Ejercicios: Sistemas con parámetros

En una plataforma de streaming, el precio de tres tipos de suscripciones (Básica, Estándar y Premium) varía según una promoción mensual representada por el parámetro $k$. El sistema de ecuaciones que relaciona el número de usuarios de cada tipo con los ingresos totales es:

$$\begin{cases} x + y + z = 10 \\ x + ky + z = 12 \\ x + y + kz = 14 \end{cases}$$

Discute la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro real $k$.

Determina para qué valor del parámetro $a$ el siguiente sistema de ecuaciones lineales es incompatible:

$$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ ax + 4y = 1 \end{cases}$$

Justifica tu respuesta analizando la proporcionalidad de los coeficientes y los términos independientes.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo, donde $m$ es un parámetro real:

$$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x - my + z = 0 \\ 2x + y + z = 0 \end{cases}$$

1. a) Calcula el determinante de la matriz de coeficientes $A$.
2. b) ¿Para qué valores de $m$ el sistema tiene soluciones distintas de la trivial $(0, 0, 0)$?

Un diseñador de videojuegos está programando las colisiones de tres proyectiles cuyos trayectos en el espacio vienen definidos por los siguientes planos, donde $\lambda$ es una variable de ajuste de potencia:

$$\pi_1: x + y + z = 2$$ $$\pi_2: 2x + 3y + z = 3$$ $$\pi_3: \lambda x + 10y + 4z = 11$$

Halla el valor de $\lambda$ para que los tres proyectiles coincidan en un único punto del espacio (Sistema Compatible Determinado).

Dado el sistema de ecuaciones con parámetro $a \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} x + ay + z = a \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$

Explica razonadamente por qué este sistema nunca puede ser Compatible Determinado, independientemente del valor que tome $a$.

Considera el sistema:

$$\begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x + y + z = 2 \\ x - 2y = k \end{cases}$$

Encuentra el valor del parámetro $k$ para que el sistema sea Compatible Indeterminado. Para ese valor de $k$, indica cuántas soluciones tiene el sistema.

Se sabe que la terna $(x, y, z) = (1, 2, -1)$ es una solución del siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro $b$:

$$\begin{cases} bx + y + z = 1 \\ x + by - z = 6 \\ x - y + bz = -4 \end{cases}$$

1. a) Sustituye la solución en las ecuaciones para hallar el valor de $b$.
2. b) Con el valor de $b$ obtenido, discute si la solución dada es única.

Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro $t$:

$$\begin{cases} tx + y = 1 \\ x + ty = t \\ x + y = 1 \end{cases}$$

Ayuda: Analiza qué ocurre cuando $t=1$ y cuando $t \neq 1$ observando la relación entre las tres ecuaciones.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$

1. a) Discute el sistema según los valores del parámetro $k$.
2. b) Resuelve el sistema en el caso de que sea compatible indeterminado.

Dado el sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ ax + y - z = 1 \\ 2x + y + az = 2 \end{cases}$

1. a) Determina para qué valores de $a$ el sistema es compatible determinado.
2. b) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual el sistema represente tres planos que se cortan en una misma recta? Justifica tu respuesta utilizando el concepto de rango.

Una empresa de logística organiza envíos de tres tipos de contenedores: A, B y C. El coste de envío depende de un impuesto variable $m$ aplicado a la gestión. El sistema que relaciona el número de contenedores con el presupuesto total es:

$\begin{cases} x + y + z = m \\ x + my + z = 1 \\ mx + y + z = 1 \end{cases}$

Discute si es posible que, para algún valor de $m$, la empresa no pueda determinar de forma única cuántos contenedores de cada tipo se han enviado (es decir, que el sistema no sea compatible determinado).

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema homogéneo en función del parámetro $a$:

$\begin{cases} x + y + az = 0 \\ ax + y + z = 0 \\ 2x + ay + 2z = 0 \end{cases}$

Calcula todas sus soluciones para el valor de $a$ que lo hace compatible indeterminado.

Considera los tres planos definidos por las siguientes ecuaciones:

$\pi_1: x - y + z = 2$

$\pi_2: 2x + y - z = 1$

$\pi_3: x + 2y + kz = -1$

1. a) Halla el valor de $k$ para que los tres planos no tengan ningún punto en común.
2. b) Para $k = -2$, determina la posición relativa de los tres planos.

Sea la matriz de coeficientes $A$ y la matriz de términos independientes $B$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

1. a) ¿Para qué valores de $a$ no existe la matriz inversa $A^{-1}$?
2. b) Para los valores hallados en el apartado anterior, discute el sistema $A \cdot X = B$.
3. c) Resuelve el sistema para $a = 2$ utilizando la Regla de Cramer.

Se sabe que el siguiente sistema tiene infinitas soluciones para un determinado valor de $a$:

$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 2x + ay + 2z = 5 \\ x - y + 3z = a \end{cases}$

1. a) Encuentra dicho valor de $a$.
2. b) Sin realizar más cálculos, explica razonadamente si el sistema podría ser incompatible para algún otro valor de $a$.

