Ejercicios: Combinatoria

Un estudiante de 2º de Bachillerato quiere configurar un código de acceso de $4$ dígitos distintos para su taquilla del gimnasio. Si decide utilizar únicamente los dígitos impares $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ y no puede repetir ninguna cifra:

1. a) ¿Cuántos códigos diferentes puede crear?

1. b) Si el estudiante olvida el código, pero recuerda que el primer número era un $7$, ¿cuántas opciones le quedan por probar?

En un campeonato de robótica, un equipo debe seleccionar a $3$ representantes de un grupo de $8$ estudiantes para explicar el proyecto ante el jurado.

1. a) ¿De cuántas formas distintas se puede elegir al grupo de representantes si el orden de selección no importa?

1. b) Si entre los $8$ estudiantes hay $2$ que son especialistas en programación y se decide que al menos uno de ellos debe estar en el grupo, ¿cuántas selecciones diferentes son posibles?

Sean $A$ y $B$ dos sucesos asociados a un experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ y $P(A \cap B) = 0,2$. Calcula las siguientes probabilidades:

1. a) $P(A \cup B)$

1. b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (Probabilidad de que no ocurra ni $A$ ni $B$).

1. c) $P(A - B)$ (Probabilidad de que ocurra $A$ pero no ocurra $B$).

En un estudio sobre el uso de dispositivos móviles en una clase de $30$ alumnos, se ha obtenido la siguiente tabla de contingencia que clasifica a los estudiantes por su sistema operativo preferido y si realizan compras online habitualmente:

	Compras Online ($S$)	No Compras ($N$)	TOTAL
Android ($A$)	$12$	$6$	$18$
iOS ($I$)	$8$	$4$	$12$
TOTAL	$20$	$10$	$30$

Si se elige un alumno al azar, calcula:

1. a) La probabilidad de que use iOS.

1. b) La probabilidad de que realice compras online sabiendo que usa Android.

1. c) ¿Son los sucesos "Usar Android" y "Realizar compras online" independientes? Justifica tu respuesta.

Un servidor de videojuegos tiene dos nodos de conexión: el Nodo 1, que atiende al $70\%$ de los usuarios, y el Nodo 2, que atiende al resto. Se sabe que el $5\%$ de las conexiones en el Nodo 1 sufren lag, mientras que en el Nodo 2 este problema ocurre en el $10\%$ de las conexiones.

1. a) Representa la situación mediante un diagrama de árbol de probabilidades.

1. b) Si un jugador entra al azar en el servidor, ¿cuál es la probabilidad de que su conexión sufra lag?

En una fábrica de componentes electrónicos, la probabilidad de que un microchip sea defectuoso es de $0,02$. Si los microchips se empaquetan en cajas de $10$ unidades y la presencia de defectos en uno es independiente de los demás:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una caja no haya ningún microchip defectuoso?

1. b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente un microchip defectuoso en la caja? (Expresa el resultado usando números combinatorios).

Tres operadoras de telefonía, $M_1$, $M_2$ y $M_3$, gestionan el $40\%$, $35\%$ y $25\%$ de las llamadas de un centro de atención al cliente, respectivamente. El porcentaje de llamadas que se cortan de forma inesperada en cada operadora es del $2\%$, $3\%$ y $4\%$, respectivamente.

Se elige una llamada al azar y resulta haberse cortado. Calcula la probabilidad de que la hubiera gestionado la operadora $M_1$.

Utiliza las propiedades de los números combinatorios y el Binomio de Newton para resolver:

1. a) Desarrolla completamente la expresión $(x + 2)^4$.

1. b) Sin desarrollar todo el binomio, calcula el valor del coeficiente del término que contiene $x^3$ en el desarrollo de $(x + 3)^5$.

Una plataforma de streaming está diseñando una nueva interfaz personalizada. Para el perfil de usuario, se permite elegir un avatar combinando los siguientes elementos: 4 formas de cara distintas, 5 tipos de peinado y 3 estilos de gafas. Además, el nombre de usuario debe ser una cadena de 5 caracteres formada por 3 letras minúsculas (de un alfabeto de 26) seguidas de 2 dígitos.

1. a) ¿Cuántos avatares diferentes se pueden crear?
2. b) ¿Cuántos nombres de usuario distintos se pueden generar si no se permite repetir ni letras ni dígitos?
3. c) Si un usuario decide elegir su avatar y su nombre al azar (con las condiciones del apartado b), ¿cuál es la probabilidad de que su nombre empiece por la letra "z" y termine en el dígito "9"?

