Ejercicios: Sucesiones; límite de una sucesión

Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{1}{n^2}$, escribe los cuatro primeros términos y razona, de forma intuitiva, cuál es el valor de su límite cuando $n$ tiende a infinito:

$$\lim_{n \to \infty} a_n$$

Calcula el límite de la siguiente sucesión racional comparando los grados del numerador y del denominador:

$$a_n = \frac{5n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 7}$$

Determina el valor del límite de la sucesión $b_n$ cuando $n$ crece indefinidamente:

$$b_n = \frac{100n + 50}{n^2 - 1}$$

En una red social, el número de "me gusta" de una publicación en las primeras horas sigue la progresión $c_n = \frac{4n^2}{n+2}$, donde $n$ es el número de horas desde la publicación. ¿Qué ocurre con la cantidad de "me gusta" a muy largo plazo? Calcula:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n+2}$$

Calcula el límite de la siguiente sucesión que involucra una raíz cuadrada, analizando el término de mayor grado:

$$d_n = \frac{\sqrt{9n^2 + n}}{2n - 3}$$

Utilizando la comparación de órdenes de infinitud (exponencial frente a polinómica), halla el límite de la sucesión:

$$e_n = \frac{3^n}{n^{10} + 500}$$

Se estima que el valor de un ordenador portátil después de $n$ años viene dado por la sucesión $v_n = 1200 \cdot (0,8)^n$. Calcula el límite de esta sucesión e interpreta qué significa el resultado en el contexto de la devaluación del equipo.

$$\lim_{n \to \infty} 1200 \cdot (0,8)^n$$

Identifica cuál de las siguientes expresiones corresponde a la definición del número $e$ y calcula su límite:

$$x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}$$

Calcula el límite de la siguiente sucesión analizando los grados de los polinomios y justificando el resultado mediante la comparación de los términos de mayor grado:

$a_n = \frac{(3n - 1)^2 \cdot (n + 2)}{(2n + 3)^3 - 5n}$

Dadas las siguientes sucesiones, utiliza la jerarquía de infinitos para determinar, sin realizar operaciones algebraicas extensas, cuál es el valor de su límite cuando $n \to \infty$:

1. a) $b_n = \frac{n^5 + 10^6}{\ln(n^2 + 1) + 0,5^n}$

1. b) $c_n = \frac{\sqrt{n^3 + 4n}}{2n + \sqrt[3]{n^5}}$

1. c) $d_n = \frac{1,02^n}{n^{1000} + 5n}$

Resuelve el límite de la sucesión $a_n = \sqrt{4n^2 + 3n - 1} - 2n$. Para visualizar el comportamiento de la sucesión, observa el siguiente esquema donde se representa la diferencia entre la curva de la raíz y su asíntota lineal:

Un inversor analiza el crecimiento de una criptomoneda cuya evolución diaria sigue la ley de una sucesión de tipo exponencial. El valor relativo tras $n$ días viene dado por:

$V_n = \left( \frac{5n^2 + 3n}{5n^2 - 2} \right)^{n+1}$

Calcula el valor al que tiende la moneda a largo plazo utilizando la relación con el número $e$.

Halla el valor de los parámetros reales $k$ y $t$ para que se verifique la siguiente igualdad:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{kn + 5}{3n - 1} \right)^n = e^t$

Sabiendo que el límite de la base es $1$ y que el resultado final es $e^2$.

Estudia el comportamiento de la sucesión recurrente definida por:

$a_1 = 2$

$a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{4}{a_n} \right)$

Si suponemos que la sucesión es convergente y que su límite es $L$ ($L > 0$), calcula dicho valor resolviendo la ecuación $L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{4}{L} \right)$. ¿A qué constante irracional famosa corresponde este resultado?

En un laboratorio de biotecnología, el número de bacterias de una cepa (en millones) después de $n$ horas se modeliza mediante la sucesión:

$P_n = \frac{12n^2 + \text{sen}(n)}{3n^2 + 500}$

Determina la población de bacterias cuando el tiempo tiende a infinito. Razona qué ocurre con el término $\text{sen}(n)$ en el cálculo del límite.

Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta una resta de fracciones con distinto denominador:

$a_n = \frac{2n^2 + 1}{n - 1} - \frac{2n^3 + 5}{n^2 + 2}$

Indica si la sucesión es divergente o convergente tras resolver la indeterminación $\infty - \infty$.

Calcula el valor del siguiente límite de una sucesión que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$, prestando especial atención a la manipulación algebraica de la base y el exponente:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 5n - 1}{2n^2 - 3n + 2} \right)^{\frac{n^2 + 1}{2n - 3}}$$

Determina el límite de la siguiente sucesión, la cual involucra una diferencia de raíces de distinto índice (cúbica y cuadrada). Para resolverlo, deberás forzar la aparición de un factor común o utilizar la técnica de sumar y restar un término intermedio que permita separar la expresión en dos límites tratables:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{n^3 + 3n^2} - \sqrt{n^2 - 4n} \right)$$

En el estudio de algoritmos de computación, es fundamental conocer la velocidad a la que crecen ciertas funciones. Calcula el límite de la siguiente sucesión comparando los órdenes de infinitud de los diferentes términos (factoriales, exponenciales y potencias):

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n! + 10^n}{n^n - 5^n}$$

Explica razonadamente qué término domina en el numerador y cuál en el denominador para justificar tu resultado.

Utiliza el Teorema del Sándwich (o Teorema de la existencia de límite por acotación) para hallar el valor del límite de la sucesión $a_n$ definida por la siguiente suma de fracciones:

$$a_n = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + \frac{n}{n^2+3} + \dots + \frac{n}{n^2+n}$$

Halla los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre el límite de la sucesión y el valor indicado:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 5n + 1}{n - 2} - an - b \right) = 0$$

Se define una sucesión de forma recurrente mediante la fórmula:

$$a_1 = \sqrt{6}$$ $$a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$$

Suponiendo que la sucesión es convergente (puedes visualizar su comportamiento en el diagrama de abajo), calcula el valor exacto de su límite $L = \lim_{n \to \infty} a_n$.

Un dron de vigilancia está programado para realizar una serie de saltos en línea recta. En el primer segundo recorre $d$ metros. En cada segundo posterior, recorre una distancia que es la mitad de la distancia recorrida en el segundo anterior más un metro extra para compensar el viento. Si $x_n$ es la distancia total acumulada tras $n$ segundos:

1. a) Encuentra la expresión del término general de la distancia recorrida en cada segundo $a_n$.
2. b) Determina la distancia que recorrerá el dron en un segundo dado cuando $n$ tiende a infinito (es decir, el límite de la sucesión de distancias parciales).

Dada la sucesión $a_n = \frac{3n + 2}{n + 1}$, demuestra mediante la definición formal de límite ($\varepsilon$ y $N$) que su límite es $L = 3$.

Para ello, para un valor de $\varepsilon = 0,001$, determina a partir de qué término $N$ de la sucesión se cumple que $|a_n - L| < \varepsilon$.