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los parámetros $a$ y $b$:

$\begin{cases} x + ay + z = 1 \\ 2x + y + bz = a \end{cases}$

1. a) Explica por qué el sistema nunca puede ser compatible determinado.
2. b) Si $a = 1$, ¿qué condición debe cumplir $b$ para que el sistema sea compatible indeterminado?
3. c) Interpreta geométricamente qué representan estas dos ecuaciones en el espacio.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$

Se pide:

1. Discutir el sistema según los diferentes valores del parámetro $k$.

2. Resolver el sistema en los casos en que sea compatible indeterminado, expresando la solución de forma paramétrica.

3. En el caso de que el sistema sea compatible determinado, ¿existe algún valor de $k$ para el cual la solución sea $(x, y, z) = (1, 1, 1)$? Justifica tu respuesta.

Tres planos en el espacio $\mathbb{R}^3$ vienen dados por las siguientes ecuaciones, donde $a$ es un parámetro real:

$\pi_1: ax + y + z = 1$

$\pi_2: x + ay + z = a$

$\pi_3: x + y + az = a^2$

Analiza la posición relativa de los tres planos en función de los valores de $a$. En particular, determina para qué valores de $a$ los planos se cortan en una única recta y para qué valores no tienen ningún punto en común los tres simultáneamente.

Una empresa de logística de última milla utiliza tres tipos de vehículos: furgonetas eléctricas ($F$), triciclos de carga ($T$) y drones de reparto ($D$). El consumo energético por kilómetro, el coste de mantenimiento y la capacidad de carga vienen definidos por el siguiente sistema, donde $m$ representa un coeficiente de eficiencia energética variable según la temperatura exterior:

$\begin{cases} mF + T + D = 10 \\ F + mT + D = m + 9 \\ F + T + mD = 24 - 14m \end{cases}$

1. Discute la viabilidad del sistema (compatibilidad) en función de $m$.

2. Si para un día especialmente frío ($m=2$) se sabe que el sistema es incompatible, explica qué significa esto desde el punto de vista del problema real.

3. Determina si existe algún valor de $m$ para el cual sea posible realizar el reparto usando únicamente drones ($F=0, T=0$).

Considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente de dos parámetros reales $a$ y $b$:

$\begin{cases} x + ay + z = 2 \\ 2x + 4y + az = b \\ x + y + z = a \end{cases}$

1. Discute el sistema en función de los parámetros $a$ y $b$.

2. Para el valor de $a$ que hace que el sistema sea compatible indeterminado, encuentra el valor de $b$ necesario y resuelve el sistema.

3. ¿Existe algún valor de $a$ para el cual el sistema sea incompatible independientemente del valor de $b$?

Dado el sistema homogéneo:

$\begin{cases} ax + y + 3z = 0 \\ x + ay + 2z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$

1. Determina los valores de $a$ para los cuales el sistema admite soluciones distintas de la trivial.

2. Para el mayor valor de $a$ hallado en el apartado anterior, obtén la solución general y halla una solución particular tal que la suma de sus componentes sea $10$.

3. Si $a=0$, describe geométricamente el conjunto de soluciones.

Sea la matriz $A$ y el vector $B$ definidos por:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ m \end{pmatrix}$

1. Determina los valores de $m$ para los que la matriz $A$ no tiene inversa.

2. Para los valores de $m$ en los que $A$ es invertible, resuelve la ecuación matricial $AX = B$ utilizando la regla de Cramer.

3. Para $m=3$, estudia si el sistema $AX=B$ es compatible o incompatible sin calcular la inversa.

Se desea estudiar la intersección de cuatro planos en el espacio, cuyas ecuaciones son:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x + 2y - 3z = 8 \\ ax - y - z = 1 \\ x - y + z = -2 \end{cases}$

1. Utiliza el Teorema de Rouché-Frobenius para determinar si existe algún valor de $a$ para el cual los cuatro planos coincidan en un único punto.

2. En caso afirmativo, calcula las coordenadas de dicho punto.

3. Si cambiamos la tercera ecuación por $ax - y - z = b$, ¿qué relación deben cumplir $a$ y $b$ para que el sistema siga teniendo solución?

Sea el sistema de ecuaciones con parámetros $k$ y $t$:

$\begin{cases} x + y + z = t \\ kx + 2y + z = 0 \\ x + ky + z = 0 \end{cases}$

1. Discute el sistema según los valores de $k$ y $t$.

2. Para $k=1$, ¿qué condición debe cumplir $t$ para que el sistema tenga solución? Interpreta el resultado considerando que las ecuaciones representan planos.

3. Para $k=2$, resuelve el sistema en función de $t$ y determina el valor de $t$ para el cual la solución verifica que $x + y = z$.