Ejercicios: Información acerca de la función

Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 9}$, realiza un estudio previo de sus elementos básicos determinando:

1. El dominio de definición de la función.

2. Los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

3. La existencia de simetrías (indica si es par, impar o no presenta simetría).

Un equipo de ingenieros está monitorizando la temperatura de un componente electrónico. La evolución de la temperatura $T$ (en grados Celsius) respecto al tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la función:

$T(t) = \frac{40t + 100}{t + 2}$ con $t \geq 0$

Se pide:

1. Hallar la temperatura inicial del componente ($t=0$).

2. Determinar la asíntota horizontal de la función e interpretar su significado en el contexto del problema (temperatura a largo plazo).

Estudia la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento) y calcula los extremos relativos (máximos y mínimos) de la siguiente función polinómica:

$f(x) = x^3 - 3x + 2$

Dada la función $f(x) = \frac{2x}{x-1}$, determina:

1. Las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales.

2. La posición de la curva respecto a dichas asíntotas mediante el estudio de los límites laterales y en el infinito.

Analiza la curvatura de la función $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Para ello:

1. Halla la segunda derivada $f''(x)$.

2. Determina los intervalos de concavidad ($\cup$) y convexidad ($\cap$).

3. Encuentra las abscisas de los puntos de inflexión.

Se conoce la siguiente información sobre una función $f(x)$ continua en todo $\mathbb{R}$:

• Corta al eje $X$ en $x = -2$ y $x = 2$.

• Tiene un mínimo relativo en $(0, -4)$.

• Es decreciente en $(-\infty, 0)$ y creciente en $(0, +\infty)$.

• $\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.

Dibuja un esbozo de la gráfica que cumpla todas estas condiciones.

Determina el periodo de la función trigonométrica $f(x) = \sin(2x)$. A continuación, indica razonadamente si la función presenta algún tipo de simetría respecto al origen o al eje de ordenadas.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$, realiza un estudio de sus ramas infinitas:

1. Comprueba si tiene asíntotas verticales.

2. Comprueba si tiene asíntotas horizontales.

3. En caso de no tener asíntota horizontal, averigua si tiene una asíntota oblicua y halla su ecuación.

Realiza un estudio completo de la monotonía y los extremos relativos de la función racional $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}$. Determina con precisión los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de sus máximos y mínimos si los tuviera.

Considera la función polinómica $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. Halla los intervalos de concavidad y convexidad, así como las coordenadas exactas de sus puntos de inflexión. Utiliza el símbolo $\cup$ para denotar los intervalos donde la función es convexa (curvatura hacia arriba) y $\cap$ para los intervalos donde es cóncava (curvatura hacia abajo).

Determina todas las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas) de la función $f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x - 3}$. En caso de que exista una asíntota oblicua, calcula su ecuación de la forma $y = mx + n$ y estudia la posición de la curva respecto a dicha asíntota cuando $x \to \infty$.

Dibuja el esbozo de la gráfica de una función continua $f(x)$ que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones obtenidas de su estudio analítico:

• Dominio: $\mathbb{R} - \{0\}$

• Cortes con los ejes: $(2, 0)$ y $(-2, 0)$.

• Asíntota vertical en $x = 0$, con $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$.

• Asíntota horizontal $y = 1$ cuando $x \to \infty$ y cuando $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ en todo su dominio.

Un equipo de ingenieros monitoriza el nivel de carga de una nueva batería de litio mediante la función $B(t) = \frac{100t}{t^2 + 9} + 10$, donde $B$ es el porcentaje de carga y $t$ es el tiempo en horas ($t \ge 0$).

1. a) ¿En qué instante alcanza la batería su nivel máximo de carga?
2. b) ¿A qué valor tiende la carga de la batería si se deja conectada indefinidamente? Justifica la respuesta mediante el cálculo de límites.

Dada la gráfica de la función derivada $f'(x)$ que se muestra a continuación (una recta que pasa por los puntos $(-2, 0)$ y $(0, 4)$), indica razonadamente:

1. a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$.
2. b) La abscisa de los extremos relativos de $f(x)$ y su tipo (máximo o mínimo).
3. c) El intervalo de concavidad o convexidad de $f(x)$.

Se considera la función $f(x) = \ln(x^2 + k)$, donde $k$ es un parámetro real.

