Ejercicios: Experimentos aleatorios

Clasifica los siguientes experimentos como deterministas o aleatorios, justificando brevemente tu respuesta en cada caso:

1. a) Soltar un smartphone desde una altura de un metro y observar si cae hacia el suelo.
2. b) Abrir una lista de reproducción en modo aleatorio y anotar cuál es la primera canción que suena.
3. c) Calcular el tiempo que tarda un coche en recorrer $200$ km si circula a una velocidad constante de $100$ km/h.
4. d) Preguntar a la primera persona que veas por la calle en qué mes nació.
5. e) Extraer una carta de una baraja española de $40$ cartas y observar su palo.

Un estudiante tiene en su estuche tres bolígrafos de colores distintos: Azul (A), Negro (N) y Rojo (R). Decide sacar dos bolígrafos de forma consecutiva y sin devolver el primero al estuche.

1. a) Escribe el espacio muestral $E$ de este experimento.
2. b) Indica cuántos sucesos elementales forman dicho espacio muestral.
3. c) Define el suceso compuesto $S = \text{"sacar el bolígrafo azul en cualquier posición"}$.

Consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado tetraédrico (4 caras) con las caras numeradas del $1$ al $4$, y una moneda de $1$ euro. Anotamos el número de la cara inferior del dado y si la moneda muestra cara $(C)$ o cruz $(X)$.

1. a) Utiliza un diagrama de árbol para representar todos los resultados posibles.
2. b) Escribe el espacio muestral $E$.
3. c) Determina los elementos del suceso $A = \text{"obtener un número par en el dado y cara en la moneda"}$.

En un grupo de 2º de Bachillerato, se analizan las suscripciones a plataformas de streaming. Llamamos $A$ al suceso "estar suscrito a Netflix" y $B$ al suceso "estar suscrito a Spotify". Expresa con palabras el significado de los siguientes sucesos relacionados con las operaciones de conjuntos:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (o suceso contrario de $A$)
4. d) $A - B$
5. e) $\bar{A} \cap \bar{B}$

Un videojuego de rol permite crear un personaje eligiendo entre dos facciones: Guerrero (G) o Mago (M). Además, el personaje puede ser de tres razas: Humano (H), Elfo (E) o Enano (D).

Se elige un personaje al azar del servidor de juego.

1. a) Escribe el espacio muestral $E$ utilizando la nomenclatura de las iniciales (por ejemplo, $GH$ para Guerrero Humano).
2. b) Describe el suceso $S = \text{"el personaje no es un Mago"}$.
3. c) Si llamamos $A$ al suceso $\text{"el personaje es un Elfo"}$, indica qué elementos componen el suceso contrario $\bar{A}$.

Sea $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ el espacio muestral de un experimento aleatorio. Dados los sucesos $A = \{1, 3, 5, 7\}$ y $B = \{2, 3, 5, 8\}$, obtén los siguientes conjuntos:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $A \cap \bar{B}$
4. d) Comprueba si se cumple la Primera Ley de Morgan: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$.

Observa el siguiente diagrama de Venn que representa la distribución de alumnos que practican Baloncesto ($B$) y Fútbol ($F$) en un polideportivo municipal.

A partir del gráfico, define mediante operaciones de sucesos las siguientes regiones:

1. a) Alumnos que practican ambos deportes.
2. b) Alumnos que practican baloncesto pero no fútbol.
3. c) Alumnos que practican al menos uno de los dos deportes.
4. d) Alumnos que no practican ninguno de los dos deportes mencionados.

Extraemos una bola de una urna que contiene $5$ bolas numeradas del $1$ al $5$. Indica si los siguientes sucesos son posibles, seguros o imposibles:

1. a) $A = \text{"obtener un número mayor que 0"}$.
2. b) $B = \text{"obtener el número 7"}$.
3. c) $C = \text{"obtener un número par"}$.
4. d) $D = \text{"obtener un número menor o igual que 5"}$.
5. e) $F = \text{"obtener un número negativo"}$.

En un entorno de desarrollo de aplicaciones móviles, un programador está testeando la seguridad de un sistema de acceso. Se define un experimento aleatorio consistente en generar una clave aleatoria de 4 dígitos usando únicamente los números $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Se consideran los siguientes sucesos:

• $A$: "La clave contiene al menos dos dígitos iguales consecutivos".

• $B$: "La suma de los dígitos de la clave es un número primo mayor que 15".

• $C$: "La clave es capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda)".

Describe detalladamente el espacio muestral $E$ indicando su cardinal y utiliza el álgebra de sucesos para expresar simbólicamente los siguientes eventos:

1. La clave no es capicúa o bien la suma de sus dígitos no es un número primo mayor que 15.

2. La clave es capicúa y tiene al menos dos dígitos iguales consecutivos, pero la suma de sus dígitos no es un número primo mayor que 15.

3. Demuestra si los sucesos $A$ y $C$ son compatibles o incompatibles justificando tu respuesta mediante un ejemplo de un elemento del espacio muestral.

