Ejercicios: Continuidad de una función en un punto

Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y analiza su comportamiento en el punto de abscisa $x = 2$. Indica si la función es continua en ese punto comprobando las tres condiciones de continuidad: existencia de $f(2)$, existencia del $\lim_{x \to 2} f(x)$ y la coincidencia de ambos valores.

Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ en el punto $x = 1$. En caso de que presente una discontinuidad, indica de qué tipo es (evitable, de salto finito o de salto infinito) y razona si existe alguna forma de redefinir la función para que sea continua en dicho punto.

Dada la siguiente función definida a trozos, calcula los límites laterales en el punto de ruptura $x = 3$ y determina si la función es continua en dicho punto:

$f(x) = \begin{cases} 2x - 4 & \text{si } x < 3 \\ \sqrt{x + 1} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Un dron de vigilancia sigue una trayectoria de altura definida por la función $h(t)$ (en metros) respecto al tiempo $t$ (en segundos). Debido a un cambio en el sistema de control, la función cambia en $t = 5$:

$h(t) = \begin{cases} t^2 - 10 & \text{si } 0 \le t < 5 \\ 3t & \text{si } t \ge 5 \end{cases}$

Comprueba si la transición de altura es continua en el instante $t = 5$ para evitar que el dron sufra un movimiento brusco.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la función $g(x)$ sea continua en toda la recta real $\mathbb{R}$:

$g(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x \le 2 \\ x^2 - 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Analiza visualmente la continuidad de la función representada en el siguiente gráfico. Identifica el valor de $x$ donde la función presenta una discontinuidad y clasifícala según el comportamiento de sus ramas laterales.

Dada la función $f(x) = \frac{1}{x + 4}$, justifica por qué no es continua en el punto $x = -4$. Para ello, calcula los límites laterales $\lim_{x \to -4^-} f(x)$ y $\lim_{x \to -4^+} f(x)$ y describe el tipo de discontinuidad que presenta.

Comprueba si la función $f(x) = e^{x-1}$ es continua en el punto $x = 1$. Para que la respuesta sea completa, debes verificar si el valor de la función en el punto coincide con el límite de la función cuando $x$ se aproxima a 1.

Dada la función dependiente del parámetro $k \in \mathbb{R}$:

Calcula el valor de $k$ para que la función presente una discontinuidad evitable en $x = 3$. ¿Existe algún valor de $k$ que la haga continua en dicho punto? Razona tu respuesta mediante el cálculo de límites laterales.

Estudia la continuidad de la siguiente función en todo su dominio, clasificando los puntos de discontinuidad que encuentres:

Acompaña tu análisis analítico con un esquema de los límites laterales en los puntos conflictivos.

Un sistema de refrigeración industrial regula su potencia $P$ (en kilowatios) según la temperatura exterior $T$ (en grados Celsius) mediante la siguiente función:

Determina el valor de la constante $a$ para que la transición de potencia sea continua cuando la temperatura pasa por los $0^\circ C$.

Considera la función $f(x)$ definida por:

Halla los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua en su dominio de definición. Una vez hallados, indica si la función es continua en $x = -1$.

Clasifica todas las discontinuidades de la función $g(x)$ y determina sus asíntotas verticales analizando el comportamiento de la función en las proximidades de los valores donde no está definida:

¿Cómo definirías la función en los puntos de discontinuidad evitable para que resultara continua en ellos?

Se está probando un nuevo prototipo de motor cuya aceleración $a$ (en $m/s^2$) depende del tiempo $t$ (en segundos) según la expresión:

Calcula el valor de $m$ para que la aceleración no sufra saltos bruscos (sea continua) en el instante $t = 2$ s.

Dada la función:

Estudia su continuidad en los puntos $x = 1$ y $x = -1$. En caso de existir discontinuidades, indica de qué tipo son y si existe alguna forma de redefinir la función para eliminarlas.

Determina los valores de $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en todo $\mathbb{R}$:

Explica detalladamente el proceso seguido, verificando la igualdad de los límites laterales en cada punto de cambio de rama.

En el diseño de un nuevo componente para un acelerador de partículas, la intensidad de un campo magnético en función de la posición $x$ (en milímetros) viene definida por la siguiente función:

$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{ax} - 1}{x} & \text{si } x < 0 \\ b & \text{si } x = 0 \\ \frac{x^2 - 4}{x - 2} \cdot \cos(\pi x) & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la intensidad del campo magnético sea continua en el punto $x = 0$. Una vez hallados, ¿sería la función continua en el punto $x = 2$? Razona tu respuesta analíticamente.

Estudia la continuidad de la siguiente función en todo su dominio, clasificando detalladamente cada uno de sus puntos de discontinuidad:

$f(x) = \frac{|x^2 - 1|}{x^2 - 3x + 2}$

Posteriormente, propón una redefinición para la función en aquellos puntos donde la discontinuidad sea evitable para transformarla en una función continua en dichos puntos.

Una empresa de telecomunicaciones está ajustando la potencia de una antena 5G. La pérdida de señal $L$ (en decibelios) depende de la distancia $d$ (en km) según la expresión:

$L(d) = \begin{cases} \frac{k \cdot \ln(d+1)}{d} & \text{si } 0 < d < 1 \\ \sqrt{d^2 + 3} - a & \text{si } d \geq 1 \end{cases}$

Se requiere que la transición de potencia sea suave y continua para no interrumpir las llamadas en el límite de 1 km. Calcula los valores de $k$ y $a$ sabiendo que cuando la distancia tiende a 0 km, la pérdida de señal tiende a ser de 2 dB.

Dada la función $f(x) = \left( \frac{2x^2 + 3}{2x^2 - 1} \right)^{ax^2}$, se pide:

1. a) Hallar el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para que $\lim_{x \to \infty} f(x) = e^2$.
2. b) Con el valor de $a$ obtenido en el apartado anterior, define una nueva función $g(x)$ tal que:

$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x > 1 \\ \frac{x^2 + bx + c}{x - 1} & \text{si } x < 1 \end{cases}$

Determina $b$ y $c$ para que $g(x)$ sea continua en $x = 1$.

Aplica el Teorema de Bolzano para demostrar que las gráficas de las funciones $f(x) = \ln(x)$ y $g(x) = e^{-x}$ se cortan en al menos un punto dentro del intervalo $(1, e)$. Justifica razonadamente si dicho punto de corte es único en ese intervalo basándote en el crecimiento de las funciones.

Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$ en el punto $x = 0$. Para ello, calcula los límites laterales $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en dicho punto?

Un equipo de ingenieros robóticos ha programado el movimiento de un brazo mecánico. La velocidad del extremo del brazo (en m/s) sigue la trayectoria:

$v(t) = \begin{cases} \frac{\sqrt{t+5}-3}{t-4} & \text{si } 0 \leq t < 4 \\ \frac{a}{12} & \text{si } t = 4 \\ \frac{t^2 - 16}{t^2 - 3t - 4} \cdot b & \text{si } t > 4 \end{cases}$

Determina los valores de $a$ y $b$ para que el movimiento del robot sea continuo (sin tirones bruscos) en el instante $t = 4$ segundos.

Dada la función dependiente del parámetro $k$:

$f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 3x}{x^2 - x}$

1. a) Halla el valor de $k$ para que la función tenga una discontinuidad evitable en $x = 1$.
2. b) Para ese valor de $k$, estudia la continuidad en $x = 0$ y determina si existe alguna asíntota vertical.
3. c) ¿Existe algún valor de $k$ que haga que la función sea continua en todo $\mathbb{R}$? Justifica tu respuesta.