Ejercicios: Teorema de Rouché-Frobenius

En una sesión de estudio sobre álgebra, un compañero te muestra los resultados del análisis de los rangos de tres sistemas de ecuaciones distintos utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius. Indica razonadamente el tipo de sistema (Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible) en cada uno de los siguientes casos, sabiendo que el número de incógnitas es $n = 3$:

1. a) $rg(A) = 3$ y $rg(A^*) = 3$.
2. b) $rg(A) = 2$ y $rg(A*) = 3$.
3. c) $rg(A) = 2$ y $rg(A^*) = 2$.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales sin parámetros:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + 3z = 5 \\ 3x + 4z = 7 \end{cases}$$

Calcula el rango de la matriz de coeficientes $A$ y el rango de la matriz ampliada $A^*$. Utiliza el Teorema de Rouché-Frobenius para discutir la existencia y el número de soluciones del sistema.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro real $k$:

$$\begin{cases} kx + y = 1 \\ x + y = k \end{cases}$$

Determina para qué valores de $k$ el sistema es Compatible Determinado y para cuáles es Incompatible o Compatible Indeterminado.

Considera un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes es $A$. Si sabemos que el determinante de dicha matriz es $|A| = 0$ y que existe un menor de orden 2 distinto de cero, utiliza el Teorema de Rouché-Frobenius para:

1. a) Justificar por qué el sistema nunca podrá ser incompatible.
2. b) Clasificar el sistema según el número de soluciones.
3. c) Indicar cuántos parámetros serán necesarios para expresar su solución general.

Un "influencer" está analizando el crecimiento de sus seguidores en tres redes sociales distintas (TikTok, Instagram y Twitch). Ha planteado un sistema de ecuaciones para repartir su presupuesto publicitario, pero se ha dado cuenta de que tiene más incógnitas que ecuaciones:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 1000 \\ 2x - y + 3z = 1500 \end{cases}$$

Siendo $x, y, z$ la inversión en euros para cada red social. Sin resolver el sistema, explica razonadamente mediante el Teorema de Rouché-Frobenius por qué este sistema nunca podrá tener una solución única. ¿Podría ser incompatible?

Asocia cada una de las siguientes situaciones geométricas de tres planos en el espacio con la discusión del sistema correspondiente según el Teorema de Rouché-Frobenius (asume $n=3$):

1. Los tres planos se cortan en un único punto.

2. Dos planos son paralelos y el tercero los corta.

3. Los tres planos se cortan en una recta común.

Relaciona cada caso con una de estas opciones:

1. a) $rg(A) = 2, rg(A^*) = 2$.
2. b) $rg(A) = 3, rg(A^*) = 3$.
3. c) $rg(A) = 2, rg(A^*) = 3$.

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones dependiendo del valor del parámetro $a$, que afecta únicamente al término independiente de la tercera ecuación:

$$\begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 4 \\ 3x = a \end{cases}$$

¿Existe algún valor de $a$ para el cual el sistema sea Compatible Indeterminado? Justifica tu respuesta calculando los rangos de $A$ y $A^*$.

Discute el carácter del sistema formado por las ecuaciones de tres rectas en el plano, sabiendo que el sistema viene dado por:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 1 \\ 4x + 6y = 10 \end{cases}$$

Calcula el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada. Interpreta el resultado obtenido: ¿se cortan las tres rectas en un punto, son la misma recta o hay alguna relación de paralelismo?

Dado el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $k$:

$$\begin{cases} x + ky + z = k \\ kx + y + z = 1 \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$$

Discute su compatibilidad según los valores de $k$ utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius. No es necesario resolverlo.

Considera los tres planos representados en el espacio cuyas ecuaciones se dan a continuación:

$$\pi_1: x + ay + z = 1$$ $$\pi_2: ax + y + (a-1)z = a$$ $$\pi_3: x + y + z = a + 1$$

Estudia la posición relativa de los tres planos en función del parámetro $a$ basándote en el rango de la matriz de coeficientes $A$ y de la matriz ampliada $A^*$.

Una empresa de componentes electrónicos fabrica tres tipos de placas base: Alpha, Beta y Gamma. Se sabe que:

• El número total de placas fabricadas en un día es de $150$ unidades.

• El coste de producción de cada placa Alpha es de $50$ €, el de Beta es de $60$ € y el de Gamma es de $80$ €. El coste total diario es de $10.000$ €.

• La suma de las placas Alpha y Beta fabricadas supera en $m$ unidades al número de placas Gamma.

Plantea el sistema de ecuaciones y discute, utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius, para qué valores del parámetro $m$ el problema tiene una solución única.

Sea el sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = b \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$

Discute el sistema en función de los parámetros reales $a$ y $b$. Determina bajo qué condiciones el sistema es Compatible Indeterminado y ofrece la interpretación geométrica de ese caso.

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema homogéneo en función del parámetro $m$:

$$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ mx + 2y + mz = 0 \\ 2x + my + 4z = 0 \end{cases}$$

Indica para qué valores de $m$ el sistema admite soluciones distintas de la trivial $(0, 0, 0)$.

