Ejercicios: Diagramas de árbol

En una estantería de una habitación juvenil hay dos cajas de zapatillas. La Caja A contiene $3$ pares de zapatillas blancas y $2$ pares de zapatillas negras. La Caja B contiene $2$ pares de blancas y $4$ pares de negras. Un estudiante elige una caja al azar (con la misma probabilidad) y, sin mirar, extrae un par de zapatillas.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol que represente esta situación, indicando las probabilidades en cada rama.

1. b) Calcula la probabilidad de que las zapatillas elegidas sean de color blanco.

Un creador de contenido de TikTok observa que el $70 \%$ de sus vídeos son de humor y el $30 \%$ son de retos (challenges). La probabilidad de que un vídeo de humor se vuelva viral es de $0,1$, mientras que para los vídeos de retos esa probabilidad sube a $0,4$.

1. a) Representa la situación mediante un diagrama de árbol.

1. b) Si elegimos un vídeo al azar de su perfil, ¿cuál es la probabilidad de que sea un vídeo viral?

En un torneo de e-sports, un jugador tiene que superar dos fases. En la Fase 1, la probabilidad de éxito es de $0,8$. Si supera la primera, pasa a la Fase 2, donde la probabilidad de éxito es de $0,6$. Si no supera la primera fase, queda eliminado directamente.

1. a) Elabora el diagrama de árbol correspondiente.

1. b) Calcula la probabilidad de que el jugador complete con éxito las dos fases del torneo.

Un estudiante de 2º de Bachillerato ha preparado el $60 \%$ de los temas de un examen de Geografía. El examen consiste en extraer un tema al azar de una bolsa. Si el tema extraído es uno de los que ha estudiado, la probabilidad de aprobar es de $0,9$. Si el tema es uno de los que no ha estudiado, la probabilidad de aprobar cae a $0,2$.

1. a) Realiza un diagrama de árbol con los datos del problema.

1. b) ¿Cuál es la probabilidad total de que el alumno apruebe el examen?

En una plataforma de streaming de música, el $40 \%$ de los usuarios tiene una cuenta "Premium" y el $60 \%$ una cuenta "Gratuita". Se sabe que el $80 \%$ de los usuarios Premium escuchan música a diario, mientras que solo el $30 \%$ de los usuarios con cuenta gratuita lo hacen. Elegido un usuario al azar:

1. a) Calcula la probabilidad de que escuche música a diario.

1. b) Si sabemos que el usuario elegido es Premium, ¿cuál es la probabilidad de que no escuche música a diario?

Para ir al instituto, un adolescente utiliza el autobús el $80 \%$ de los días y el resto va caminando. Cuando va en autobús, llega tarde el $5 \%$ de las veces. Sin embargo, cuando va caminando, llega tarde el $15 \%$ de las veces debido a que se distrae por el camino.

1. a) Construye el diagrama de árbol.

1. b) Calcula la probabilidad de que un día cualquiera llegue puntual al instituto.

En una urna tenemos $4$ bolas rojas y $6$ bolas azules. Extraemos dos bolas de forma sucesiva sin devolución (sin volver a meter la primera bola en la urna).

1. a) Representa el proceso mediante un diagrama de árbol indicando las probabilidades en cada rama. Ten en cuenta que la composición de la urna cambia tras la primera extracción.

1. b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color?

Una tienda de ropa deportiva recibe sudaderas de dos fábricas. La Fábrica 1 aporta el $60 \%$ de las existencias y la Fábrica 2 el $40 \%$ restante. El $2 \%$ de las sudaderas de la Fábrica 1 tienen algún defecto de costura, mientras que en la Fábrica 2 el porcentaje de defectos es del $5 \%$.

1. a) Representa la situación con un árbol de probabilidades.

1. b) Calcula la probabilidad de que una sudadera elegida al azar no tenga ningún defecto.

Un popular streamer de videojuegos emite contenido en tres plataformas distintas: Twitch, YouTube y TikTok Live. Según sus estadísticas, el $45\,\%$ de sus seguidores ven sus directos en Twitch, el $35\,\%$ en YouTube y el $20\,\%$ restante en TikTok. Se sabe que el porcentaje de seguidores que interactúan en el chat es del $12\,\%$ en Twitch, del $8\,\%$ en YouTube y del $25\,\%$ en TikTok.

Si elegimos un seguidor al azar de este streamer:

1. a) Representa la situación mediante un diagrama de árbol.

