Ejercicios: Simetrías en el espacio

En un software de diseño de videojuegos, un objeto situado en el punto $P(4, -2, 6)$ debe ser reflejado respecto a un punto de control (centro de simetría) ubicado en $M(1, 3, 2)$. Calcula las coordenadas del punto simétrico $P'$ donde aparecerá el objeto reflejado.

Se sabe que el punto $A'(0, 8, -4)$ es el simétrico de $A(2, -2, 6)$ respecto a un centro de simetría $C$. Determina las coordenadas de dicho centro $C$ utilizando la relación de punto medio.

Calcula el punto simétrico de $Q(3, -5, 7)$ respecto al plano coordenado $XY$.

Pista: Recuerda que la ecuación del plano $XY$ es $z = 0$.

Halla el punto simétrico de $P(1, 2, 3)$ respecto a la recta $r$ que coincide con el eje $OX$.

Pista: Los puntos del eje $OX$ tienen la forma $(\lambda, 0, 0)$.

Un rayo láser sale del punto $A(2, 3, 4)$ y se refleja en un espejo plano cuya ecuación es $\pi: y = 5$. Determina las coordenadas del punto simétrico $A'$ respecto a dicho plano.

Dado el punto $P(1, 0, 1)$, halla su simétrico respecto al plano $\pi: x + y + z = 5$ siguiendo estos pasos:

1. Halla la recta $r$ perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$.

2. Calcula el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$ (pie de la perpendicular).

3. Utiliza $M$ como punto medio para hallar el simétrico $P'$.

Calcula el punto simétrico de $B(5, 5, 5)$ respecto a la recta $s$ dada por:

Nota: Esta es una recta vertical paralela al eje OZ que pasa por el punto $(1, 2, 0)$.

En un cristal con estructura de paralelogramo, se conocen tres vértices: $A(1, 1, 1)$, $B(3, 0, 2)$ y $C(4, 5, 6)$. Si el centro del paralelogramo $M$ es el centro de simetría que conecta vértices opuestos, halla el cuarto vértice $D$ sabiendo que es el simétrico de $B$ respecto al punto medio del segmento $AC$.

Un dron submarino se encuentra en la posición $D(4, -2, -5)$ (el plano XY representa el nivel del mar). Primero, asciende verticalmente una cierta distancia aplicando el vector de traslación $\vec{v} = (0, 0, 5)$. A continuación, emite un pulso de sonar que se refleja especularmente en el fondo marino, el cual es completamente plano y está definido por la ecuación $z = -10$. ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico de la nueva posición del dron respecto al fondo marino?

Un arquitecto está diseñando una estructura metálica y necesita colocar dos soportes en puntos que sean simétricos respecto al centro de una viga principal. Si uno de los soportes debe estar en el punto $P(3, -2, 4)$ y el centro de la viga se encuentra en $M(1, 2, 1)$, determina las coordenadas donde debe situarse el segundo soporte $P'$.

Calcula las coordenadas del punto $Q$, que es el simétrico del punto $P(1, 0, 5)$ respecto al plano de ecuación $\pi: 2x + y - z - 3 = 0$. Explica brevemente los pasos seguidos (obtención de la recta perpendicular, punto de corte y punto medio).

Dada la recta $r$ definida por las ecuaciones paramétricas:

$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$

Halla el punto simétrico de $A(3, 2, 1)$ respecto a dicha recta.

En un estudio de realidad virtual, un objeto situado en $V(2, 4, 6)$ se refleja sobre un espejo plano que coincide con el plano coordenado $OXY$ ($z=0$).

1. a) Determina el punto simétrico $V'$.
2. b) Si el espejo se desplaza paralelamente hasta la posición $\pi: z = 2$, ¿cuál sería el nuevo punto simétrico $V''$?

