Ejercicios: Distancias en el espacio

En un entorno de desarrollo de un videojuego en 3D, dos objetos están situados en los puntos $A(2, -3, 1)$ y $B(6, 1, 1)$, donde las unidades están en metros. Calcula la distancia que separa a ambos objetos para programar una colisión si esta es menor de 5 metros.

Una antena emisora de telefonía se encuentra en el punto $P(1, 2, -3)$. Se sabe que la señal es interceptada de forma óptima por un panel reflector plano cuya ecuación es $\pi: 3x - 4z + 2 = 0$. Determina la distancia mínima que debe recorrer la onda desde la antena hasta el panel.

En el diseño de una sala de exposiciones, el suelo y el techo se han modelado como dos planos paralelos de ecuaciones $\pi_1: x - 2y + 2z - 4 = 0$ y $\pi_2: x - 2y + 2z + 11 = 0$. Halla la altura de la sala.

El gancho de una grúa de obra está suspendido en la posición $Q(4, -3, 12)$. Los técnicos necesitan conocer la distancia del gancho al eje de cotas (eje $OZ$). Calcula dicha distancia para verificar el espacio libre de giro de la grúa respecto al eje vertical de referencia.

Considera el punto $A(1, 5, -2)$ y la recta $r$ definida por sus ecuaciones paramétricas:

Halla la distancia del punto $A$ a la recta $r$ aplicando la fórmula del producto vectorial.

Un sensor de profundidad láser se encuentra en el punto $S(5, -7, 4)$. El láser apunta directamente hacia la pared lateral, representada por el plano coordenado $XZ$. ¿A qué distancia se encuentra el sensor de dicha pared?

Se ha instalado un raíl metálico para un robot industrial que sigue la trayectoria de la recta:

Si el suelo de la fábrica es el plano $\pi: x - 2z + 5 = 0$, comprueba primero que el raíl es paralelo al suelo y calcula después la distancia de seguridad a la que se encuentra el raíl del mismo.

Calcula las coordenadas de los puntos del eje de abscisas (eje $OX$) cuya distancia al punto $P(3, 2, 2)$ es exactamente de $\sqrt{8}$ unidades. Explica por qué obtienes dos soluciones geográficamente.

Un cohete de sondeo sigue una trayectoria lineal definida por la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$. El cohete debe enviar una señal a la estación de seguimiento situada en el punto $P(5, -1, 4)$. Calcula la distancia mínima a la que pasará el cohete de la estación de seguimiento durante su vuelo.

Se están diseñando las estructuras de soporte de un pabellón. Dos de las vigas principales se modelizan mediante las rectas $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$ y $s \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{3}$. Determina la distancia mínima que separa a ambas vigas para comprobar si es necesario instalar un conector de seguridad entre ellas.

En una excavación arqueológica, se ha determinado que el suelo original de una estancia se encuentra sobre el plano $\pi \equiv 2x - y + 2z - 6 = 0$. Un equipo de sensores se desplaza sobre una guía metálica representada por la recta $r \equiv \begin{cases} x = \mu \\ y = 2\mu - 1 \\ z = \mu + 1 \end{cases}$.

1. a) Comprueba que la guía es paralela al suelo de la estancia.
2. b) Calcula la distancia constante a la que se encuentran los sensores del suelo.

Halla las coordenadas de los puntos de la recta $r \equiv x = y = z$ que se encuentran a una distancia de $2\sqrt{3}$ unidades del plano $\pi \equiv x + 2y - 2z + 1 = 0$.

Determina el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los puntos $A(1, -2, 3)$ y $B(3, 0, 1)$. ¿Qué figura geométrica representa? Calcula la distancia desde el origen de coordenadas a dicho lugar geométrico.

Considera el cubo de arista 4 unidades con un vértice en el origen $(0,0,0)$ y sus aristas situadas sobre los ejes positivos de coordenadas. Calcula la distancia desde el vértice $V(4, 4, 4)$ a la diagonal del cubo que une los puntos $(4, 0, 0)$ y $(0, 4, 0)$.

Un haz de luz láser sale del punto $A(1, 1, 1)$ en la dirección del vector $\vec{v} = (1, 0, 2)$. Queremos colocar un espejo plano paralelo al plano $XY$ de modo que la distancia del punto $A$ al espejo sea de 5 unidades.