1. a) Determina el valor de $k$ para que la función tenga un punto de inflexión en $x = 1$.
2. b) Para ese valor de $k$, estudia el dominio de la función y comprueba si presenta algún tipo de simetría (par o impar).

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{ax}{x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

1. a) Calcula el valor de $a$ para que la función sea derivable en $x = 0$.
2. b) Para el valor de $a$ obtenido, estudia si la función tiene alguna asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$.

Se considera la función $f(x) = \frac{ax^2 + bx}{x + c}$. Determina los valores de los parámetros reales $a$, $b$ y $c$ sabiendo que se cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:

1. La recta $x = 2$ es una asíntota vertical de la gráfica de la función.

2. La función presenta un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 4$.

3. La recta tangente a la gráfica en el punto de corte con el eje $OY$ es paralela a la recta $y = -2x + 5$.

Una vez hallados los parámetros, estudia la existencia de una asíntota oblicua y determina la posición relativa de la curva respecto a ella.

La siguiente gráfica corresponde a la función derivada $f'(x)$ de una función continua $f(x)$ definida en todo $\mathbb{R}$. A partir de la información visual proporcionada:

1. Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$.

2. Determina las abscisas de los extremos relativos de $f(x)$ clasificándolos en máximos o mínimos.

3. Estudia la curvatura de $f(x)$ y localiza sus puntos de inflexión.

4. Si se sabe que $f(0) = 1$, realiza un esbozo de la gráfica de la función original $f(x)$ justificando la forma obtenida.

Dada la función $f(x) = (x^2 - 1) \cdot e^{-x}$, realiza un estudio exhaustivo para su representación gráfica analizando:

1. Dominio y puntos de corte con los ejes de coordenadas.

2. Comportamiento en el infinito (límites y asíntotas).

3. Intervalos de monotonía y extremos relativos (abscisas y ordenadas).

4. Puntos de inflexión y convexidad.

5. Utiliza toda la información anterior para dibujar la gráfica de la función, destacando especialmente el comportamiento asintótico horizontal.

Un equipo de ingenieros está diseñando el perfil de una rampa de salto para una competición de skate. El perfil lateral sigue la curva de la función $f(x) = \ln(x^2 - 2x + 2)$ en el intervalo $[0, 3]$.

1. Encuentra el punto de la rampa que se encuentra a menor altura respecto al suelo.

2. Determina los puntos de la rampa donde la pendiente es máxima y mínima. ¿Qué interpretación física tienen estos puntos en el contexto del patinaje?

3. Estudia si la función tiene algún punto de inflexión en dicho intervalo y explica cómo cambia la sensación del patinador al pasar por él.

Sea la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - kx}{x-1} & \text{si } x < 0 \\ \ln(x^2 + 1) + ax + b & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

1. Calcula los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en $x = 0$, sabiendo que en el primer tramo el parámetro $k$ toma el valor $1$.

2. Para los valores hallados, estudia si la función posee alguna asíntota oblicua cuando $x \to -\infty$. En caso afirmativo, hállala.

3. ¿Presenta la función algún extremo relativo en el intervalo $(0, +\infty)$? Justifica tu respuesta.

Se desea inscribir un rectángulo de área máxima en la región del primer cuadrante limitada por el eje $OX$, el eje $OY$ y la gráfica de la función $f(x) = 4e^{-0,5x}$.

1. Expresa el área del rectángulo en función de la abscisa $x$ de uno de sus vértices situados sobre el eje $OX$.

2. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo para que su área sea máxima.

3. Realiza un dibujo de la situación utilizando el siguiente esquema visual.

Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función $f(x) = x \cdot |x - 2|$. A partir de este estudio:

1. Expresa la función como una función definida a trozos.

2. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

3. Determina los máximos y mínimos relativos y absolutos en el intervalo $[0, 4]$.

4. Estudia la curvatura y los puntos de inflexión. Ten especial cuidado con el punto donde la función cambia de definición.

Considera la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$.

1. Analiza sus simetrías y dominio.

2. Determina todas sus asíntotas y la posición de la gráfica respecto a ellas.

3. Encuentra los puntos de la gráfica donde la recta tangente es horizontal.

4. Demuestra que la función es cóncava en todo su dominio excepto en el intervalo $(-1, 1)$, donde es convexa.

5. Esboza la gráfica de la función integrando todos los elementos anteriores.