Ejercicios: Propiedades de la integral definida

Dadas dos funciones continuas $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[1, 5]$, conocemos los siguientes valores de sus integrales definidas:

$$\int_1^5 f(x) \, dx = 6 \quad \text{y} \quad \int_1^5 g(x) \, dx = -3$$

Utiliza las propiedades de linealidad de la integral para calcular el valor de:

$$\int_1^5 [2f(x) + 4g(x)] \, dx$$

Una empresa de logística monitoriza la velocidad de uno de sus vehículos. La gráfica de la función $f(x)$ representa el ritmo de consumo de combustible. Sabiendo que:

$$\int_0^4 f(x) \, dx = 12 \quad \text{y} \quad \int_4^7 f(x) \, dx = 5$$

Calcula, aplicando la propiedad de aditividad del intervalo, el valor de la integral $\int_0^7 f(x) \, dx$ e interpreta su significado si el eje de abscisas representa el tiempo en horas.

Sin realizar el cálculo de la primitiva, razona basándote en las propiedades de simetría de las funciones por qué el valor de la siguiente integral definida es exactamente cero:

$$\int_{-10}^{10} (x^7 - \sin(x) + x^3) \, dx$$

Si se conoce que la integral de una función $f(x)$ en un intervalo invertido es $\int_8^3 f(x) \, dx = 14$, determina el valor de la integral en el sentido convencional:

$$\int_3^8 f(x) \, dx$$

Justifica qué propiedad de la integral definida has utilizado.

Determina, sin necesidad de calcular la primitiva ni evaluar la función, el valor de la siguiente integral:

$$\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{e^x \cdot \ln(x^2+1)}{\cos^2(x)+5} \, dx$$

Indica el nombre de la propiedad en la que te basas para dar tu respuesta.

Se sabe que una función $f(x)$ es par y que el área encerrada bajo su curva entre el eje de ordenadas ($x=0$) y la recta $x=3$ es de $4,5$ unidades cuadradas. Es decir:

$$\int_0^3 f(x) \, dx = 4,5$$

Calcula el valor de $\int_{-3}^3 f(x) \, dx$ justificando el resultado mediante la simetría de la función.

Dada una función continua $h(x)$, se conocen los siguientes datos:

$$\int_1^3 h(x) \, dx = 4 \quad \text{y} \quad \int_1^6 h(x) \, dx = 10$$

Calcula el valor de la integral $\int_3^6 h(x) \, dx$ utilizando la propiedad de la suma de intervalos.

Un dron se desplaza horizontalmente con una velocidad constante de $v(t) = 12$ metros por segundo. Calcula el espacio recorrido por el dron entre los segundos $t=5$ y $t=15$ planteando la integral definida de la función constante:

$$\int_{5}^{15} 12 \, dt$$

Comprueba el resultado usando la fórmula geométrica del área de un rectángulo.

Se sabe que una señal eléctrica captada por un sensor sigue un comportamiento descrito por dos funciones, $f(x)$ y $g(x)$. Tras realizar varias mediciones en el laboratorio, se han obtenido los siguientes valores para sus integrales definidas en el intervalo $[1, 4]$:

$\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ y $\int_{1}^{4} g(x) \, dx = -3$

Utilizando las propiedades de linealidad de la integral definida, calcula el valor de la integral resultante de la combinación de ambas señales en dicho intervalo:

$$\int_{1}^{4} [2f(x) - 5g(x) + 3] \, dx$$

Un dron de vigilancia recorre una trayectoria rectilínea cuya velocidad en función del tiempo viene dada por una función continua $v(t)$. Los analistas de datos han determinado que el desplazamiento acumulado en diferentes tramos es:

1. Desde el inicio hasta el segundo 3: $\int_{0}^{3} v(t) \, dt = 45$ metros.

2. Desde el segundo 3 hasta el segundo 8: $\int_{3}^{8} v(t) \, dt = 120$ metros.

3. Desde el segundo 5 hasta el segundo 8: $\int_{5}^{8} v(t) \, dt = 70$ metros.

Calcula, justificando el uso de la propiedad de aditividad del intervalo, el desplazamiento del dron entre los segundos 0 y 5, es decir: $\int_{0}^{5} v(t) \, dt$.

Considera una función $f(x)$ que es par y una función $g(x)$ que es impar en todo el conjunto de los números reales. Se conocen los siguientes datos:

$\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5$ y $\int_{-3}^{0} g(x) \, dx = 4$

Halla, aplicando las propiedades de simetría de la integral definida, el valor de:

$$\int_{-3}^{3} [3f(x) - g(x)] \, dx$$

Sea $f(x)$ una función continua en el intervalo $[2, 6]$ de la cual se sabe que su valor mínimo es $m = 1$ y su valor máximo es $M = 5$.

1. a) Indica razonadamente entre qué valores se encuentra comprendida la integral $\int_{2}^{6} f(x) \, dx$.

1. b) Si sabemos además que $\int_{2}^{6} f(x) \, dx = 12$, halla el valor medio de la función en dicho intervalo y explica su significado geométrico.

Dada la función continua $f(x)$ definida en el intervalo $[-2, 5]$, se sabe que el área encerrada por la curva y el eje $OX$ es la siguiente:

• En el intervalo $[-2, 1]$, la función es negativa y el área del recinto es $4$ $u^2$.

