Ejercicios: Resolución de sistemas y regla de Cramer

Dos amigos, Lucía y Marcos, están comparando sus suscripciones a plataformas de streaming. Lucía paga por un plan de "Cine" y dos de "Series" un total de $16$ € al mes. Marcos, por su parte, tiene contratados dos planes de "Cine" y uno de "Series" por $17$ € mensuales.

1. a) Expresa la situación mediante un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
2. b) Calcula el determinante de la matriz de coeficientes.
3. c) Resuelve el sistema utilizando la Regla de Cramer para hallar el precio mensual de cada plan.

Un nutricionista diseña una dieta personalizada para un atleta combinando tres tipos de alimentos ($A, B$ y $C$). Las cantidades de proteínas, carbohidratos y grasas por unidad de alimento vienen dadas por el siguiente sistema de ecuaciones, donde $x, y, z$ representan las unidades de cada alimento necesarias para alcanzar los objetivos diarios:

$\begin{cases} 2x + y + z = 7 \\ x + 2y + z = 8 \\ x + y + 2z = 9 \end{cases}$

1. a) Escribe la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$.
2. b) Comprueba que el sistema es de Cramer calculando el determinante de $A$.
3. c) Halla el valor de la incógnita $x$ aplicando exclusivamente la Regla de Cramer.

En un torneo de E-sports, se otorgan puntos por partidas ganadas ($x$), empatadas ($y$) y por objetivos secundarios cumplidos ($z$). Un equipo ha obtenido los siguientes resultados en tres jornadas:

• Jornada 1: $1$ victoria, $1$ empate y $1$ objetivo secundario = $10$ puntos.

• Jornada 2: $2$ victorias y $1$ empate = $13$ puntos.

• Jornada 3: $1$ victoria y $2$ objetivos secundarios = $11$ puntos.

1. a) Plantea el sistema de ecuaciones asociado.
2. b) Resuélvelo mediante la Regla de Cramer para determinar cuántos puntos vale cada concepto.

Determina razonadamente cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones es un Sistema de Cramer y, por tanto, posee una única solución que puede hallarse mediante determinantes:

1. a) $\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x + 2y = 8 \end{cases}$

1. b) $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$

1. c) $\begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y = 3 \end{cases}$

Justifica tu respuesta analizando el número de ecuaciones, el número de incógnitas y el valor del determinante de la matriz de coeficientes.

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{cases} 3x - 2y + z = 1 \\ x + y - 2z = -3 \\ 2x - y - z = 0 \end{cases}$

Utiliza la Regla de Cramer para calcular únicamente el valor de la incógnita $z$. Indica claramente los dos determinantes que has tenido que calcular para obtener el resultado.

En la cafetería de un instituto, un grupo de profesores ha hecho dos pedidos:

• Pedido 1: $3$ cafés y $2$ tostadas por un total de $7,10$ €.

• Pedido 2: $2$ cafés y $4$ tostadas por un total de $7,40$ €.

1. a) Expresa el problema en forma matricial $A \cdot X = B$.
2. b) Calcula la matriz inversa $A^{-1}$.
3. c) Aunque el sistema puede resolverse por inversión de matrices, aplica la Regla de Cramer para verificar el precio de una tostada.

Considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y = 1 \\ x + ky = k \end{cases}$

1. a) Halla el determinante de la matriz de coeficientes en función de $k$.
2. b) Determina para qué valores de $k$ el sistema no se puede resolver aplicando la Regla de Cramer.
3. c) Para $k = 2$, resuelve el sistema utilizando dicha regla.

Geométricamente, tres planos en el espacio pueden cortarse en un único punto. Este punto representa la solución única de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Dado el sistema que representa la posición de tres planos:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x - 5y + 6z = 29 \end{cases}$

Demuestra, usando el determinante de la matriz de coeficientes, que los tres planos se cortan en un único punto y halla sus coordenadas $(x, y, z)$ mediante la Regla de Cramer.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando la Regla de Cramer:

$\begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4 \\ 3x - y + 2z = 8 \end{cases}$

Para ello, identifica primero la matriz de coeficientes $A$ y calcula su determinante. Posteriormente, obtén los determinantes de las matrices auxiliares $A_x$, $A_y$ y $A_z$ para hallar el valor de las incógnitas.

