Ejercicios: Tipos de funciones

Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$, realiza un estudio básico de su comportamiento siguiendo estos pasos:

1. a) Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
2. b) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento utilizando la primera derivada $f'(x)$.
3. c) Determina las coordenadas $(x, y)$ de sus máximos y mínimos relativos.

Considera la función racional $f(x) = \frac{2x + 4}{x - 3}$. Para comprender su estructura antes de representarla, analiza sus elementos principales:

1. a) Determina su dominio de definición.
2. b) Calcula las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales.
3. c) Estudia la simetría de la función. ¿Es par, impar o no presenta simetría?

Las funciones con valores absolutos suelen presentar puntos donde la gráfica cambia bruscamente de dirección. Sea la función $f(x) = |x - 4|$.

1. a) Expresa la función como una función definida a trozos.
2. b) Indica el punto de la gráfica donde la función es continua pero no es derivable (punto anguloso).
3. c) Esboza su gráfica indicando el vértice.

El dominio de una función es fundamental para su representación. Halla el dominio de las siguientes funciones trascendentes:

1. a) $f(x) = \ln(x^2 - 1)$
2. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$
3. c) $h(x) = \sqrt{x + 5}$

Explica brevemente por qué existen restricciones en cada caso.

Un biólogo estudia la evolución de una población de bacterias en un entorno controlado. La cantidad de bacterias (en miles) viene dada por la función $P(t) = \frac{40t}{t + 2}$, donde $t$ es el tiempo en horas desde el inicio del experimento ($t \geq 0$).

1. a) ¿Qué población hay al inicio del experimento ($t = 0$)?
2. b) ¿Cuál es el límite de la población cuando el tiempo crece indefinidamente? Interpreta el resultado en términos de asíntotas.
3. c) ¿La población aumenta o disminuye con el tiempo? Justifica tu respuesta usando la derivada $P'(t)$.

Dada la función $f(x) = x^4 - 2x^2$, estudia su curvatura realizando los siguientes pasos:

1. a) Calcula la segunda derivada $f''(x)$.
2. b) Encuentra los intervalos de concavidad ($\cup$) y convexidad ($\cap$).
3. c) Halla los puntos de inflexión de la función.

Determina la paridad de las siguientes funciones justificando matemáticamente si son pares ($f(x) = f(-x)$), impares ($f(-x) = -f(x)$) o ninguna de las anteriores:

1. a) $f(x) = x^2 \cdot \cos(x)$
2. b) $g(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$
3. c) $h(x) = e^x - x$

Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ y extrae la información solicitada:

1. a) Indica los valores de $x$ donde se encuentran las asíntotas verticales.
2. b) Estima los intervalos donde la función es creciente.
3. c) Identifica el valor del $\lim_{x \to \infty} f(x)$ observando el comportamiento de la gráfica.

Dada la función racional $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 9}$, realiza un estudio completo para su representación gráfica siguiendo estos pasos:

1. Halla el dominio de definición y los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

2. Estudia la existencia de simetrías en la función.

3. Determina las asíntotas verticales, horizontales y la posición de la curva respecto a ellas.

4. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y determina sus máximos y mínimos relativos.

5. Esboza la gráfica de la función basándote en los resultados anteriores.

Considera la función $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$. Se pide:

1. Hallar las ecuaciones de sus asíntotas. En caso de existir una asíntota oblicua, determina la posición de la curva respecto a ella cuando $x \to +\infty$ y $x \to -\infty$.

2. Encontrar los intervalos de concavidad y convexidad, y comprobar si existen puntos de inflexión.

3. Utilizar la información del crecimiento y los extremos para dibujar un esquema preciso de la gráfica.

Un estudio biológico sobre una población de insectos en un entorno controlado sigue la función $P(t) = \frac{50t}{t^2 + 4} + 2$, donde $P$ es la población en miles y $t$ es el tiempo en meses desde el inicio del experimento ($t \geq 0$).

1. Determina en qué momento la población alcanza su valor máximo y cuál es dicho valor.

2. ¿A qué valor tiende la población si el experimento se prolongara indefinidamente? Justifica tu respuesta mediante el cálculo de límites.

3. Estudia la curvatura de la función para identificar en qué momento el crecimiento de la población empieza a desacelerarse (punto de inflexión).

Dada la función con valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$:

1. Expresa la función como una función definida a trozos.

2. Estudia la derivabilidad de la función en los puntos $x = 1$ y $x = 3$. ¿Qué ocurre geométricamente en esos puntos?

3. Halla los extremos relativos de la función y represéntala gráficamente.

Sea la función $f(x) = (x - 2)e^x$. Realiza un estudio detallado de la misma para representarla gráficamente, incluyendo:

1. Dominio y puntos de corte con los ejes.

2. Asíntotas horizontales y comportamiento en el infinito.

3. Intervalos de monotonía y extremos relativos.

4. Puntos de inflexión y curvatura.

Estudia y representa la función logarítmica $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. En tu análisis debes incluir:

1. Demostración de que la función es par. ¿Cómo afecta esto a su representación?

2. Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

3. Estudio de la curvatura y búsqueda de puntos de inflexión.

4. ¿Tiene la función asíntotas de algún tipo? Justifica tu respuesta.

Se considera la función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-2} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 2x - \frac{1}{2} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

1. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función en $x = 0$.