En una competición de robótica, los equipos deben superar dos pruebas independientes. Se sabe que la probabilidad de que un robot supere la prueba de velocidad es $P(V) = 0,75$ y la probabilidad de que supere la prueba de precisión es $P(P) = 0,60$. Calcula la probabilidad de que un equipo elegido al azar:

1. a) Supere al menos una de las dos pruebas.
2. b) Supere la prueba de velocidad pero no la de precisión.
3. c) Sabiendo que ha superado al menos una prueba, ¿cuál es la probabilidad de que haya superado ambas?

Un sistema de ciberseguridad utiliza dos filtros para detectar correos electrónicos tipo phishing. El Filtro A detecta el $92\%$ de estos correos, mientras que el Filtro B detecta el $88\%$. Por la estructura del sistema, un correo es analizado por el Filtro B solo si no ha sido detectado por el Filtro A. Si un correo no es detectado por ninguno de los dos, llega a la bandeja de entrada del usuario. Se estima que el $3\%$ de los correos recibidos en la empresa son intentos de phishing.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un correo de phishing llegue a la bandeja de entrada?
2. b) Si un correo ha llegado a la bandeja de entrada, ¿cuál es la probabilidad de que sea realmente un correo de phishing?

Una empresa de fabricación de componentes electrónicos mediante impresión 3D ha observado que la probabilidad de que una pieza presente algún defecto de acabado es del $5\%$. Si se imprime un lote de 12 piezas:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 piezas sean defectuosas?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de una pieza defectuosa?
3. c) Calcula la media y la desviación típica del número de piezas defectuosas en el lote.

La autonomía de una nueva flota de patinetes eléctricos para uso urbano sigue una distribución normal de media $35$ km y desviación típica $4$ km.

1. a) Calcula la probabilidad de que un patinete elegido al azar tenga una autonomía superior a $40$ km.
2. b) ¿Qué porcentaje de patinetes tendrá una autonomía comprendida entre $30$ y $38$ km?
3. c) Si la empresa quiere garantizar que el $90\%$ de sus patinetes superen una determinada autonomía mínima $d$, ¿cuál debe ser el valor de $d$?

Se ha realizado una encuesta a 250 estudiantes de un centro tecnológico sobre su uso de sistemas operativos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia:

	Grado Medio	Grado Superior	Total
Usa principalmente Windows	85	65	150
Usa principalmente Linux	40	60	100
Total	125	125	250

Si se elige un estudiante al azar, calcula:

1. a) La probabilidad de que sea un alumno de Grado Superior y use principalmente Linux.
2. b) Si sabemos que el alumno usa principalmente Windows, ¿cuál es la probabilidad de que sea de Grado Medio?
3. c) ¿Son independientes los sucesos "ser alumno de Grado Superior" y "usar principalmente Linux"? Razona la respuesta.

Se sabe que el $15\%$ de los usuarios que visitan una página web de venta de componentes informáticos acaban realizando una compra. Si en un día determinado la web recibe 400 visitas independientes:

1. a) Indica qué distribución de probabilidad sigue la variable "número de compras realizadas" y justifica si se puede aproximar por una distribución normal.
2. b) Utilizando la aproximación adecuada, calcula la probabilidad de que se realicen entre 50 y 70 compras (ambos inclusive).

Un laboratorio dispone de 8 sensores de temperatura de precisión y 6 sensores de humedad. Para un experimento de control ambiental se deben seleccionar al azar 4 sensores.

1. a) ¿De cuántas formas distintas se puede realizar la selección de los 4 sensores si no importa el orden?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccionen exactamente 2 sensores de temperatura y 2 de humedad?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los sensores seleccionados sean del mismo tipo?

Un equipo de ciberseguridad está analizando la vulnerabilidad de un sistema de acceso que utiliza contraseñas de $8$ caracteres. Los caracteres permitidos son las $26$ letras del alfabeto (sin distinguir mayúsculas de minúsculas) y los dígitos del $0$ al $9$. Una contraseña se considera "robusta" si cumple las siguientes condiciones:

1. Contiene exactamente $2$ números distintos y $6$ letras.

2. Las letras no pueden repetirse.

3. Los dos números deben estar en posiciones consecutivas.

Calcula:

1. a) El número total de contraseñas robustas que se pueden generar.
2. b) Si un software de fuerza bruta genera una contraseña aleatoria siguiendo únicamente la estructura de $8$ caracteres (letras o números), ¿cuál es la probabilidad de que acierte una contraseña robusta específica en el primer intento?

