Ejercicios: Área bajo una curva

Considera la función lineal $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Se pide calcular el área de la región sombreada en el gráfico, limitada por la función, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 4$. Para ello:

1. Calcula el valor del área utilizando fórmulas geométricas elementales (área de un trapecio).

2. Calcula la integral definida $\int_{0}^{4} (\frac{1}{2}x + 1) \, dx$ aplicando la regla de Barrow y comprueba que ambos resultados coinciden.

Calcula el valor de la integral definida de la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ en el intervalo $[1, 2]$. Es decir, obtén el resultado de:

Un túnel de lavado para coches tiene una estructura metálica cuya parte superior sigue la forma de la parábola $f(x) = -x^2 + 4$. Calcula el área de la superficie plana (frontal) limitada por la estructura de la parábola y el suelo (eje $OX$), sabiendo que los puntos de apoyo en el suelo son $x = -2$ y $x = 2$.

En física, el espacio recorrido por un objeto se puede calcular como el área bajo la curva en una gráfica de velocidad frente a tiempo. Si un patinador eléctrico se mueve con una velocidad constante de $v(t) = 12$ km/h durante la primera media hora ($t = 0,5$ h), plantea y calcula la integral definida que representa la distancia recorrida en ese tiempo.

Halla el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 9$ y el eje de abscisas ($OX$).

Pista: Primero debes encontrar los puntos de corte de la función con el eje $OX$ para determinar los límites de integración. Recuerda que, si la función es negativa en el intervalo, el área es el valor absoluto de la integral.

Utiliza las propiedades de la integral definida para resolver el siguiente problema:

Sabiendo que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ y que $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$, calcula razonadamente el valor de:

1. $\int_{1}^{6} f(x) \, dx$

2. $\int_{4}^{1} 2 \cdot f(x) \, dx$

Calcula el área total de la región comprendida entre la recta $f(x) = x - 2$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 3$.

Nota: Observa que la función corta al eje $OX$ en un punto dentro del intervalo dado, por lo que tendrás que descomponer el recinto en dos subáreas.

Una empresa de diseño gráfico quiere crear un logotipo que incluye una forma curva definida por $f(x) = \sqrt{x}$. Calcula el área de la parte del logotipo encerrada entre esta curva, el eje $OX$ y la recta vertical $x = 9$.

Calcula el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ y el eje de abscisas $OX$. Representa gráficamente el recinto antes de realizar los cálculos para identificar los puntos de corte.

Determina el área de la región comprendida entre la curva $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje $OX$ en el intervalo $[-1, 2]$. Ten en cuenta que la función puede cambiar de signo dentro del intervalo, por lo que deberás descomponer la integral si es necesario.

Una empresa de diseño gráfico quiere crear un logotipo que incluye la forma de una "ola". Esta forma viene definida por la función $f(x) = \sin(x) + 1$ en el intervalo $[0, \pi]$. Calcula la superficie total de la figura limitada por la curva, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = \pi$.

Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = |x^2 - 1|$ y el eje de abscisas entre $x = 0$ y $x = 2$. Recuerda que la definición de valor absoluto implica que la función siempre es no negativa, pero su expresión analítica cambia en los puntos donde el argumento se anula.

Se considera la función $f(x) = x^2 - 2x + 2$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, el eje $OX$ y la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 3$.

Halla el valor de un parámetro positivo $k$ sabiendo que el área de la región limitada por la parábola $f(x) = kx^2$ y el eje $OX$ entre $x = 0$ y $x = 3$ es exactamente de $18$ unidades cuadradas.

Un arquitecto está diseñando la entrada de un túnel cuya sección frontal se puede modelar mediante la función $f(x) = 4 - \frac{1}{4}x^2$, donde $x$ e $y$ están expresados en metros. El suelo del túnel coincide con el eje $OX$. Calcula el área de la sección transversal de la entrada del túnel.

Calcula el área del recinto limitado por la curva $f(x) = \sqrt{x}$, el eje $OX$ y la recta $y = -x + 6$ en el primer cuadrante. Ayuda: identifica primero el punto de intersección entre la curva y la recta para determinar los límites de integración.

Un arquitecto está diseñando el perfil lateral de un nuevo pabellón deportivo. La estructura principal sigue la curva de la función $f(x) = -x^2 + 6x$. Para asegurar la estabilidad, se debe colocar un refuerzo metálico que sigue la línea tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 4$.

Calcula el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x)$, la recta tangente mencionada y el eje de ordenadas ($Eje\ OY$).

Considera las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$. Sea $R$ el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta vertical $x = k$ (donde $k > 0$).

Determina el valor del parámetro positivo $k$ para que el área de dicho recinto sea exactamente de $4$ unidades cuadradas.

Se define la función $f(x) = |x^2 - 4|$. Queremos estudiar la región del plano que queda "atrapada" entre esta curva y la recta horizontal $y = 5$.

Calcula el área del recinto limitado superiormente por la recta $y = 5$ e inferiormente por la gráfica de la función $f(x)$. Nota: Ten en cuenta los puntos de corte y la definición de la función en valor absoluto para dividir la integral si fuera necesario.

Sea la función $f(x) = \ln(x)$. Se pide:

1. Hallar la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f(x)$ en el punto $P(1, 0)$.

2. Calcular el área del recinto plano limitado por la curva $y = \ln(x)$, la recta normal hallada en el apartado anterior y el eje de abscisas ($Eje\ OX$).

Un depósito de agua tiene una sección transversal cuya base está definida por el eje $OX$ y su parte superior por la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+4} & \text{si } -4 \leq x < 0 \\ 2 \cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$

Calcula el área total de la sección transversal del depósito realizando el cálculo de la integral definida en cada intervalo.

Determina el valor de la constante $a \in \mathbb{R}$ con $a > 1$, sabiendo que el área del recinto limitado por la curva $y = \frac{1}{x^2}$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 1$ y $x = a$ es igual al área del recinto limitado por la misma curva $y = \frac{1}{x^2}$, el eje $OX$ y las rectas $x = a$ y $x = a^2$.

Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ y la recta horizontal que pasa por el máximo relativo de dicha función.

Ayuda: Deberás primero localizar el máximo relativo mediante la derivada, hallar el valor de la ordenada en dicho punto y luego determinar los puntos de intersección entre la curva y la recta resultante.

Sea el recinto $A$ la región del primer cuadrante limitada por la parábola $y = x^2$ y la recta $y = 9$. Existe una recta vertical de ecuación $x = c$ (con $0 < c < 3$) que divide al recinto $A$ en dos subrecintos de áreas idénticas.

Calcula el valor exacto de la constante $c$.