2. Halla las asíntotas de la función en su dominio de definición.

3. Calcula los mínimos y máximos locales de cada tramo en su intervalo correspondiente.

4. Esboza la gráfica de la función.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = ax^3 + bx^2 - x + 4$ tenga un punto de inflexión en $x = 1$ y la pendiente de la recta tangente en ese punto sea $1$. Una vez hallados los parámetros:

1. Estudia la monotonía de la función resultante.

2. Determina si tiene algún máximo o mínimo relativo.

3. Justifica si la función tiene asíntotas.

Se considera la función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x+2} & \text{si } x < -2 \\ a \cdot e^{x+2} + b & \text{si } -2 \le x < 0 \\ \dfrac{x+1}{x^2+1} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

Realiza un estudio completo de la función siguiendo estos pasos:

1. Halla los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en $x = -2$ y tenga un extremo relativo en $x = -1$.

2. Para los valores hallados, estudia la derivabilidad en $x = -2$ y $x = 0$.

3. Calcula las asíntotas de la función en todo su dominio.

4. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos en el intervalo $(-\infty, 0)$.

Sea la función racional definida por:

$$f(x) = \frac{x^3 + ax^2 + b}{x^2 - 1}$$

Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que la recta $y = x + 2$ es una asíntota oblicua de la función. Una vez calculados los parámetros:

1. Halla el dominio y las asíntotas verticales, estudiando la posición de la curva respecto a ellas.

2. Encuentra los puntos de corte con los ejes.

3. Estudia la existencia de puntos de inflexión. ¿Es posible que esta función no tenga ningún punto de inflexión en su dominio? Razona la respuesta.

Un satélite de comunicaciones describe una trayectoria cuya intensidad de señal recibida en la Tierra viene dada por la función:

$$S(t) = \ln |t^2 - 9| - \frac{t}{2}$$

donde $t$ representa el tiempo en horas desde el inicio del seguimiento ($t \ge 0$).

1. Determina el dominio de la función e identifica los instantes en los que la señal se interrumpe por completo.

2. Halla las asíntotas verticales y explica su significado en este contexto.

3. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la intensidad de la señal.

4. Determina en qué momento la señal alcanza su valor máximo relativo y esboza la gráfica de la trayectoria de la intensidad.

Dada la función:

$$f(x) = \frac{x \cdot |x|}{x - 1}$$

1. Expresa la función como una función definida a trozos eliminando el valor absoluto.

2. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función en todo su dominio, prestando especial atención al punto $x = 0$.

3. Halla las asíntotas de la gráfica de $f$.

4. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.

5. Esboza la gráfica de la función indicando claramente los puntos donde la derivada no existe si los hubiera.

Considera la función $f(x) = (x-2)^2 \cdot e^x$.

1. Calcula los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la función.

2. Determina los intervalos de monotonía y los extremos locales (máximos y mínimos).

3. Halla los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión.

4. Sabiendo que $e^{-2} \approx 0,135$ y $e^0 = 1$, esboza la gráfica de la función.

5. Calcula el área del triángulo formado por el origen de coordenadas y los puntos de la gráfica donde la tangente es horizontal.

Estudia y representa gráficamente la función de "tipo mixto":

$$f(x) = x \cdot e^{1/x}$$

Para ello, analiza detalladamente:

1. El dominio de definición y el comportamiento de la función cerca de $x = 0$ calculando los límites laterales $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ y $\lim_{x \to 0^-} f(x)$.

2. Las asíntotas verticales y oblicuas.

3. La existencia de extremos relativos utilizando la primera derivada.

4. La concavidad y convexidad a través del estudio del signo de $f''(x)$.

Se desea diseñar el perfil de una rampa para un skatepark. El perfil lateral sigue la curva de la función:

$$f(x) = \frac{\ln(x^2+1)}{x}$$

para $x \in [-5, 5], x \neq 0$. Se pide:

1. Demuestra que la función es impar. ¿Qué implica esto para su representación gráfica?

2. Define el valor de $f(0)$ de modo que la función sea continua en $x=0$. Para ello, calcula $\lim_{x \to 0} f(x)$ (puedes usar la regla de L'Hôpital).

3. ¿Es la función derivable en $x=0$ con la definición anterior? Justifica la respuesta.

4. Determina los puntos de la rampa donde la pendiente es nula.

5. Estudia si existen asíntotas horizontales cuando el dominio se extiende a toda la recta real.

Dibuja el esbozo de la gráfica de una función continua $f(x)$ que cumpla simultáneamente las siguientes ocho condiciones:

• Su dominio es $\mathbb{R} - \{1\}$.

• Tiene una asíntota vertical en $x = 1$ tal que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$.

• Tiene una asíntota oblicua $y = x$ cuando $x \to +\infty$.

• Tiene una asíntota horizontal $y = -2$ cuando $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ en el intervalo $(-\infty, -2)$ y $f'(x) > 0$ en $(-2, 1) \cup (1, +\infty)$.

• Presenta un mínimo relativo en el punto $(-2, -4)$.

• $f''(x) > 0$ en $(-\infty, 1)$ y $f''(x) < 0$ en $(1, +\infty)$.

• Corta al eje $OX$ únicamente en los puntos $x = -4$ y $x = 2$.