Ejercicios: Definición

Tres amigos, Alex, Bea y Cris, están comparando sus estadísticas en un videojuego de disparos tras la última partida. Los datos de "Bajas", "Muertes" y "Asistencias" son los siguientes:

• Alex: 12 bajas, 5 muertes, 8 asistencias.

• Bea: 15 bajas, 2 muertes, 10 asistencias.

• Cris: 9 bajas, 7 muertes, 12 asistencias.

1. a) Escribe la matriz $S$ de dimensiones $3 \times 3$ que represente esta información, situando a los jugadores por filas y las estadísticas por columnas (en el orden mencionado).
2. b) Indica el valor de los elementos $s_{21}$ y $s_{32}$ y explica qué representan en el contexto del problema.
3. c) ¿Cuál es la dimensión de la matriz traspuesta $S^t$?

Dada la matriz $A = (a_{ij})$ de dimensión $2 \times 3$ definida por la siguiente regla de formación:

Escribe de forma explícita todos los elementos de la matriz $A$.

Determina los valores de $x$, $y$ y $z$ para que las siguientes matrices sean iguales:

Una tienda de ropa deportiva tiene dos sedes, una en Madrid y otra en Barcelona. El inventario de sudaderas (tallas S, M, L) al principio de mes se organiza en las siguientes matrices, donde las filas representan las tallas en orden creciente:

1. a) Identifica el tipo de matriz (fila, columna o cuadrada) y su dimensión.
2. b) Si el gerente decide unir ambos inventarios en una única matriz $I$ de $3 \times 2$, escribe cómo quedaría dicha matriz.
3. c) ¿Qué representa el elemento $i_{21}$ de la nueva matriz?

Considera la matriz cuadrada $C$ de orden 3 dada por:

1. a) Indica cuáles son los elementos que forman la diagonal principal.
2. b) Calcula la traza de la matriz $C$ (la suma de los elementos de su diagonal principal).
3. c) Escribe la matriz traspuesta $C^t$.

Identifica la dimensión de las siguientes matrices y clasifícalas según su forma (fila, columna, cuadrada o rectangular):

1. a) $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -5 \end{pmatrix}$
2. b) $B = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$
3. c) $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
4. d) $D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Se ha diseñado un pequeño logotipo utilizando una rejilla de $3 \times 3$ píxeles. En la imagen adjunta, los píxeles encendidos se representan con el número $1$ y los apagados con el número $0$.

Escribe la matriz $L$ de orden 3 que representa el diseño del logotipo mostrado.

Construye la matriz cuadrada $B = (b_{ij})$ de orden 2 tal que sus elementos sigan la siguiente condición lógica:

¿Cómo se llama este tipo de matriz especial?

Determina los valores de los parámetros reales $x$, $y$ y $z$ para que las siguientes matrices $A$ y $B$ sean iguales, sabiendo que $A$ es una matriz cuadrada de orden 3 y $B$ representa su traspuesta ($B = A^t$):

$A = \begin{pmatrix} 2 & x+y & 5 \\ 3 & 0 & z^2 \\ x-y & 4 & 1 \end{pmatrix}$

Escribe de forma explícita los elementos de la matriz $A = (a_{ij})$ de dimensión $3 \times 4$ definida por la siguiente ley de formación:

$a_{ij} = \begin{cases} i^2 - j & \text{si } i \geq j \\ (-1)^{i+j} \cdot (i+j) & \text{si } i < j \end{cases}$

Una empresa de mensajería utiliza drones para repartir paquetes entre cuatro centros logísticos situados en una zona metropolitana. El siguiente grafo muestra las rutas directas (de ida) que pueden realizar los drones entre los centros $C_1, C_2, C_3$ y $C_4$.

Obtén la matriz de adyacencia $M$ asociada a este grafo, donde el elemento $m_{ij}$ sea $1$ si existe una ruta directa del centro $i$ al centro $j$, y $0$ en caso contrario.

Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} a-b & 2 & 3 \\ c & a+b & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, calcula los valores de $a$, $b$ y $c$ para que se cumplan simultáneamente las siguientes condiciones:

• La traza de la matriz $M$ es igual a $10$.

• El elemento $m_{22}$ es el triple que el elemento $m_{11}$.

• La matriz $M$ sumada a su traspuesta da como resultado una matriz diagonal.

Un centro de datos monitoriza el tráfico entre tres servidores ($S_1, S_2, S_3$). La matriz $A$ representa el número de paquetes de datos enviados entre ellos en una hora:

$A = \begin{pmatrix} 0 & 45 & 120 \\ 30 & 0 & 85 \\ 150 & 60 & 0 \end{pmatrix}$

Donde $a_{ij}$ indica los paquetes enviados desde el servidor $S_i$ al servidor $S_j$.

1. a) Indica la dimensión de la matriz y explica qué representan los elementos de la diagonal principal.
2. b) Identifica el elemento $a_{31}$ y explica su significado en este contexto.
3. c) ¿Cuál es el número total de paquetes emitidos por el servidor $S_2$ en esa hora?