Una empresa de logística utiliza tres tipos de drones ($D_1$, $D_2$ y $D_3$) para repartir paquetes en una ciudad. Se sabe que:

• En una hora, 2 drones $D_1$, 1 drone $D_2$ y 3 drones $D_3$ pueden repartir un total de 28 paquetes.

• Si operan 1 drone $D_1$, 3 drones $D_2$ y 2 drones $D_3$, reparten 25 paquetes.

• Con 3 drones $D_1$, 2 drones $D_2$ y 1 drone $D_3$, la capacidad es de 27 paquetes.

Plantea un sistema de ecuaciones donde las incógnitas sean la capacidad de reparto por hora de cada tipo de drone y resuélvelo utilizando la Regla de Cramer.

Dado el sistema dependiente del parámetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$

1. a) Demuestra que para $k = 2$ el sistema es un sistema de Cramer.
2. b) Resuelve el sistema para dicho valor de $k = 2$ aplicando el método de Cramer.

Un centro de datos consume energía de tres fuentes: solar ($x$), eólica ($y$) e hidráulica ($z$). Los costes por MWh y la producción total deben satisfacer el siguiente equilibrio financiero:

$\begin{cases} x + y + z = 100 \\ 5x + 10y + 15z = 950 \\ 2x - y + 3z = 110 \end{cases}$

Calcula la cantidad de MWh necesarios de cada fuente utilizando la Regla de Cramer. Justifica si el resultado obtenido es coherente con el contexto (cantidades no negativas).

Determina la matriz inversa de $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y utilízala para resolver el sistema de ecuaciones $AX = B$, siendo $B = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$.

Relaciona este método con la Regla de Cramer comentando qué papel juega el determinante de la matriz en ambos procedimientos.

Tres planos en el espacio vienen dados por las siguientes ecuaciones:

$\pi_1 \equiv x + y + z = 2$

$\pi_2 \equiv 2x - y + 3z = 9$

$\pi_3 \equiv 3x + 2y - z = -1$

Determina la posición relativa de los tres planos resolviendo el sistema mediante Cramer. Si el sistema tiene solución única, ¿qué representa geométricamente ese punto respecto a los tres planos?

En un laboratorio de química se quieren fabricar 10 litros de una solución con una concentración específica mezclando tres productos $A, B$ y $C$ cuyas concentraciones de alcohol son del $10\%$, $20\%$ y $40\%$ respectivamente.

• Se desea que la mezcla final tenga una concentración del $25\%$.

• La cantidad de producto $C$ debe ser igual a la suma de las cantidades de $A$ y $B$.

Plantea el sistema de ecuaciones y utiliza la Regla de Cramer para hallar cuántos litros de cada producto son necesarios.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo:

$\begin{cases} x + y - z = 0 \\ 3x + 2y + z = 0 \\ 2x - y + kz = 0 \end{cases}$

1. a) Determina el valor de $k$ para que el sistema sea Compatible Determinado.
2. b) Para un valor de $k$ que haga que el sistema sea de Cramer (por ejemplo, $k=1$), comprueba mediante la Regla de Cramer que la única solución es la trivial $(0, 0, 0)$.
3. c) Explica gráficamente qué significa que la única solución sea la trivial en términos de planos que pasan por el origen.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$:

$$\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$$

1. a) Discute el sistema según los diferentes valores de $k$ utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius.
2. b) En el caso de que el sistema sea compatible indeterminado, obtén la solución general expresada de forma paramétrica. ¿Qué representa geométricamente este conjunto de soluciones en el espacio $\mathbb{R}^3$?
3. c) Resuelve el sistema para $k = 0$ utilizando la Regla de Cramer.

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$:

1. a) Determina los valores del parámetro real $m$ para los que la matriz $A$ es invertible.
2. b) Para $m = 0$, resuelve la ecuación matricial $A \cdot X + B = 2B$, donde $X$ es una matriz de dimensiones adecuadas.
3. c) Plantea un sistema de ecuaciones que permita calcular la primera columna de la matriz $X$ y resuélvelo mediante la Regla de Cramer.

