Ejercicios: Aplicaciones de la integral definida

Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando la Regla de Barrow:

Dada la función integral $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^2 + 9} \, dt$, utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para hallar el valor de su derivada en el punto $x = 4$, es decir, calcula $F'(4)$.

Un diseñador gráfico está trazando el contorno de un logotipo que sigue la curva $f(x) = e^x$. Calcula el área encerrada bajo dicha curva, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = \ln(3)$.

Calcula el área del recinto plano limitado por la parábola $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y el eje de abscisas ($OX$). Nota: Recuerda hallar primero los puntos de corte de la función con el eje.

Sin realizar el cálculo de la primitiva, justifica utilizando las propiedades de la integral definida por qué el valor de la siguiente integral es igual a $0$:

Halla el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x) = 6 - x^2$ y $g(x) = 2$.

La velocidad de un coche de radiocontrol (en $m/s$) viene dada por la función $v(t) = 2t + 1$. Determina la distancia total recorrida por el coche entre los instantes $t = 1$ s y $t = 4$ s calculando la integral definida de la velocidad.

Una empresa de componentes electrónicos ha determinado que el coste marginal de producir $x$ unidades de un sensor es $C'(x) = 3x^2 - 12x + 15$ euros por unidad. Calcula el incremento total del coste al aumentar la producción de $10$ a $20$ sensores.

Calcula el área del recinto plano acotado limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 5x$ y $g(x) = x + 2$. Representa gráficamente el recinto antes de realizar el cálculo.

Sea la función $F(x)$ definida mediante la siguiente integral:

$F(x) = \int_{2}^{x^2-1} \frac{\ln(t)}{t} dt$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $F(x)$ en el punto de abscisa $x = \sqrt{3}$.

Un estudio de diseño está proyectando el logotipo para una nueva empresa de tecnología. La base del logo está delimitada por la función $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje de abscisas $OX$. Calcula el área total de las dos regiones cerradas que forma la curva con el eje.

Determina el valor del parámetro positivo $k > 0$ para que el área del recinto limitado por la parábola $y = kx^2$ y la recta $y = 4$ sea exactamente de $16$ unidades cuadradas.

Halla el área del recinto limitado por la curva $f(x) = x^2 - 4x + 5$, la recta tangente a dicha curva en el punto $(3, f(3))$ y el eje de ordenadas $OY$.

Calcula el área de la región del primer cuadrante encerrada por las gráficas de $f(x) = \frac{8}{x}$, la recta $y = x$ y la recta $y = 4$.

Un vehículo autónomo se desplaza en línea recta y su velocidad (en m/s) viene dada por la función $v(t) = t^2 - 6t + 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcula la distancia total recorrida por el vehículo entre el instante $t = 0$ y $t = 5$. Nota: Ten en cuenta que la distancia es la integral del valor absoluto de la velocidad.

Considera el recinto limitado por las curvas $y = e^x$, $y = e^{-x}$ y la recta vertical $x = \ln(2)$.

1. a) Dibuja un esquema del recinto.
2. b) Calcula el área de dicho recinto.

Sea la función $f(x)$ definida por la siguiente expresión que involucra una integral:

$F(x) = \int_{0}^{x^2} \frac{t-1}{2+e^t} dt$

Se pide determinar razonadamente:

1. a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $F(x)$ en todo su dominio.
2. b) La abscisa de los puntos donde $F(x)$ alcanza sus extremos relativos, clasificándolos en máximos o mínimos.
3. c) ¿Presenta la función $F(x)$ algún punto de inflexión en el intervalo $(0, +\infty)$? Justifica la respuesta utilizando la segunda derivada.

Un equipo de ingenieros está diseñando el arco de entrada a un túnel tecnológico. La forma del arco superior viene dada por la función $f(x) = 4 - x^2$ para $x \in [-2, 2]$. Para reforzar la estructura, se debe trazar una línea recta $y = k$ (donde $0 < k < 4$) de tal manera que el área de la sección superior (por encima de la línea de refuerzo) sea exactamente el doble del área de la sección inferior (entre la línea de refuerzo y el suelo, situado en el eje $OX$).

Calcula el valor exacto de la constante $k$ que cumple dicha condición.

Considera la región del plano $R$ limitada por la curva $y = \ln(x)$, la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa $x = e$, y el eje de abscisas $OX$.

1. a) Halla la ecuación de la recta tangente mencionada.
2. b) Calcula el área del recinto $R$.
3. c) Calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar el recinto $R$ alrededor del eje $OX$.

Un dron de vigilancia se desplaza en línea recta. Su velocidad en metros por segundo viene dada por la función con valor absoluto:

$v(t) = |t^2 - 6t + 5|$ para $t \in [0, 6]$ segundos.

1. a) Determina la distancia total recorrida por el dron durante los primeros 6 segundos.
2. b) Calcula el valor del tiempo $T \in (0, 6)$ tal que la distancia recorrida en el intervalo $[0, T]$ sea exactamente la mitad de la distancia total calculada en el apartado anterior.

Se desea fabricar una pieza metálica cuya sección transversal está delimitada por las curvas $y = \sqrt{x}$, $y = x - 2$ y el eje de ordenadas $OY$.

1. a) Representa gráficamente el recinto y determina sus puntos de intersección.
2. b) Calcula el área de dicha sección.
3. c) Si la pieza se obtiene rotando este recinto alrededor del eje de ordenadas $OY$, plantea (sin necesidad de calcular) la integral o suma de integrales que proporcionaría el volumen de la pieza.

Calcula el valor del siguiente límite aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo y la Regla de L'Hôpital:

$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt}{1 - \cos(x^2)}$

Indica detalladamente los pasos seguidos y las hipótesis necesarias para la aplicación de cada teorema.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$, considera el recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, su asíntota horizontal y las rectas verticales $x = -1$ y $x = 1$.

1. a) Identifica la ecuación de la asíntota horizontal de la función.
2. b) Calcula el área de dicho recinto.
3. c) Determina el volumen del sólido generado al girar este recinto alrededor de su propia asíntota horizontal.

(Ayuda: Realiza un cambio de variable o traslación para facilitar el cálculo del volumen).

Una empresa de diseño gráfico crea un logotipo utilizando la zona común a las gráficas de las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ en el intervalo $x \in [0, \pi]$.

1. a) Determina los puntos de corte de ambas funciones en dicho intervalo.
2. b) El logotipo se divide en dos regiones mediante el eje de abscisas $OX$. Calcula el área de la región del logotipo que queda por encima del eje $OX$.
3. c) Justifica si el área total del logotipo (considerando valores absolutos) es simétrica respecto a algún valor de $x$ en el intervalo dado.