Un satélite de comunicaciones envía ráfagas de datos compuestas por secuencias binarias de longitud $n=3$. Debido al ruido cósmico, cada bit tiene una probabilidad de ser alterado. Definimos el espacio muestral $E$ como el conjunto de todas las ternas binarias posibles. Sean los sucesos:

• $A = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$

• $B = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)\}$

Utilizando las Leyes de De Morgan, simplifica al máximo la expresión del suceso $S = \overline{(\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})}$. Una vez simplificado, describe con palabras qué característica común tienen las secuencias que forman dicho suceso $S$ respecto al número de "unos" presentes en la ráfaga.

En un laboratorio de genética se estudia la mutación de una cadena de ADN representada por cuatro bases nitrogenadas consecutivas $\{A, C, G, T\}$. El experimento consiste en observar una cadena de 3 posiciones. Se consideran los sucesos:

• $M$: "La cadena contiene al menos una base $G$".

• $N$: "La cadena comienza por $A$ o termina por $T$".

Determina el número de elementos de los siguientes sucesos utilizando técnicas de recuento:

1. $M \cap N$

2. $\overline{M} \cup N$

3. $\overline{M \cup N}$

Explica razonadamente si el conjunto de sucesos $\{M \cap N, \overline{M} \cap N, M \cap \overline{N}, \overline{M \cup N}\}$ forma una partición del espacio muestral $E$.

Consideremos un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es el conjunto de los números enteros positivos, $E = \{1, 2, 3, \dots\}$. Definimos los sucesos:

• $A_k = \{x \in E \mid x \text{ es múltiplo de } k\}$ para cada $k \in \{2, 3, 5\}$.

Expresa en función de $A_2, A_3$ y $A_5$ los siguientes sucesos y determina sus cinco elementos más pequeños:

1. "El número es múltiplo de 2 y de 3, pero no de 5".

2. "El número es múltiplo de solo uno de los tres valores $\{2, 3, 5\}$".

3. "El número no es múltiplo de ninguno de los tres valores".

Un sistema robótico de clasificación de paquetería comete errores de forma aleatoria. Al analizar el historial de 1000 paquetes, se definen los sucesos:

• $A$: "El paquete tiene un peso incorrecto".

• $B$: "El paquete tiene un código de barras ilegible".

• $C$: "El paquete ha sido enviado a una ruta equivocada".

Se sabe que ningún paquete presenta los tres errores simultáneamente ($A \cap B \cap C = \emptyset$). Si denotamos por $n(X)$ al número de paquetes en el suceso $X$, se cumple:

$n(A) = 45$, $n(B) = 38$, $n(C) = 22$, $n(A \cap B) = 12$, $n(A \cap C) = 8$ y $n(B \cap C) = 5$.

Calcula el número de elementos de los siguientes sucesos y exprésalos mediante operaciones de conjuntos:

1. $(\overline{A \cup B}) \cap C$

2. $(A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{A})$

3. $\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

Se realiza un experimento aleatorio que consiste en lanzar un dardo a una diana circular de radio $R$. El resultado del experimento es la distancia $d$ desde el centro de la diana hasta el punto de impacto. Definimos los sucesos:

• $S_1$: "El dardo impacta a una distancia $d < \frac{R}{3}$".

• $S_2$: "El dardo impacta a una distancia $\frac{R}{4} < d < \frac{2R}{3}$".

Utilizando la notación de intervalos para el valor de $d$:

1. Define el espacio muestral $E$.

2. Determina los intervalos correspondientes a los sucesos $S_1 \cup S_2$, $S_1 \cap S_2$ y $S_1 - S_2$.

3. Encuentra el suceso complementario de $S_1 \cup S_2$ y explica su significado físico en el contexto del juego.

Sean $A, B$ y $C$ tres sucesos cualesquiera de un experimento aleatorio. Demuestra formalmente, utilizando las propiedades del álgebra de sucesos (distributiva, complementariedad, etc.), la siguiente identidad:

$$(A \cup B) - (A \cap B) = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$$

Explica qué nombre recibe esta operación en la teoría de conjuntos y representa el suceso resultante mediante un diagrama de Venn sombreado.

En un torneo de e-sports, tres jugadores ($P_1, P_2, P_3$) se enfrentan en partidas eliminatorias "1 vs 1". El experimento consiste en registrar el ganador de cada partida hasta que un jugador gane dos partidas consecutivas o se hayan jugado un máximo de 4 partidas.

1. Dibuja el diagrama de árbol que representa este experimento aleatorio sabiendo que en la primera partida juegan $P_1$ contra $P_2$, y el que pierde es sustituido por el jugador que esperaba ($P_3$).

2. Escribe explícitamente todos los elementos del espacio muestral $E$.

3. Define el suceso $X$: "El jugador $P_3$ juega al menos dos partidas" y el suceso $Y$: "El torneo termina en la tercera partida". ¿Son $X$ e $Y$ sucesos incompatibles? Justifícalo analizando su intersección.

