Ejercicios: Indeterminaciones

Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y determina, de manera intuitiva, el valor de los límites indicados. Si algún límite no existe o es infinito, especifícalo claramente.

1. a) $\lim_{x \to -2} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 0} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 3} f(x)$
4. d) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas cuando la variable $x$ tiende a infinito. Recuerda identificar el término dominante en cada caso:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (-2x^3 + 5x^2 - 1)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} (x^4 - 100x^2)$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 5}{10}$

Resuelve la indeterminación de tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ en los siguientes límites de funciones racionales, comparando los grados del numerador y del denominador:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 2}{2x^2 + 1}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 5}{x^2 - 3}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{x^2 + 10x}$

Calcula el límite de la función $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ cuando $x$ tiende a $3$.

Ayuda: Observa que al sustituir directamente obtenemos una indeterminación del tipo $\left[\frac{0}{0}\right]$. Prueba a factorizar el numerador para simplificar la expresión.

Dada la función racional $f(x) = \frac{2}{x-4}$, estudia su comportamiento en las proximidades de su asíntota vertical calculando los límites laterales:

1. a) $\lim_{x \to 4^-} \frac{2}{x-4}$
2. b) $\lim_{x \to 4^+} \frac{2}{x-4}$

Indica razonadamente si existe el límite global en $x = 4$.

En el estudio de algoritmos informáticos, es crucial saber qué función crece más rápido. Basándote en la jerarquía de infinitos, asigna el valor de los siguientes límites ($0$, $+\infty$ o $-\infty$):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{\ln(x)}$

Un equipo de científicos está monitorizando el crecimiento de una población de bacterias en un laboratorio. La población (en millones) sigue el modelo dado por la función:

donde $t$ es el tiempo en horas desde el inicio del experimento.

¿Cuál será la población de bacterias si el experimento se prolongase indefinidamente? Calcula para ello $\lim_{t \to +\infty} P(t)$.

Calcula el valor del siguiente límite que da lugar a la indeterminación del tipo $[1^\infty]$ utilizando la fórmula abreviada del número $e$:

Calcula el siguiente límite resolviendo la indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ mediante el uso de la técnica del conjugado:

Determina el valor del límite al infinito analizando el grado de los términos dominantes en el numerador y el denominador. Ten especial cuidado con las potencias dentro de las raíces:

Resuelve la siguiente indeterminación de tipo $\infty - \infty$. Para ello, realiza la operación algebraica previa y simplifica la expresión resultante:

En el desarrollo de una nueva red social, el número de usuarios activos (en millones) sigue la función $U(t) = \left(\frac{2t+3}{2t-1}\right)^{t+1}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. Calcula a qué valor tiende el número de usuarios cuando el tiempo crece indefinidamente ($t \to +\infty$).

Halla el valor de los parámetros reales $a$ y $b$ para que el siguiente límite sea finito y valga $4$:

Dada la siguiente gráfica de la función $f(x)$, analiza visualmente y calcula de forma analítica los límites laterales en los puntos de discontinuidad para determinar si existe el límite global en $x = 2$:

Calcula el valor de $a$ para que el límite en $x = 2$ sea único y la función no presente un salto.

Utiliza la comparación de órdenes de infinitos para resolver los siguientes límites sin necesidad de realizar operaciones extensas. Justifica tu respuesta indicando qué función "domina" a la otra:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{100x^6 - \ln(x)}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^7 + 1}}{x^3 \cdot \ln(x)}$

Calcula el valor del siguiente límite exponencial que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$. Expresa el resultado en función del número $e$:

Calcula el valor del siguiente límite analizando la jerarquía de los infinitos involucrados. Debes justificar razonadamente qué término domina en el numerador y en el denominador antes de dar el resultado final:

Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que el siguiente límite sea un número real finito y distinto de cero. Una vez hallados, calcula el valor de dicho límite:

En el diseño de una nueva antena de telecomunicaciones, la intensidad de la señal $I$ en función de la distancia $d$ al repetidor viene dada por la expresión:

Calcula la intensidad límite de la señal cuando la distancia $d$ tiende a infinito (indeterminación del tipo $1^\infty$).

Resuelve el siguiente límite utilizando la técnica del doble conjugado para resolver la indeterminación $\frac{0}{0}$:

Sea la función definida por tramos:

Halla los valores de $a$ y $k$ para que existan los límites laterales en $x=1$ y estos sean iguales a $2$. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en $x=1$ si no definimos $f(1)$?

Calcula el valor de la siguiente expresión que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ con raíces de distinto orden:

Pista: Suma y resta un término intermedio adecuado para separar el límite en dos partes manejables.

Un equipo de ingenieros aeroespaciales estudia la presión $P$ (en pascales) en el interior de un conducto de ventilación. La presión depende de la velocidad del flujo de aire $v$ según la fórmula:

Estudia el comportamiento de la presión cuando la velocidad $v$ se aproxima a $3$ m/s. En caso de que el límite sea indeterminado, resuélvelo e indica si la presión tiende a un valor estable.

Dada la función $g(x) = \frac{|x-1|}{x^2-1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}$, analiza la existencia de los límites laterales cuando $x \to 1$. Identifica las indeterminaciones que aparecen en cada lado y clasifica el tipo de discontinuidad en dicho punto.