Ejercicios: Optimización de funciones

Determina dos números reales positivos cuya suma sea exactamente $60$ y tales que su producto sea el mayor posible.

Un joven ganadero dispone de $120$ metros de valla para cercar un recinto rectangular destinado al pastoreo. Aprovechando que uno de los lados del recinto será una pared de piedra ya existente, solo necesita vallar los otros tres lados. Calcula las dimensiones del recinto para que el área encerrada sea máxima.

Se lanza verticalmente hacia arriba una pequeña sonda meteorológica. La altura $h$ (en metros) que alcanza la sonda en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 40t + 1,5$.

¿En qué instante alcanzará la sonda su altura máxima? ¿Cuál será dicha altura?

Una empresa tecnológica ha determinado que el beneficio mensual $B$ (en miles de euros) por la venta de un nuevo modelo de auriculares inalámbricos depende del número de unidades fabricadas $x$ (en cientos) según la función $B(x) = -2x^2 + 32x - 40$.

Halla el número de unidades que deben fabricarse cada mes para maximizar el beneficio y calcula el valor de dicho beneficio máximo.

Un estudio de diseño gráfico quiere crear una tarjeta de felicitación rectangular que contenga exactamente $32 \text{ cm}^2$ de superficie impresa. Si no se consideran márgenes, ¿cuáles deberían ser las dimensiones de la tarjeta para que el perímetro sea mínimo y así ahorrar en el corte del papel?

El número de "likes" de una publicación de una famosa "influencer" durante las primeras $10$ horas sigue la función $L(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas ($0 \le t \le 10$). Determina en qué momento la publicación alcanza su mayor éxito (máximo número de likes) y cuántos likes obtiene en ese instante.

Se desea construir una caja abierta (sin tapa) a partir de una lámina de cartón cuadrada de $30 \text{ cm}$ de lado. Para ello, se corta un cuadrado de lado $x$ en cada una de las esquinas y se doblan los bordes hacia arriba. Expresa el volumen de la caja en función de $x$ y determina el valor de $x$ para que el volumen de la caja sea máximo.

Divide el número $12$ en dos sumandos positivos tales que la suma de sus cuadrados sea mínima.

Un refugio de animales ha recibido una donación de $120$ metros de tela metálica para construir dos recintos rectangulares contiguos destinados a perros y gatos. Los recintos deben compartir un lado común, como se muestra en la figura, para aprovechar al máximo el material. Determina las dimensiones de la estructura exterior ($x$ e $y$) para que el área total encerrada sea máxima.

Una plataforma de streaming está analizando su política de precios para un nuevo plan premium. Actualmente, tienen $10.000$ suscriptores que pagan $12$ € al mes. Un estudio de mercado indica que por cada euro que se rebaje el precio de la suscripción, se apuntarán $1.000$ nuevos usuarios. Por el contrario, por cada euro que aumente el precio, se perderán $1.000$ usuarios. Sabiendo que los costes fijos de mantenimiento son de $20.000$ € al mes y que cada suscriptor genera un gasto de gestión de $2$ €, ¿qué precio de suscripción mensual maximizará el beneficio neto de la plataforma?

Un estudio de diseño gráfico quiere crear una caja de embalaje promocional a partir de una cartulina cuadrada de $24$ cm de lado. Para ello, se corta un cuadrado de lado $x$ en cada una de las esquinas y se doblan las solapas hacia arriba para formar una caja sin tapa. Halla el valor de $x$ para que la capacidad de la caja sea la mayor posible.

En un videojuego de estrategia, una unidad de exploración se encuentra en el punto $A(0, 5)$ de un mapa coordinado. Existe un camino cuya trayectoria sigue la forma de la parábola $y = x^2$. Los programadores necesitan calcular el punto exacto del camino que se encuentra a la mínima distancia de la unidad para activar un evento de proximidad. Determina las coordenadas de dicho punto.

Una empresa química necesita fabricar depósitos cilíndricos cerrados con una capacidad de $16 \pi$ metros cúbicos. El material utilizado para las bases (superior e inferior) tiene un coste de $5$ € por metro cuadrado, mientras que el material para la superficie lateral es más ligero y cuesta $2$ € por metro cuadrado. Calcula el radio de la base y la altura del cilindro que minimizan el coste total de fabricación de cada depósito.

Se desea diseñar un panel publicitario con forma de triángulo isósceles inscrito en una semicircunferencia de radio $R = 6$ metros, de modo que su base coincida con el diámetro de la semicircunferencia. Determina las dimensiones del triángulo (base y altura) para que el área de la superficie publicitaria sea máxima.

Una página de un libro de arte debe tener un área total de $600$ $cm^2$. Los márgenes superior e inferior deben ser de $3$ cm cada uno, y los márgenes laterales de $2$ cm cada uno. Determina las dimensiones de la página (ancho y alto) para que el área de la zona impresa (donde va el texto y las imágenes) sea máxima.