En un nuevo juego de mesa estratégico, un jugador debe lanzar un dado tetraédrico (caras numeradas del $1$ al $4$) y, simultáneamente, extraer una carta de un mazo reducido que contiene únicamente los cuatro ases y los cuatro reyes de la baraja española.

Considerando el experimento aleatorio de anotar el número del dado y el valor de la carta (As o Rey):

1. a) Describe el espacio muestral $E$ del experimento.
2. b) Sean los sucesos:

$A$ = "Obtener un número par en el dado".

$B$ = "Obtener un As de cualquier palo".

$C$ = "Obtener un número menor que $3$ en el dado y que la carta sea un Rey".

Determina los elementos que componen los sucesos $A \cup B$, $A \cap B$ y $B \cap C$.

Una empresa de ciberseguridad analiza los intentos de acceso a un servidor. Define el espacio muestral $\Omega$ como el conjunto de posibles estados de un acceso: $L$ (Legítimo), $S$ (Sospechoso) y $M$ (Malicioso). Se sabe que un sistema de filtrado automático clasifica los accesos en dos categorías: $F$ (Filtrado) y $P$ (Permitido).

Utilizando diagramas de Venn, representa la situación y define simbólicamente los siguientes sucesos:

1. a) El acceso es malicioso o sospechoso, pero ha sido permitido.
2. b) El acceso no es malicioso y ha sido filtrado.
3. c) Se cumple la segunda ley de De Morgan para los sucesos "Acceso Malicioso" ($M$) y "Acceso Filtrado" ($F$).

En un laboratorio de robótica, se están probando dos sensores independientes, $S_1$ y $S_2$. El experimento consiste en comprobar si cada sensor se activa ($1$) o no ($0$) ante un estímulo.

1. a) Escribe el espacio muestral $E$.
2. b) Describe el suceso contrario de $A$, siendo $A$ = "Al menos uno de los sensores se activa".
3. c) Si definimos el suceso $B$ = "Los dos sensores actúan de forma idéntica", determina $A \cap B$ y el suceso diferencia $B - A$.

Un adolescente decide organizar su lista de reproducción para estudiar. Tiene $3$ canciones de género Lo-fi, $2$ de Jazz y $2$ de Indie. El experimento consiste en elegir dos canciones al azar, una tras otra, sin repetición (sin reemplazamiento).

1. a) Representa el experimento mediante un diagrama de árbol, indicando en cada rama los posibles géneros resultantes.
2. b) Halla el número total de resultados posibles del espacio muestral (considerando las canciones como elementos diferenciables).
3. c) Describe el suceso compuesto "Las dos canciones elegidas son de distinto género".

Consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado octaédrico (caras del $1$ al $8$) y un dado cúbico convencional (caras del $1$ al $6$). Definimos los siguientes sucesos:

$A$ = "La suma de los puntos es un número primo".

$B$ = "El producto de los puntos es múltiplo de $10$".

1. a) ¿Son $A$ y $B$ sucesos compatibles o incompatibles? Justifica la respuesta indicando al menos un elemento de la intersección si existiera.
2. b) Calcula el número de elementos del suceso contrario de $B$.

Se realiza un estudio sobre el uso de redes sociales en un instituto de Bachillerato. Se eligen dos alumnos al azar y se les pregunta si utilizan habitualmente la red $X$ y la red $Y$. Sea $x_i$ el suceso "el alumno $i$ usa la red $X$" y $y_i$ el suceso "el alumno $i$ usa la red $Y$".

Expresa simbólicamente, utilizando las operaciones de unión, intersección y complementación, los siguientes sucesos:

1. a) Solo el primer alumno usa ambas redes sociales.
2. b) Al menos uno de los dos alumnos usa la red $X$ pero ninguno usa la red $Y$.
3. c) Los dos alumnos tienen exactamente los mismos hábitos de uso respecto a estas dos redes sociales.

Un bombo de lotería contiene $10$ bolas numeradas del $0$ al $9$. Se extraen tres bolas sucesivamente y sin devolución para formar un número de tres cifras (la primera bola corresponde a las centenas, la segunda a las decenas y la tercera a las unidades).

1. a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral $E$?
2. b) Describe el suceso $S$ = "El número formado es capicúa".
3. c) Describe el suceso $M$ = "El número formado es múltiplo de $5$ y mayor que $700$".

Sea $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ el espacio muestral de un experimento aleatorio. Consideramos los sucesos $A = \{2, 4, 6, 8\}$, $B = \{3, 6\}$ y $C = \{1, 2, 3\}$.

Halla los conjuntos resultantes de las siguientes operaciones y comprueba si se verifica alguna relación de inclusión entre ellos:

1. a) $(A \cup B) \cap C^c$
2. b) $(A \cap C) \cup (B \cap C)$
3. c) $A - (B \cup C)$

Nota: $C^c$ representa el suceso complementario de $C$.