Halla la forma general de todas las matrices cuadradas de orden 2 que son, al mismo tiempo, simétricas y antisimétricas. Justifica tu respuesta basándote en las definiciones de $A^t = A$ y $A^t = -A$.

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & x-1 \\ y+2 & 3 \end{pmatrix}$. Determina los valores de $x$ e $y$ para que la matriz sea simétrica y su traza coincida con el valor del elemento $a_{12}$. Una vez hallados, clasifica la matriz resultante dentro de los tipos de matrices estudiados.

Construye una matriz $B$ de orden 3 sabiendo que:

• Es una matriz triangular superior.

• Los elementos de la diagonal principal siguen la progresión $b_{ii} = 2i + 1$.

• Para los elementos por encima de la diagonal, se cumple que $b_{ij} = j^i$.

• Calcula la suma de todos los elementos de la matriz resultante.

Sea la matriz cuadrada $A$ de orden 3 cuyo término general viene definido por la siguiente función condicional:

$a_{ij} = \begin{cases} (-1)^{i+j} \cdot \binom{i+j}{i} & \text{si } i < j \\ i^2 - j & \text{si } i = j \\ \max(i, j) \cdot \min(i, j) & \text{si } i > j \end{cases}$

Escribe de forma explícita los elementos de la matriz $A$ y determina el valor de su traza.

Determina los valores de los parámetros reales $x$, $y$ y $z$ para que la siguiente matriz $M$ sea antisimétrica:

$M = \begin{pmatrix} \ln(x-1) & x+y & 2z-4 \\ 1 & e^y - 1 & z^2-1 \\ -2 & 0 & \cos(\pi z) + 1 \end{pmatrix}$

Justifica razonadamente si existe algún valor de los parámetros que permita que la traza de $M$ sea distinta de cero.

Un estudio de ciberseguridad analiza las conexiones entre 4 servidores críticos ($S_1, S_2, S_3, S_4$). Se sabe que:

• $S_1$ envía datos a $S_2$ y $S_4$.

• $S_2$ solo recibe datos de $S_1$ y $S_3$, pero no envía a nadie.

• $S_3$ tiene una conexión bidireccional con $S_4$ y envía datos a $S_2$.

• $S_4$ envía datos a $S_1$.

Representa esta red mediante un grafo y obtén su matriz de adyacencia $G$. Basándote en la definición de matriz simétrica, explica si la red es equilibrada (bidireccional) o no.

Dada la matriz cuadrada $A$ de orden $n$, se define la matriz $S$ como $S = A + A^t$ y la matriz $N$ como $N = A - A^t$.

Demuestra, utilizando las propiedades de la trasposición y la definición de los tipos de matrices, que $S$ es siempre una matriz simétrica y que $N$ es siempre una matriz antisimétrica, independientemente de los elementos de $A$.

Construye una matriz cuadrada $B$ de orden 3 que cumpla simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. Es una matriz triangular superior.

2. Los elementos de la diagonal principal son los tres primeros términos de una progresión geométrica de razón $r=2$ cuyo primer término es $b_{11}=3$.

3. Para los elementos fuera de la diagonal ($i < j$), se cumple que $b_{ij} = i + j^2$.

Calcula la suma de todos los elementos de la matriz resultante.

En un juego de rol, la fuerza de tres personajes ($P_1, P_2, P_3$) frente a tres tipos de enemigos ($E_1, E_2, E_3$) se organiza en una matriz $F$. Se sabe que:

• $F$ es una matriz diagonal.

• La traza de $F$ es igual a 15.

• El personaje $P_2$ es el doble de fuerte contra $E_2$ que el personaje $P_1$ contra $E_1$.

• El personaje $P_3$ tiene una fuerza contra $E_3$ que es igual a la suma de las fuerzas de los otros dos personajes contra sus enemigos respectivos.

Determina la matriz $F$ y explica el significado físico de que sea una matriz diagonal en este contexto de combate.

Sean las matrices $A = (a_{ij})$ y $B = (b_{ij})$, ambas de dimensión $2 \times 3$, tales que:

$a_{ij} = i^2 - j$

$b_{ij} = \begin{cases} m & \text{si } i+j \text{ es par} \\ n & \text{si } i+j \text{ es impar} \end{cases}$

Si se sabe que $A = B^t$ es una igualdad imposible de cumplir, justifica razonadamente basándote en la dimensión de las matrices. ¿Qué relación debería existir entre las dimensiones de $A$ y $B$ para que la igualdad $A = B^t$ pudiera plantearse?

Se considera la matriz $X$ de orden 3 definida por:

$x_{ij} = \min(i, j)$

Representa la matriz de forma explícita. A continuación, obtén la matriz $Y$ tal que $Y = X - I_3$ (donde $I_3$ es la matriz identidad). Clasifica la matriz $Y$ (tipo de matriz) y calcula la suma de los elementos de su diagonal secundaria.