\vec{u}$ con el vector $\vec{e}_1$.

Considera los puntos del espacio $A(1, 0, -1)$ y $B(3, 2, 1)$. Sea $r$ la recta que pasa por el punto $C(0, 4, 3)$ y tiene como dirección el vector $\vec{d} = (1, 1, 1)$.

Encuentra un punto $P$ perteneciente a la recta $r$ tal que los vectores $\vec{AP}$ y $\vec{BP}$ sean ortogonales. ¿Existe una única solución? Justifica tu respuesta analizando la ecuación cuadrática resultante.