En una carpintería metálica, se debe cortar una viga de acero con sección transversal rectangular a partir de un tronco cilíndrico de $40$ cm de diámetro. La resistencia mecánica $R$ de dicha viga es proporcional al producto del ancho $x$ por el cuadrado de la altura $y$, es decir, $R = k \cdot x \cdot y^2$ (donde $k$ es una constante de resistencia del material). Halla las dimensiones $x$ e $y$ que debe tener la viga para que su resistencia sea máxima.

Se desea diseñar una cápsula para un nuevo fármaco que tiene forma de cilindro circular recto prolongado en sus extremos por dos hemisferios del mismo radio que el cilindro. Por razones de estabilidad química, el volumen total de la cápsula debe ser exactamente de $36\pi \text{ mm}^3$. El material utilizado para los extremos hemisféricos es un 50% más caro por unidad de superficie que el material utilizado para la parte cilíndrica. Determina las dimensiones de la cápsula (radio $r$ y longitud de la parte cilíndrica $h$) que minimizan el coste total de fabricación.

Un dron de vigilancia debe desplazarse desde una base situada en el punto $A(0, 4)$ hasta un objetivo en el punto $B(10, 0)$, donde las coordenadas están expresadas en kilómetros. El terreno está dividido en dos zonas por la recta $y = 2$. En la zona superior ($y > 2$), debido a las condiciones de viento, el dron puede volar a una velocidad de $60 \text{ km/h}$. En la zona inferior ($y \leq 2$), el dron puede alcanzar los $100 \text{ km/h}$. Calcula el punto exacto sobre la línea divisoria por el que debe cruzar el dron para que el tiempo total del trayecto sea mínimo.

Una empresa logística está construyendo un almacén con una superficie de $400 \text{ m}^2$. El almacén debe tener forma rectangular y estar dividido en dos sectores por un muro interno paralelo a uno de sus lados laterales. El coste de los muros exteriores es de $120 \text{ €}$ por metro lineal, mientras que el muro interno, al ser menos resistente, cuesta $80 \text{ €}$ por metro lineal. Halla las dimensiones del almacén que hacen que el coste de los muros sea lo más bajo posible.

Se desea instalar un panel solar rectangular en una pared que tiene forma de triángulo isósceles, con una base de $6 \text{ m}$ y una altura de $4 \text{ m}$. El panel debe colocarse de forma que su base esté sobre la base del triángulo y sus dos vértices superiores toquen los lados iguales del triángulo. Sin embargo, debido a la estructura de la pared, el panel tiene una eficiencia que varía con su altura, de modo que la energía total generada viene dada por la función $E = A \cdot (5 - h)$, donde $A$ es el área del panel y $h$ su altura. Halla las dimensiones del panel que maximizan la energía generada.

Considera la función $f(x) = \frac{1}{x^2}$ para $x > 0$. Se traza una recta tangente a la gráfica de esta función en un punto genérico $P(a, f(a))$. Dicha recta tangente forma, junto con los ejes de coordenadas en el primer cuadrante, un triángulo rectángulo. Determina el valor de $a$ para el cual el área de dicho triángulo es mínima y calcula el valor de dicha área.

Un fabricante de latas de conserva quiere crear un nuevo envase cilíndrico con un volumen de $500 \text{ cm}^3$. El material de la tapa y de la base cuesta $0,02 \text{ €/cm}^2$, mientras que el material del lateral cuesta $0,01 \text{ €/cm}^2$. Además, para reforzar la estructura, se debe colocar una tira metálica alrededor de la unión de la tapa con el lateral y otra alrededor de la base, con un coste de $0,05 \text{ €/cm}$ de tira. Calcula el radio y la altura de la lata que minimizan el coste total de producción.

Dos puntos $A$ y $B$ están situados en el mismo lado de una recta $r$. El punto $A$ está a una distancia de $3 \text{ km}$ de la recta y el punto $B$ a $6 \text{ km}$. La distancia entre las proyecciones de $A$ y $B$ sobre la recta $r$ es de $12 \text{ km}$. Se desea encontrar un punto $C$ en la recta $r$ tal que la suma de los cuadrados de las distancias desde $C$ hasta $A$ y desde $C$ hasta $B$ sea mínima. Demuestra que dicho punto coincide con el punto medio de la proyección de $AB$ sobre la recta.

Disponemos de un trozo de cable de $20 \text{ metros}$ de longitud. Queremos cortarlo en dos trozos (no necesariamente iguales) para formar con uno de ellos un cuadrado y con el otro un triángulo equilátero. ¿Cómo debemos realizar el corte para que la suma de las áreas de ambas figuras sea máxima? ¿Y para que sea mínima? Justifica la respuesta analizando los extremos del intervalo de definición de la variable.