1. a) Halla las dos posibles ecuaciones de los planos que contienen al espejo.
2. b) Calcula la distancia desde el origen a cada uno de esos planos.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la distancia entre los planos paralelos $\pi_1 \equiv 2x + 2y - z + 3 = 0$ y $\pi_2 \equiv 4x + 4y - 2z + k = 0$ sea de 3 unidades. Explica por qué existen dos posibles valores para $k$.

Dos satélites de comunicaciones siguen trayectorias lineales en el espacio (medidas en cientos de kilómetros) representadas por las rectas $r$ y $s$:

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$ y $s: \frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-k}{1}$

Se pide:

1. Determinar el valor del parámetro $k$ para que la distancia mínima entre las dos trayectorias sea exactamente de $\sqrt{6}$ unidades (600 km).

2. Para el valor de $k$ obtenido en el apartado anterior, calcula los puntos de cada trayectoria donde se alcanza dicha distancia mínima (puntos de la perpendicular común).

Una empresa de logística utiliza drones para el transporte de paquetes. Un dron se desplaza desde el punto $A(1, 0, 2)$ en línea recta hacia el punto $B(5, 4, 10)$. En el centro de la zona de operaciones existe una antena emisora situada en el punto $P(3, 5, 1)$.

Calcula:

1. El punto exacto de la trayectoria del dron que se encuentra a la distancia mínima de la antena.

2. Si la señal de la antena tiene un alcance de $5$ unidades, determina durante qué intervalo de su trayecto (valores del parámetro $\lambda$) el dron tiene cobertura.

Se considera un plano $\pi$ que pasa por el punto $M(1, 0, 3)$ y es perpendicular a la recta $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1}$.

1. Halla la ecuación de la esfera que es tangente al plano $\pi$ y tiene su centro en el punto $C(4, 5, 2)$.

2. Calcula la distancia desde el origen de coordenadas al punto de tangencia entre la esfera y el plano.

Un arquitecto diseña una estructura vanguardista compuesta por dos cables tensados. En un sistema de referencia cartesiano, el primer cable coincide con la recta $r$ que pasa por $A(1, 1, 1)$ y $B(2, 3, 0)$. El segundo cable sigue la dirección del vector $\vec{u} = (1, 0, 1)$ y pasa por el punto $C(0, 2, 2)$.

Calcula:

1. La distancia mínima entre los dos cables.

2. La ecuación de la recta que representa un refuerzo metálico que une ambos cables por el camino más corto posible (perpendicular común).

Halla las coordenadas de los puntos de la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{-1}$ que equidistan de los planos:

$\pi_1: x + 2y - 2z + 1 = 0$

$\pi_2: 8x - 4y + z - 5 = 0$

Analiza si existe algún punto en la recta cuya distancia a ambos planos sea nula y explica su significado geométrico.

Sea el punto $P(1, 2, -1)$ y la recta $r: \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - z = 4 \end{cases}$.

1. Calcula el punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r$. Llamémosle $P'$.

2. Determina la distancia de $P'$ al plano $\pi: 2x - 3y + z + 10 = 0$.

3. ¿Cuál es el volumen del tetraedro formado por el punto $P$, su proyección sobre la recta $r$, y los puntos de intersección del plano $\pi$ con los ejes $OX$ y $OY$?

Un rayo láser parte del punto $A(5, 2, 6)$ y se refleja en un espejo plano representado por el plano coordenado $XY$ ($z=0$). El rayo reflejado debe pasar por el punto $B(1, 4, 2)$.

Se pide:

1. Hallar las coordenadas del punto de impacto $C$ del láser sobre el espejo.

2. Calcular la distancia total recorrida por el rayo desde el punto $A$ hasta el punto $B$. (Nota: La distancia mínima se obtiene mediante el punto simétrico).

Dada la familia de planos $\pi_a: ax + (a-1)y + z + (a-2) = 0$, donde $a \in \mathbb{R}$:

1. Demuestra que todos los planos de la familia contienen a una misma recta común $r$. Halla las ecuaciones de dicha recta.

2. Calcula la distancia del punto $Q(2, -1, 0)$ a la recta $r$.

3. Determina el valor de $a$ para el cual el plano $\pi_a$ se encuentra a una distancia de $\frac{1}{\sqrt{2}}$ unidades del punto $P(0, 0, 0)$.