Ejercicios: Asíntotas de una función

Observa la siguiente gráfica que representa el consumo de memoria RAM (en GB) de un servidor de procesos en función del tiempo $t$ (en segundos). Determina, de forma intuitiva, el valor de los límites laterales en el instante $t = 4$ y razona si existe el límite global en ese punto.

Un dron de inspección técnica sigue una trayectoria de aproximación a una antena cuya altura viene dada por la función $H(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, donde $x$ es la distancia horizontal al centro de control. Calcula el límite de la altura cuando el dron se encuentra muy cerca de $x = 3$ metros.

(Nota: Aunque la función no esté definida en $x=3$, estudia el límite simplificando la expresión).

Calcula los siguientes límites directos por sustitución, que representan la velocidad de una partícula en metros por segundo en diferentes instantes $t$:

1. a) $\lim_{t \to 2} (t^2 + 3t - 1)$

1. b) $\lim_{t \to 0} \frac{e^t + 1}{t + 2}$

Dada la función racional $f(x) = \frac{5}{x - 2}$, que describe la intensidad de un campo magnético en relación a la distancia $x$ a un cable conductor:

1. a) Determina el dominio de la función.
2. b) Calcula los límites laterales $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x)$.
3. c) Indica la ecuación de su asíntota vertical.

En un estudio biológico, el número de individuos de una población de bacterias (en miles) sigue el modelo $P(t) = \frac{4t + 10}{t + 2}$, donde $t$ es el tiempo en horas.

1. a) Calcula $\lim_{t \to +\infty} P(t)$ para conocer la población a largo plazo.
2. b) ¿Qué tipo de asíntota representa este resultado? Escribe su ecuación.

Halla todas las asíntotas (verticales y horizontales) de la función $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 1}$. Para ello:

1. Identifica el valor de $x$ que anula el denominador.

2. Calcula el límite de la función cuando $x \to \infty$.

Determina el comportamiento en el infinito de las siguientes funciones polinómicas, indicando si tienden a $+\infty$ o $-\infty$:

1. a) $f(x) = -2x^3 + 5x - 1$ cuando $x \to +\infty$

1. b) $g(x) = x^4 - 100x^2$ cuando $x \to -\infty$

Dada la función $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 4}$, que modela la eficiencia de un panel fotovoltaico en función de la radiación recibida $x$, justifica mediante el cálculo de límites si la función tiene alguna asíntota horizontal y represéntala gráficamente de forma esquemática.

Dada la función racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + 5x - 3}{2x^2 - 8}$, determina el valor del parámetro real $a$ sabiendo que la función tiene una asíntota horizontal en la recta $y = 3$. Una vez hallado el valor de $a$, calcula los límites laterales de la función en sus asíntotas verticales y explica el comportamiento de la gráfica en esos puntos.

Un equipo de ingenieros está monitorizando la temperatura $T$ (en grados Celsius) de un nuevo procesador gráfico en función del tiempo $t$ (en minutos) desde su encendido. La función viene dada por:

Calcula la temperatura inicial del procesador y determina mediante el cálculo de límites si la temperatura se estabiliza a largo plazo. ¿Qué tipo de asíntota representa este valor de estabilización?

Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ y determina, a partir de la información visual, el valor de los siguientes límites y las ecuaciones de todas sus asíntotas:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$
2. b) $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x)$
3. c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$

Halla la ecuación de la asíntota oblicua de la función $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$. Para completar el estudio, indica la posición relativa de la curva respecto a dicha asíntota cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

Calcula el valor del siguiente límite que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$ utilizando la relación con el número $e$:

Se considera la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$.

1. a) Calcula $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. b) Comprueba si existe una asíntota horizontal cuando $x$ tiende a $+\infty$.
3. c) Investiga qué ocurre con el límite de la función cuando $x \to -\infty$. ¿Existe alguna asíntota en esa rama?

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2 - k}{x^2 - 4x + 4}$:

1. a) Encuentra el valor de $k$ para que la función tenga una discontinuidad evitable en $x = 2$.
2. b) Si $k = 9$, estudia la existencia de asíntotas verticales y describe el comportamiento de la función en sus cercanías mediante límites laterales.

Calcula los siguientes límites resolviendo las indeterminaciones correspondientes:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$

Se está diseñando un nuevo algoritmo de compresión de datos para una plataforma de streaming. El tiempo de respuesta del sistema, en milisegundos, viene modelado por la función $T(x)$, donde $x$ representa la carga de trabajo en terabytes:

Sabiendo que, para que el sistema sea estable bajo cargas extremas, el límite del tiempo de respuesta cuando la carga tiende a infinito debe ser exactamente $e^4$, determina razonadamente el valor del parámetro $a$.

Considera la función $f(x)$ definida mediante el uso de valores absolutos para modelar la trayectoria de un dron de vigilancia:

Estudia la existencia de asíntotas oblicuas en esta función. En caso de que existan, calcula sus ecuaciones y analiza la posición de la curva respecto a dichas asíntotas tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.

Un satélite de comunicaciones sigue una órbita cuya perturbación gravitatoria se describe por la función $g(x)$. Se requiere que el satélite no se aleje indefinidamente de una trayectoria lineal prevista. La función es:

Halla los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función tenga una asíntota horizontal en $y = 2$ cuando $x \to +\infty$.

Dada la función dependiente de los parámetros $k$ y $m$:

Calcula los valores de $k$ y $m$ para que $f(x)$ tenga una asíntota oblicua que pase por el punto $(0, 2)$ y cuya pendiente sea $3$. Una vez hallados, comprueba si la función posee alguna asíntota vertical y justifica si es evitable o no.

En el estudio de la propagación de un virus informático en una red social, se ha determinado que el número de nodos infectados $N(t)$ tras un tiempo $t$ (en horas) sigue la función:

Analiza el comportamiento de la infección a largo plazo calculando $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. ¿Presenta la función alguna asíntota horizontal? Justifica tu respuesta aplicando las jerarquías de infinitos correspondientes.

Estudia el dominio y todas las asíntotas de la siguiente función logarítmica:

Determina los límites laterales en cada uno de los puntos donde la función no está definida y esboza gráficamente el comportamiento de la función cerca de sus asíntotas verticales.

Calcula el valor del siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital tras realizar las transformaciones necesarias para resolver la indeterminación:

A partir del resultado obtenido, indica si la función $f(x) = \frac{sen(x) - x}{x^2 \cdot sen(x)}$ posee una asíntota vertical en el origen.

Sea la función $f(x)$ definida a trozos:

1. Halla el valor de $k$ para que la función posea una discontinuidad evitable en $x = 2$.

2. Para el valor de $k$ obtenido en el apartado anterior, determina el valor de $a$ para que la función tenga una asíntota horizontal $y = 3$ cuando $x \to +\infty$.