Ejercicios: Cálculo de límites

Dada la gráfica de la función $f(x)$ que se muestra a continuación, identifica de forma visual el valor de los siguientes límites:

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

Calcula el límite en el infinito de la siguiente función polinómica, que representa la evolución de los beneficios de una startup tecnológica (en miles de euros) a lo largo del tiempo $x$:

$$\lim_{x \to +\infty} ( -2x^3 + 50x^2 - 100 )$$

Indica cuál es el término dominante y justifica por qué el signo del coeficiente principal determina el comportamiento final de la función.

Un servidor de videojuegos gestiona el número de jugadores conectados mediante la función $P(x) = \frac{6x^2 + 20}{2x^2 + 5}$, donde $x$ es el tiempo en horas desde el lanzamiento de un evento. Calcula el límite de jugadores cuando el tiempo tiende a infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{6x^2 + 20}{2x^2 + 5}$$

En un laboratorio de química, la concentración de un reactivo en una mezcla (en mg/l) sigue la función $C(t) = \frac{5t + 8}{t^2 + 2}$, siendo $t$ el tiempo en minutos. Determina a qué valor tiende la concentración a largo plazo calculando:

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{5t + 8}{t^2 + 2}$$

Calcula los límites laterales de la función $f(x) = \frac{3}{x - 5}$ en el punto donde se anula el denominador. Para ello, completa el estudio de la tendencia por la izquierda y por la derecha:

1. a) $\lim_{x \to 5^-} \frac{3}{x - 5}$

1. b) $\lim_{x \to 5^+} \frac{3}{x - 5}$

Ayúdate de la representación de la asíntota vertical:

Resuelve la indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ simplificando la fracción mediante la factorización de los polinomios (puedes usar identidades notables o la regla de Ruffini):

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x}$$

Basándote en la comparación de órdenes de infinitud, determina el valor de los siguientes límites sin realizar operaciones complejas:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2^x}{3^x}$

La altitud de un dron de reconocimiento (en metros) respecto a la distancia horizontal $x$ recorrida viene dada por la función $h(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$. Aunque el dron no puede estar físicamente en la posición $x = 3$ por una restricción del software, calcula el límite de la altitud cuando se aproxima a dicho punto:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

Un sensor de precisión en un laboratorio de nanotecnología mide la fuerza de atracción entre dos partículas. La intensidad de la señal $S$ en función de la distancia $x$ (en nanómetros) viene expresada por la siguiente función:

$$S(x) = \frac{\sqrt{x+5} - 3}{x-4}$$

Calcula el valor al que tiende la señal cuando la distancia $x$ se aproxima a $4$ nanómetros. Explica qué técnica matemática has utilizado para resolver la indeterminación.

En el estudio de la propagación de una noticia en redes sociales, se estima que el número de usuarios alcanzados $U$ (en miles) tras $t$ horas sigue la expresión:

$$U(t) = \frac{5t^2 - 3t + 2}{2t^2 + \sqrt{t^4 + 1}}$$

Calcula el límite de usuarios alcanzados cuando el tiempo crece indefinidamente ($t \to +\infty$). ¿Presenta la función alguna asíntota horizontal? Justifica tu respuesta comparando los grados de los términos dominantes.

Calcula el siguiente límite resolviendo la indeterminación de tipo $\infty - \infty$ mediante el uso de la expresión conjugada:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right)$$

Representa gráficamente de forma esquemática qué significa este resultado respecto a la distancia entre la función radical y la recta $y = x$.

Dada la función racional que depende de un parámetro $k \in \mathbb{R}$:

$$f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 4}{x-2}$$

Halla el valor de $k$ para que el límite $\lim_{x \to 2} f(x)$ sea finito. Una vez encontrado dicho valor, calcula el valor del límite.

El crecimiento de una población de aves en una reserva natural protegida se rige por la siguiente ley de capitalización compuesta continua idealizada:

$$P(t) = \left( \frac{3t + 5}{3t - 2} \right)^{2t}$$

Calcula el límite de la población cuando el tiempo $t$ tiende a infinito. Expresa el resultado en función del número $e$.