A un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que es Compatible Indeterminado se le añade una tercera ecuación.

$$\begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$$

Encuentra una ecuación de la forma $Ax + By + Cz = D$ tal que el sistema resultante sea:

1. Incompatible.

2. Compatible Determinado.

3. Compatible Indeterminado.

Justifica tu respuesta analizando los rangos de la matriz de coeficientes y la ampliada.

Dada la matriz de coeficientes $A$ y la matriz de términos independientes $B$ de un sistema $AX = B$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ m \end{pmatrix}$$

Utiliza el determinante de $A$ para discutir el sistema. ¿Existe algún valor de $m$ para el cual el rango de la matriz ampliada $A^*$ sea $3$ mientras que el rango de $A$ sea $2$?

Se considera el sistema:

$$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 2 \\ x - 2y = -1 \end{cases}$$

1. Demuestra que el sistema es Compatible Indeterminado calculando los rangos por el método de menores.

2. Si añadimos una cuarta ecuación $x + y + az = b$, discute cómo debe ser la relación entre $a$ y $b$ para que el sistema siga teniendo soluciones.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente de dos parámetros reales $a$ y $b$:

$$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = b \\ x + y + az = b^2 \end{cases}$$

Discute el sistema utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius en función de todos los valores posibles de $a$ y $b$. En los casos en los que el sistema sea compatible indeterminado, indica el grado de libertad (número de parámetros de la solución) y describe la posición relativa de los tres planos que representan las ecuaciones.

Dado el sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ mx + 10y + 4z = 8 \\ 3x + 4y + 2z = k \end{cases}$$

1. a) Determina los valores de los parámetros $m$ y $k$ para que el sistema sea compatible según el Teorema de Rouché-Frobenius.
2. b) ¿Existe algún valor de $m$ que haga que el sistema sea Compatible Indeterminado independientemente de $k$? Justifica tu respuesta analizando los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

Un estudio de ingeniería ambiental analiza el flujo de contaminantes en tres estaciones de filtrado ($A$, $B$ y $C$). Las concentraciones de partículas $x$, $y$ y $z$ en cada estación deben satisfacer el siguiente equilibrio técnico:

$$\begin{cases} e^k x + y + z = 1 \\ x + e^k y + z = e \\ x + y + e^k z = e^2 \end{cases}$$

Discute la compatibilidad del sistema en función del parámetro real $k$. En particular, analiza si existe algún valor de $k$ para el cual el rango de la matriz de coeficientes sea 1 y explica qué significaría geométricamente para las estaciones de filtrado.

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es $|A| = m^2 - 4$. Consideramos el sistema de ecuaciones lineales $A \cdot X = B$, donde $B$ es un vector columna no nulo.

Se sabe que para $m = 2$, el rango de la matriz ampliada $(A|B)$ es 2.

1. a) Discute la compatibilidad del sistema para $m = 2$ y para $m = -2$.
2. b) Si para $m = -2$ el sistema es incompatible, ¿qué podemos afirmar sobre el rango de la matriz ampliada en ese caso?
3. c) Describe una situación geométrica (posiciones relativas de tres planos) que corresponda al caso $m = 2$.

Considera el sistema de ecuaciones homogéneo:

$$\begin{cases} x + ky + z = 0 \\ kx - y + z = 0 \\ (k+1)x + (k-1)y + 2z = 0 \end{cases}$$

1. a) Demuestra que el sistema es compatible para cualquier valor de $k$.
2. b) Utiliza el determinante de la matriz de coeficientes para encontrar los valores de $k$ que permiten la existencia de soluciones distintas a la trivial $(0,0,0)$.
3. c) Para los valores hallados en el apartado b), determina el rango de la matriz y el número de parámetros necesarios para expresar la solución general.

En un sistema logístico de transporte, se definen las rutas entre cuatro ciudades mediante un sistema de ecuaciones donde las variables representan las toneladas de carga. El sistema viene dado por:

$$\begin{cases} x + y + z = a \\ x + (a+1)y + az = 2a + 1 \\ ax + y + z = a^2 \end{cases}$$

1. a) Discute el sistema para los diferentes valores de $a$ utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius.
2. b) Si el sistema es Compatible Indeterminado, ¿es posible que la carga $x$ sea siempre el doble que la carga $y$? Justifica tu respuesta.

Determina para qué valores de los parámetros $p$ y $q$ el siguiente sistema tiene:

1. Una única solución.

2. Infinitas soluciones.

3. Ninguna solución.

$$\begin{cases} x + 2y - z = q \\ px + (p+1)y + z = p \\ px + py + pz = p \end{cases}$$

Para el caso en que sea compatible indeterminado, interpreta si los tres planos se cortan en una recta o si hay dos planos coincidentes.

Sea el sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} x + y + mz = m \\ mx + (m-1)y + z = m \\ x + my + z = m \end{cases}$$

1. a) Calcula el valor de $m$ que hace que el rango de la matriz de coeficientes sea igual a 2.
2. b) Para ese valor de $m$ hallado, estudia si el sistema es compatible o incompatible.
3. c) En caso de ser compatible, ¿podemos afirmar que existe una solución donde $z = 0$? Razona la respuesta basándote en la estructura del sistema.