Ejercicios: Integral indefinida. Descomposición elemental e integrales inmediatas

Un skater profesional está analizando la trayectoria de su último salto en una rampa. La función que describe la variación de su altura respecto al tiempo (velocidad vertical) viene dada por la expresión $v(t) = 3t^2 - 4t + 5$. Halla la familia de funciones $H(t)$ que representan la altura del skater, calculando la integral indefinida:

En el estudio de la propagación de una noticia en una red social, se ha determinado que el ritmo de crecimiento de los "compartidos" sigue una ley potencial. Para encontrar el total acumulado, un programador debe resolver la siguiente integral de una función irracional. Calcúlala pasando primero la raíz a exponente fraccionario:

Determina si la función $F(x) = x \cdot e^x$ es una primitiva de la función $f(x) = (x+1)e^x$. Para justificar tu respuesta, recuerda utilizar la relación fundamental entre una función y su primitiva mediante la derivación.

Un estudio de audición para adolescentes analiza la intensidad de una señal sonora. La función que describe la presión acústica instantánea es $p(x) = \frac{3}{x} + e^{2x}$. Halla la primitiva general de dicha función realizando la integración:

Calcula la integral indefinida de la siguiente combinación de funciones trigonométricas y constantes, aplicando las propiedades de linealidad (sacar constantes y separar sumas):

Halla todas las primitivas de la función $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$.

Pista: Para resolverla de forma inmediata, descompón la fracción en tres términos simples antes de integrar.

En el diseño de una lente para una cámara de smartphone, se requiere conocer la función de curvatura. La derivada de dicha función es $g'(x) = \frac{7}{1 + x^2} - 2^x$. Obtén la expresión de la función $g(x)$ calculando su integral indefinida:

Halla la primitiva de la función $f(x) = 2x - 6$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 4)$.

Nota: Primero calcula la integral indefinida para obtener la familia de funciones con la constante $C$, y luego utiliza el punto $P$ para hallar el valor específico de dicha constante.

Calcula la familia de funciones primitivas de la siguiente función, simplificando el resultado eliminando los exponentes negativos y utilizando radicales:

$f(x) = \dfrac{3}{x^4} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{5x}$

Halla la integral indefinida de la función $g(x)$, realizando los ajustes de constantes necesarios para obtener una estructura de tipo logarítmico:

$I = \displaystyle\int \dfrac{3x - 1}{x^2 - \frac{2}{3}x + 5} \, dx$

Un dron de vigilancia se desplaza de forma que su velocidad en el eje horizontal (en m/s) viene dada por la función $v(t) = 4e^{2t-1} + \sin(3t)$. Sabiendo que en el instante inicial $t=0$ el dron se encuentra en la posición $s=0$, determina la expresión de la función de posición $s(t)$.

Calcula la primitiva de la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 1}{x-2}$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 5)$.

Nota: Realiza primero la división de los polinomios.

Determina la integral indefinida de la siguiente función compuesta, identificando la derivada de la función interna:

$I = \displaystyle\int \dfrac{\ln^2(x) + 1}{x} \, dx$

Halla la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2(3x)} + 5^{2x}$ sabiendo que $F(0) = 1$.

Calcula la integral indefinida de la siguiente función utilizando la descomposición por linealidad y el ajuste de la derivada del exponente:

$I = \displaystyle\int \left( 2x \cdot e^{x^2+3} - \dfrac{5}{1+4x^2} \right) \, dx$

Dada la función $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1 + \cos(x)}}$, calcula su primitiva general. Comprueba tu resultado derivando la función obtenida.

Un ingeniero de sonido está analizando la señal de un nuevo sintetizador. La tasa de variación de la intensidad de la onda respecto al tiempo, $t$, viene dada por la función $f'(t) = \dfrac{e^{2t} + 3e^t}{e^t + 1}$.

Sabiendo que para un tiempo $t = 0$ la intensidad de la onda es de $10$ unidades, determina la expresión analítica de la intensidad $f(t)$ realizando las manipulaciones algebraicas necesarias para resolver la integral.

Calcula la familia de primitivas de la siguiente función trigonométrica utilizando identidades fundamentales para transformar el integrando en una suma de integrales inmediatas:

Pista: Intenta expresar el numerador en función del seno utilizando la identidad fundamental de la trigonometría.

Determina la función $f(x)$ cuya derivada segunda es $f''(x) = \dfrac{12x^2 - 4}{(x^2 + 1)^3}$.

Se sabe que la gráfica de $f(x)$ tiene un punto de inflexión en el que la recta tangente es horizontal y pasa por el punto $(0, 5)$.

Nota: Este ejercicio requiere un manejo experto de la regla de la cadena en sentido inverso para funciones racionales.

Una empresa de logística estudia el desgaste de los neumáticos de su flota. La velocidad de desgaste $V(x)$ (en mm por cada 1000 km) depende de la carga $x$ (en toneladas) según la función:

Halla la función de desgaste acumulado $D(x)$, sabiendo que para una carga nula ($x=0$) el desgaste es cero.

Pista: Descompón la fracción para obtener una integral de tipo raíz (potencial) y otra de tipo arco seno.

Halla la integral indefinida de la siguiente función racional completando el cuadrado en el denominador para identificar una estructura de arco tangente:

Dada la función $f(x) = |x - 2| \cdot e^x$, encuentra la primitiva $F(x)$ que verifica que $F(0) = 1$.

Recuerda que para que $F(x)$ sea una primitiva en todo su dominio, debe ser una función continua, por lo que tendrás que ajustar las constantes de integración en los diferentes tramos.

Determina los valores de los parámetros $A, B$ y $C$ para que la función $F(x) = (Ax^2 + Bx + C) \cdot \sin(2x)$ sea una primitiva de $f(x) = x^2 \cos(2x)$.

Plantea el sistema de ecuaciones derivando $F(x)$ e igualando coeficientes.

Calcula la integral indefinida de la función:

Este ejercicio evalúa la capacidad de reconocer la estructura $g(u(x)) \cdot u'(x)$ cuando existen múltiples funciones compuestas.