Calcula el valor de los siguientes límites comparando los órdenes de infinitud de las funciones involucradas (exponenciales, potencias y logaritmos):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^10 + 5)}{x}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3^x}{x^2 + 100x}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{2e^x - \sqrt{x}}$

Se considera la función $f(x)$ definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } x < 3 \\ \sqrt{2x + a} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$$

Calcula el valor del parámetro $a$ para que exista el límite de la función en el punto $x = 3$. ¿Cuál es el valor de dicho límite?

Calcula el límite en el punto $x = 0$ de la siguiente expresión trigonométrica, utilizando infinitésimos equivalentes o identidades trigonométricas conocidas:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \text{tg}(3x)}{\cos(x) - 1}$$

Pista: Recuerda que para valores muy pequeños de $x$, $\text{tg}(ax) \approx ax$ y $1 - \cos(x) \approx \frac{x^2}{2}$.

Un servidor de videojuegos multijugador ha detectado que el número de usuarios activos, $N(t)$, en miles, sigue un modelo de crecimiento de tipo exponencial en función del tiempo $t$ (en meses) definido por la expresión:

$$N(t) = \left( \frac{3t^2 + 5t + 1}{3t^2 + 2t} \right)^{2t}$$

Calcula el límite de usuarios activos cuando el tiempo tiende a infinito ($t \to +\infty$). ¿Se estabiliza la población de jugadores en un valor finito o crece indefinidamente?

En el diseño de una nueva rampa para un skatepark, los ingenieros necesitan asegurar que la transición entre dos tramos de la pista sea suave (continua). La altura de la rampa $h(x)$ en metros viene dada por la siguiente función:

$$h(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln(1 + kx)}{x} & \text{si } x > 0 \\ \cos(x) + a & \text{si } x \le 0 \end{cases}$$

Determina los valores de los parámetros $k$ y $a$ para que exista el $\displaystyle \lim_{x \to 0} h(x)$ y este sea igual a la altura inicial de la rampa, que es $2$ metros.

Calcula el valor del siguiente límite aplicando la comparación de infinitos o la Regla de L'Hôpital, analizando detalladamente el orden de magnitud de cada término:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^{10}}{2e^x - \ln(x^5 + 1)}$$

¿Qué término domina el crecimiento de la función en el numerador y cuál en el denominador?

Un satélite describe una trayectoria cuya distancia radial al centro de un planeta, en miles de kilómetros, viene dada por $d(x) = \sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - 1}$, donde $x$ representa el tiempo de misión. Sabiendo que al cabo de mucho tiempo ($x \to +\infty$) la distancia se estabiliza en $4$ mil kilómetros, determina el valor de la constante orbital $a$.

Determina razonadamente el valor de los parámetros $a$ y $b$ (siendo $a, b \in \mathbb{R}$) para que se verifique la siguiente igualdad de límites:

$$\lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx + 1 - e^x}{x^2} = 3$$

Pista: Observa que para que el límite sea finito, el numerador debe anularse en el punto de la misma forma que el denominador.

Estudia el comportamiento de la función $f(x) = \left( \cos x \right)^{1/x^2}$ cuando $x$ se aproxima a cero. Para ello, calcula:

$$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$$

Explica por qué este límite da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$ y resuelve utilizando logaritmos neperianos o la fórmula específica para este tipo de límites.

Sea la función $g(x) = \dfrac{x^3 - 2x^2 + k}{x^2 - 4}$. Calcula el valor de $k$ para que el límite de la función cuando $x \to 2$ sea finito. Una vez hallado $k$, calcula dicho límite y clasifica el tipo de discontinuidad que presenta la función en $x = 2$ y en $x = -2$.

Calcula el valor del límite de la siguiente sucesión, que aparece con frecuencia en problemas de interés compuesto continuo y probabilidad:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + n} - n \right)^n$$

Nota: Este ejercicio requiere un tratamiento cuidadoso de la indeterminación interna antes de evaluar la potencia general.