En el desarrollo de un nuevo binomio, un estudiante de ingeniería necesita determinar ciertos coeficientes. Se considera el desarrollo del binomio $Q(x) = \left( \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{k}{x} \right)^{12}$, donde $k$ es un número real positivo.

1. a) Determina el valor de $k$ sabiendo que el término independiente de $x$ en el desarrollo de $Q(x)$ es igual a $7920$.
2. b) Una vez hallado $k$, calcula el coeficiente del término que contiene a $x^9$.

Una plataforma de streaming utiliza un algoritmo de recomendación para predecir si a un usuario le gustará una serie nueva. Se sabe que el $75\%$ de las series recomendadas por el algoritmo realmente gustan a los usuarios ($E$: éxito). Sin embargo, el algoritmo a veces falla: el $10\%$ de las series que a un usuario le encantarían no son recomendadas ($FN$: falso negativo), y el $20\%$ de las series que a un usuario le disgustarían son recomendadas erróneamente ($FP$: falso positivo).

Si el $60\%$ de todas las series del catálogo son del gusto potencial de un usuario específico, calcula:

1. a) La probabilidad de que el algoritmo recomiende una serie elegida al azar.
2. b) Si el algoritmo acaba de recomendar una serie a este usuario, ¿cuál es la probabilidad de que realmente sea una serie que le guste?

Una empresa de mensajería utiliza drones para repartir paquetes en una ciudad. La probabilidad de que un dron sufra una avería técnica durante un vuelo de entrega es de $0,02$. La empresa realiza $250$ entregas diarias de forma independiente.

1. a) Justifica si se puede aproximar la variable "número de averías diarias" por una distribución normal. En caso afirmativo, indica sus parámetros.
2. b) Utilizando la aproximación adecuada, calcula la probabilidad de que en un día determinado se produzcan exactamente $5$ averías.
3. c) Calcula la probabilidad de que se produzcan entre $3$ y $8$ averías (ambos inclusive).

En un laboratorio de genética se estudia la resistencia de una planta a una plaga. Se sabe que la probabilidad de que una planta sea resistente es $p$. Se eligen $8$ plantas al azar y se observa que la probabilidad de que exactamente $2$ sean resistentes es la misma que la probabilidad de que exactamente $3$ sean resistentes.

1. a) Calcula el valor de la probabilidad $p$.
2. b) Con el valor de $p$ hallado, calcula la probabilidad de que al menos una planta sea resistente.
3. c) Determina la esperanza matemática y la desviación típica del número de plantas resistentes en una muestra de $100$ plantas.

El peso de los envases de café producidos por una factoría sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Se ha observado que el $15,87\%$ de los envases pesan más de $510$ gramos, y que el $2,28\%$ de los envases pesan menos de $480$ gramos.

1. a) Calcula la media $\mu$ y la desviación típica $\sigma$ de la distribución. (Recuerda que para una $Z \sim N(0,1)$, $P(Z < 1) \approx 0,8413$ y $P(Z < 2) \approx 0,9772$).
2. b) Si el peso neto indicado en la etiqueta es de $500$ gramos, ¿qué porcentaje de los envases está por debajo del peso legal?

Un examen de oposición consta de $80$ temas. El opositor estudia $55$ temas al azar. El tribunal extrae $3$ temas por sorteo y el opositor debe elegir uno para desarrollar.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el opositor no sepa ninguno de los tres temas extraídos?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que se sepa exactamente dos de los temas?
3. c) Si el opositor ha aprobado el examen (lo que implica que sabía al menos uno de los temas), ¿cuál es la probabilidad de que supiera los tres temas extraídos?

Una fábrica de componentes electrónicos tiene tres líneas de producción: $L_1$, $L_2$ y $L_3$. La línea $L_1$ produce el doble que la $L_2$, y la $L_3$ produce lo mismo que la $L_1$ y la $L_2$ juntas. El porcentaje de componentes defectuosos es del $1\%$ en $L_1$, del $3\%$ en $L_2$ y del $2\%$ en $L_3$.

1. a) Calcula la probabilidad de que un componente elegido al azar de la producción total sea defectuoso.
2. b) Si seleccionamos un componente y resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la línea $L_3$?
3. c) Si se analizan $10$ componentes de la línea $L_1$ de forma independiente, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sea defectuoso?