Considera los puntos $A(1, 1, 1)$ y $B(3, 5, 5)$. Encuentra la ecuación del plano $\pi$ que actúa como "plano de simetría" entre ambos puntos (es decir, el plano respecto al cual $A$ y $B$ son simétricos).

Pista: Este plano es el plano mediador del segmento $AB$.

Se sabe que el punto $P'(5, -3, 2)$ es el simétrico de $P(1, 1, 0)$ respecto a una recta $r$. Si el vector director de la recta es $\vec{v} = (1, 1, 1)$, determina la ecuación continua de la recta $r$.

Un rayo láser parte del punto $A(1, 2, 3)$, rebota en un cristal plano cuya ecuación es $\pi: x + y + z = 12$ y llega al punto $B$. Si sabemos que el punto donde el láser toca el cristal es el punto de incidencia mínima (el punto medio de la trayectoria si $A$ y $B$ fuesen simétricos), halla las coordenadas de $B$ sabiendo que es el simétrico de $A$ respecto al plano $\pi$.

Determina el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que los puntos $P(1, 2, -1)$ y $Q(a, b, 3)$ sean simétricos respecto al punto $C(0, 1, 1)$. Una vez hallados, comprueba si el vector $\vec{PQ}$ es paralelo al vector $\vec{u} = (1, 1, -4)$.

Un dron de vigilancia está situado en el punto $A(1, -2, 3)$. Para evitar ser detectado por un radar, debe desplazarse al punto $B(5, 4, 1)$ realizando una escala técnica en una plataforma plana representada por el plano $\pi: x - y + 2z - 2 = 0$. Determina las coordenadas de un punto $P$ en dicho plano de modo que la trayectoria total $AP + PB$ sea mínima.

Indicación: Utiliza la simetría del punto $A$ respecto al plano $\pi$ para resolver este problema de optimización geométrica.

Se proyecta un haz de luz láser que sigue la trayectoria de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1}$. El rayo incide sobre una superficie metálica pulida situada en el plano $XY$ (plano $z=0$). Calcula la ecuación de la recta $s$ que contiene al rayo reflejado.

Nota: La recta reflejada es la simétrica de la recta incidente respecto al plano de incidencia.

Determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que el punto simétrico de $P(1, k, 2)$ respecto de la recta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 \lambda \end{cases}$ pertenezca al plano $\pi: 3x - y + z - 10 = 0$.

Considera los puntos $A(2, 0, 1)$ y $B(0, 2, -1)$. Se sabe que el punto $B$ es el simétrico de $A$ respecto a una recta $r$ que pasa por el origen de coordenadas. Halla las ecuaciones implícitas de dicha recta $r$.

Halla la ecuación del plano $\pi'$ que es simétrico al plano $\pi: 2x - y + z - 4 = 0$ respecto del plano de simetría $\sigma: x + y + z - 1 = 0$.

Ayuda: Analiza la posición relativa de ambos planos. Si son secantes, la recta intersección pertenecerá al plano buscado.

Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $r: \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$ y $s: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}$.

Calcula el punto simétrico de $Q(0, 0, 10)$ respecto al plano que contiene a ambas rectas. Si no existe tal plano, razona por qué y calcula el simétrico de $Q$ respecto a la recta $s$.

Dado el punto $A(1, 2, 3)$, calcula las coordenadas de sus simétricos respecto a los tres planos coordenados ($XY$, $XZ$ e $YZ$). Demuestra que los cuatro puntos (el original y los tres simétricos) son coplanarios y halla la ecuación del plano que los contiene.

En un proyecto de arquitectura, se desea construir una estructura simétrica respecto a un pilar central representado por la recta $r: x-1 = y = \frac{z+2}{2}$. Uno de los vértices de la estructura está en el punto $V(3, 1, 0)$.

1. a) Halla el vértice simétrico $V'$ respecto al pilar $r$.
2. b) Calcula el volumen del tetraedro formado por $V$, $V'$, el origen de coordenadas y el punto de proyección de $V$ sobre la recta $r$.