Una empresa de logística aeroespacial diseña tres tipos de contenedores de carga ($C_1, C_2, C_3$) para una misión a Marte. Cada contenedor requiere una cantidad específica de tres materiales críticos: Aluminio ($Al$), Titanio ($Ti$) y Fibra de Carbono ($Fc$). Las necesidades por unidad se detallan en la siguiente tabla:

Material	$C_1$	$C_2$	$C_3$
Aluminio ($kg$)	$2$	$1$	$3$
Titanio ($kg$)	$1$	$2$	$1$
Fibra ($kg$)	$3$	$3$	$k$

1. a) Si se dispone de un total de $150\,kg$ de Aluminio y $120\,kg$ de Titanio, plantea un sistema de ecuaciones para determinar cuántos contenedores de cada tipo se pueden fabricar si se consume todo el stock.
2. b) Discute la existencia de soluciones en función del stock de Fibra de Carbono disponible ($S_{Fc}$) y de la constante estructural $k$.
3. c) Para $k = 4$ y un stock de $270\,kg$ de Fibra, ¿es posible fabricar una combinación de contenedores tal que el número de unidades de $C_1$ sea el doble que las de $C_2$? Justifica tu respuesta resolviendo por el método de Gauss o Cramer.

Sea el sistema homogéneo dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$$

1. a) Determina los valores de $a$ para los cuales el sistema admite soluciones distintas de la trivial.
2. b) Para los valores hallados en el apartado anterior, describe el conjunto de soluciones (recta o plano que pasa por el origen).
3. c) Si $a = -2$, comprueba que el rango de la matriz de coeficientes es $1$. Escribe la solución general e identifica cuántos parámetros libres se necesitan.

Considera el sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ 3x + 4y + 2z = 5 \\ x - y + 2z = a \end{cases}$$

1. a) Discute la compatibilidad del sistema en función del valor de $a$.
2. b) Para el valor de $a$ que hace que el sistema sea compatible, resuélvelo utilizando la Regla de Cramer sobre un sub-sistema adecuado de 3x3.
3. c) Explica el significado geométrico de este sistema de 4 ecuaciones: ¿Cómo están situados los cuatro planos en el espacio?

Un inversor reparte $10.000$ euros entre tres productos financieros: criptomonedas, acciones tecnológicas y bonos del Estado.

• Al cabo de un año, las criptomonedas han subido un $20\%$, las acciones han bajado un $5\%$ y los bonos han rentado un $3\%$. El beneficio total ha sido de $540$ euros.

• El inversor observa que si hubiera invertido en acciones tecnológicas la suma de lo invertido en criptomonedas y bonos, su beneficio total habría sido de $250$ euros (manteniendo las mismas rentabilidades).

1. a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para determinar cuánto invirtió en cada producto.
2. b) Resuelve el sistema utilizando el método de la matriz inversa $X = A^{-1} \cdot B$.
3. c) ¿Qué ocurriría si la rentabilidad de los bonos fuera del $5\%$ en lugar del $3\%$? Analiza si el sistema seguiría teniendo una solución única.

Dado el sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + 2z = 2 \\ 3x + 3y + az = b \end{cases}$$

1. a) Halla la relación que debe existir entre $a$ y $b$ para que el sistema sea compatible indeterminado.
2. b) Si $a = 1$ y $b = 3$, razona si es posible encontrar una solución del sistema tal que la suma de sus componentes sea cero ($x + y + z = 0$). En caso afirmativo, calcúlala usando Cramer.
3. c) Para $a=1$ y $b=0$, determina el rango de la matriz ampliada y describe la posición relativa de los tres planos.

Demuestra las siguientes propiedades teóricas sobre sistemas de ecuaciones:

1. a) Si $A$ es una matriz cuadrada de orden 3 tal que $\det(A) = 5$, y consideramos el sistema $AX = B$. Si cambiamos la columna de términos independientes $B$ por su doble $2B$, ¿qué relación existe entre la solución del sistema original y la del nuevo sistema? Justifícalo mediante la Regla de Cramer.
2. b) Si un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas tiene a $(1, 0, 1)$ y $(0, 1, 2)$ como soluciones, prueba razonadamente que el sistema debe ser compatible indeterminado y encuentra una tercera solución distinta de las anteriores.
3. c) ¿Es posible que un sistema de ecuaciones lineales tenga exactamente dos soluciones distintas? Razona la respuesta basándote en la estructura de la solución general de un sistema compatible indeterminado.