Ejercicios: Propiedades de los determinantes

Sabiendo que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 3 es $|A| = -4$, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular el valor de los siguientes determinantes:

1. a) $|A^t|$, donde $A^t$ es la matriz traspuesta de $A$.

1. b) El determinante de la matriz resultante de intercambiar entre sí las dos primeras filas de $A$.

1. c) El determinante de la matriz que se obtiene al multiplicar la tercera columna de $A$ por $-5$.

Sin necesidad de realizar ninguna operación ni aplicar la regla de Sarrus, justifica razonadamente por qué los siguientes determinantes son nulos:

1. a) $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ 1 & -1 & 5 \end{vmatrix}$

1. b) $\begin{vmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ -4 & 7 & 0 \end{vmatrix}$

1. c) $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{vmatrix}$

Sea $M$ una matriz de orden $3 \times 3$ tal que su determinante es $|M| = 2$. Calcula el valor del determinante de la matriz $3M$. Explica qué propiedad has utilizado y ten cuidado con el orden de la matriz.

Dadas dos matrices cuadradas $A$ y $B$ del mismo orden, sabemos que $|A| = 3$ y $|B| = -2$. Calcula, indicando las propiedades aplicadas:

1. a) $|A \cdot B|$

1. b) $|B^2|$

1. c) $|A \cdot B^t|$

En un videojuego de estrategia, las coordenadas de los recursos se almacenan en una matriz $3 \times 3$ llamada $C$. Si sabemos que $|C| = 10$, ¿cuál sería el valor del determinante si duplicamos todas las filas de la matriz (es decir, calculamos $|2C|$)? Compara este resultado con el obtenido si solo duplicáramos la primera fila.

Demuestra, utilizando las propiedades de los determinantes, que si a una fila de una matriz cuadrada se le suma una combinación lineal de las otras filas, el valor del determinante no varía. Para ello, comprueba qué sucede con el determinante:

$|A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$

si realizamos la operación fila $F_2 = F_2 + k \cdot F_1$.

Si $A$ es una matriz de orden 3 tal que $|A| = \frac{1}{2}$, calcula el determinante de su matriz inversa $A^{-1}$ justificando la respuesta mediante la propiedad del determinante del producto de matrices.

Sabiendo que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 6$, calcula el valor del siguiente determinante sin desarrollarlo:

Indica paso a paso qué propiedades has utilizado (intercambio de filas y producto por un escalar).

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es $|A| = -2$. Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, calcula el valor de los siguientes determinantes:

1. a) $|A^t \cdot A|$

1. b) $|3 \cdot A^{-1}|$

1. c) $|\text{det}(A) \cdot A|$

En el diseño de un nuevo videojuego, la posición de un objeto en el espacio 3D se define mediante un determinante de una matriz $M$ que representa su volumen. Se sabe que:

$|M| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = 12$

Calcula, justificando la propiedad aplicada, el valor del determinante de la matriz $N$ que representa una deformación del objeto:

$|N| = \begin{vmatrix} d & e & f \\ 2a-g & 2b-h & 2c-i \\ g & h & i \end{vmatrix}$

Sin desarrollar el determinante ni utilizar la regla de Sarrus, demuestra que el siguiente determinante es nulo para cualquier valor de los parámetros $a, b, c \in \mathbb{R}$:

$\begin{vmatrix} 1 & a & b+c \\ 1 & b & a+c \\ 1 & c & a+b \end{vmatrix} = 0$

Indica en cada paso qué operación elemental o propiedad estás utilizando.

Resuelve la siguiente ecuación para $x \in \mathbb{R}$ aplicando las propiedades de los determinantes para simplificar la expresión antes de calcular su valor:

$\begin{vmatrix} x+1 & x & x \\ x & x+1 & x \\ x & x & x+1 \end{vmatrix} = 0$

Dada la matriz $B$ de orden 3, se sabe que el determinante de su matriz adjunta es $|\text{Adj}(B)| = 64$. Calcula razonadamente los posibles valores del determinante de la matriz $B$. Posteriormente, calcula el determinante de la matriz $2B^t$.

Un sistema de encriptación utiliza una matriz $A$ de orden 3 para codificar mensajes. Si el determinante de la matriz es $|A| = k$, justifica cómo varía el determinante si se realizan las siguientes modificaciones de seguridad:

1. Se intercambian la primera y la tercera fila para aumentar la entropía.

2. Se multiplica la segunda columna por $-1$ para cambiar la polaridad de los bits.

3. Se suma a la primera fila el triple de la segunda.

¿Cuál sería el valor final del determinante en función de $k$?