• En el intervalo $[1, 5]$, la función es positiva y el área del recinto es $10$ $u^2$.

Calcula razonadamente los valores de las siguientes integrales definidas:

1. $\int_{-2}^{5} f(x) \, dx$

2. $\int_{5}^{1} f(x) \, dx$

3. $\int_{-2}^{5} |f(x)| \, dx$

Sabiendo que la integral de una función $f(x)$ en el intervalo $[a, b]$ es igual a $I$, demuestra utilizando las propiedades de la integral definida que:

$$\int_{a}^{b} [f(x) - \frac{I}{b-a}] \, dx = 0$$

Explica la interpretación de este resultado en relación con el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.

Calcula el valor de la integral definida de la función $f(x) = |x^2 - 4|$ en el intervalo $[0, 3]$. Para ello, deberás descomponer la integral en varios tramos utilizando la propiedad de aditividad según el signo del integrando.

Sin necesidad de calcular las primitivas, justifica razonadamente cuál de las siguientes integrales es mayor utilizando la propiedad de comparación de integrales ($f(x) \leq g(x) \implies \int f \leq \int g$):

$$I_1 = \int_{0}^{1} x^2 \, dx \quad \text{o} \quad I_2 = \int_{0}^{1} x^3 \, dx$$

¿Cambiaría tu respuesta si el intervalo de integración fuera $[1, 2]$? Justifica la respuesta analizando el comportamiento de las funciones en ambos intervalos.

En el procesamiento de señales de audio digital, se estudian funciones que representan ondas de sonido complejas. Considera la función $f(x) = x^3 \cdot \cos(x^2) \cdot e^{\sin^2(x)}$. Sin realizar el cálculo de ninguna primitiva, justifica razonadamente basándote en las propiedades de la integral definida el valor de:

$$\int_{-5}^{5} f(x) \, dx$$

Posteriormente, si se sabe que $\int_{0}^{5} f(x) \, dx = K$, determina en función de $K$ el valor de $\int_{-5}^{0} f(x) \, dx$.

Sea la función $F(x)$ definida para $x > 0$ mediante la siguiente integral con límites variables:

$$F(x) = \int_{x}^{x^2} \frac{1}{\ln(t+1)} \, dt$$

Utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena, calcula el valor de la derivada $F'(1)$. Explica qué propiedad de la integral definida te permite descomponer el intervalo de integración para aplicar el teorema si los límites no son constantes.

En un experimento de óptica sobre la difracción de la luz, se obtiene una integral de la forma $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \cdot \sin(x)}{1 + \cos^2(x)} \, dx$.

Para resolverla, utiliza la propiedad de reflexión $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ para demostrar que:

$$2I = \pi \cdot \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x)}{1 + \cos^2(x)} \, dx$$

A partir de esta igualdad, halla el valor exacto de la integral $I$.

Dadas dos funciones continuas $f$ y $g$ en el intervalo $[0, 1]$ tales que $f(x) = \frac{1}{1+x^4}$ y $g(x) = 1 - x^4$, utiliza la propiedad de acotación de la integral definida para demostrar la siguiente desigualdad sin calcular las integrales:

$$\int_{0}^{1} (1 - x^4) \, dx < \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^4} \, dx < 1$$

Ayuda: Analiza el comportamiento de las funciones en el interior del intervalo $(0, 1)$ y utiliza que para $0 < u < 1$ se cumple $1-u < \frac{1}{1+u} < 1$.

Sea la función $f(x) = |x - a| + |x - 2|$ definida en el intervalo $[0, 4]$. Si se sabe que el valor de la integral definida de esta función en dicho intervalo es mínima para un valor específico de $a \in [0, 4]$, utiliza las propiedades de la integral para expresar $\int_{0}^{4} f(x) \, dx$ como una función de $a$, $I(a)$, y halla el valor de $a$ que minimiza dicha integral.

Un dron de vigilancia se desplaza en línea recta siguiendo una velocidad dada por la función $v(t) = t \cdot \sqrt{16 - t^2}$ en metros por segundo, donde $t$ es el tiempo en segundos desde el inicio de la misión hasta $t = 4$.

Halla el tiempo $c \in (0, 4)$ en el que la velocidad instantánea del dron coincide con su velocidad media en todo el intervalo $[0, 4]$. Para ello, aplica el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral y resuelve la integral definida correspondiente.

Dada la función integral $G(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 3t + 2) \cdot e^{-t^2} \, dt$, analiza utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $G(x)$. Determina las abscisas de los máximos y mínimos relativos de $G(x)$ en el intervalo $[0, 3]$ y justifica si el valor de la integral en el intervalo $[1, 2]$ es positivo o negativo basándote en el signo de la función integrando.

Una pieza mecánica tiene un perfil superior definido por la función $f(x)$ que es periódica de periodo $T=2$. Se conoce que en el intervalo $[0, 2]$, la función es $f(x) = x(2-x)$.

Calcula el valor del área total bajo la curva en el intervalo $[0, 20]$ utilizando las propiedades de la integral definida para funciones periódicas y la aditividad respecto al intervalo.