Dada la matriz $A = (a_{ij})$ de orden 3, cuyos elementos vienen dados por la expresión $a_{ij} = i + j$. Demuestra, utilizando propiedades de líneas, que su determinante es $|A| = 0$.

Si $A$ y $B$ son dos matrices cuadradas de orden 2 tales que $|A| = 3$ y $|B| = -1$, calcula el valor del determinante de la matriz $X$ obtenida a partir de la siguiente ecuación matricial:

$X = (A \cdot B)^t \cdot (2A)^{-1}$

Aplica las propiedades de la trasposición, la inversión y el producto para simplificar la expresión antes de sustituir los valores numéricos.

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n=4$ cuyo determinante es $|A| = \frac{1}{2}$. Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, calcula de forma razonada el valor del determinante de la matriz $B$, definida como:

$B = (2A)^{-1} \cdot A^t \cdot Adj(A)$

Donde $A^t$ es la traspuesta de $A$ y $Adj(A)$ es su matriz adjunta.

Demuestra, sin desarrollar el determinante por la regla de Sarrus ni por los elementos de una línea, que el siguiente determinante es nulo para cualquier valor de los parámetros $x, y, z$:

Ayuda: Intenta realizar operaciones elementales entre columnas y filas para obtener factores comunes o líneas proporcionales.

En el diseño de filtros para señales de audio, se utiliza una matriz de transferencia $M$ que depende de una frecuencia angular $\omega$. La matriz viene dada por:

$M(\omega) = \begin{pmatrix} 1 & \cos(\omega) & \cos(2\omega) \\ \cos(\omega) & \cos(2\omega) & \cos(3\omega) \\ \cos(2\omega) & \cos(3\omega) & \cos(4\omega) \end{pmatrix}$

Calcula el determinante de $M(\omega)$ simplificando el resultado al máximo mediante identidades trigonométricas y propiedades de los determinantes.

Dadas dos matrices $A$ y $B$ de orden 3 tales que $|A| = 3$ y $|B| = -2$, calcula el valor del determinante de la matriz $X$ que satisface la siguiente ecuación matricial:

$A \cdot X \cdot B^{-1} = (A^t \cdot Adj(A))^{-1}$

Justifica cada propiedad utilizada en el proceso (determinante del producto, de la inversa, de la traspuesta y relación entre una matriz y su adjunta).

Sea la matriz $A$ de orden $n \times n$:

$A = \begin{pmatrix} 1+x & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1+x & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & 1+x & \dots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1+x \end{pmatrix}$

Obtén la expresión general de su determinante $|A|$ en función de $n$ y $x$. Aplica el resultado para hallar el determinante de una matriz de orden 10 donde $x=2$.

Un algoritmo de visión artificial para reconocer gestos utiliza una matriz de transformación $T$ de orden 3. Se sabe que dicha matriz es antisimétrica ($T^t = -T$).

1. a) Demuestra razonadamente, usando las propiedades de los determinantes, que el determinante de cualquier matriz antisimétrica de orden impar es siempre 0.

1. b) Si se modifica la matriz para que sea $M = I + T$ (donde $I$ es la matriz identidad), ¿qué podrías afirmar sobre la invertibilidad de $M$ si sabemos que todos los autovalores de $T$ son imaginarios puros?

(Nota para el alumno: Céntrate en la parte a) como núcleo del problema de determinantes).

Resuelve la siguiente ecuación para $x \in \mathbb{R}$ sin realizar el desarrollo completo del polinomio, utilizando las propiedades de las líneas para simplificar:

Sugerencia: Observa la suma de los elementos de cada fila o columna.

Sea $A$ una matriz de orden 3 tal que sus elementos son $a_{ij} = i + j$. Sea $B$ otra matriz de orden 3 tal que sus elementos son $b_{ij} = (-1)^{i+j}$.

1. a) Calcula $|A|$ y $|B|$ aplicando propiedades de combinación lineal de filas o columnas.

1. b) Calcula el determinante de la matriz $C = 2A^2 \cdot B^t$.

1. c) ¿Es posible encontrar una matriz $D$ tal que $A \cdot D = I$? Razona la respuesta basándote en el valor del determinante de $A$.