1. b) Calcula la probabilidad de que el seguidor elegido interactúe en el chat.

1. c) Si sabemos que el seguidor elegido no interactúa en el chat, ¿cuál es la probabilidad de que sea un seguidor de YouTube?

Una aplicación de salud utiliza un sensor inteligente para detectar si un usuario está realizando ejercicio aeróbico intenso. El sensor es capaz de detectar correctamente la actividad el $98\,\%$ de las veces. Sin embargo, cuando el usuario está en reposo o caminando despacio, el sensor da un "falso positivo" (indica erróneamente que hace ejercicio intenso) en el $3\,\%$ de los casos. Según los datos de la comunidad de usuarios, se estima que pasan el $15\,\%$ del tiempo realizando actividad intensa.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un momento elegido al azar, la aplicación indique que el usuario está realizando ejercicio intenso?

1. b) Si la aplicación indica que el usuario está realizando ejercicio intenso, calcula la probabilidad de que realmente esté en reposo o caminando despacio.

En un torneo de E-sports, un jugador debe elegir entre dos personajes: "Guerrero" o "Mago". La probabilidad de elegir al Guerrero es del $60\,\%$. Si elige al Guerrero, tiene una probabilidad de ganar la partida de $0,7$. Si elige al Mago, su probabilidad de victoria aumenta a $0,85$.

1. a) Construye el diagrama de árbol asociado al experimento.

1. b) Calcula la probabilidad de que el jugador gane la partida.

1. c) Si el jugador ha perdido la partida, ¿cuál es la probabilidad de que hubiera elegido al Guerrero?

Una tienda de ropa online envía sus pedidos a través de dos empresas de logística, A y B. El $70\,\%$ de los pedidos se envían con la empresa A y el resto con la empresa B. Se ha observado que el $5\,\%$ de los pedidos de la empresa A llegan con retraso, mientras que en la empresa B el retraso afecta al $10\,\%$ de los paquetes.

1. a) Calcula la probabilidad de que un pedido llegue a tiempo.

1. b) Si un cliente recibe su pedido con retraso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido transportado por la empresa A?

En una urna digital de un juego de azar hay 10 esferas: 6 azules y 4 blancas. El experimento consiste en extraer dos esferas de forma sucesiva y sin reemplazamiento.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol detallando las probabilidades en cada rama.

1. b) Calcula la probabilidad de que las dos esferas sean del mismo color.

1. c) Calcula la probabilidad de que la primera esfera sea azul sabiendo que la segunda ha sido blanca.

Un estudiante de 2º de Bachillerato ha preparado 18 de los 25 temas de un examen de Historia. El examen consiste en elegir al azar un tema de entre dos extraídos por el profesor.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno sepa los dos temas extraídos?

1. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno apruebe el examen (es decir, que sepa al menos uno de los dos temas)?

1. c) Si el alumno ha aprobado el examen, ¿cuál es la probabilidad de que supiera solo uno de los dos temas extraídos?

En un instituto, el $40\,\%$ de los alumnos son de Ciencias y el $60\,\%$ de Ciencias Sociales. El $75\,\%$ de los alumnos de Ciencias utiliza el transporte escolar, mientras que solo el $30\,\%$ de los de Ciencias Sociales lo hace.

1. a) Si elegimos un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no utilice el transporte escolar?

1. b) Si seleccionamos un alumno que utiliza el transporte escolar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de Ciencias Sociales?

Una fábrica de auriculares inalámbricos produce dos modelos: "Basic" y "Pro". El $65\,\%$ de la producción corresponde al modelo Basic. El control de calidad detecta que el $2\,\%$ de los auriculares Basic son defectuosos, mientras que para el modelo Pro el porcentaje de unidades defectuosas es del $1\,\%$.

1. a) Calcula la probabilidad de que un auricular elegido al azar sea defectuoso.

1. b) Si un auricular es defectuoso, ¿qué modelo es más probable que sea? Justifica tu respuesta calculando las probabilidades a posteriori.

En una plataforma de e-sports, los jugadores se clasifican según su rango en: Bronce (50 %), Plata (30 %) y Oro (20 %). Se ha observado que la probabilidad de que un jugador use trampas (software prohibido) depende de su rango: en Bronce es del 2 %, en Plata es del 5 % y en Oro es del 10 %. El sistema de seguridad FairPlay detecta correctamente al tramposo el 98 % de las veces, pero da un "falso positivo" (acusa a un jugador limpio) en el 1 % de los casos.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol que represente la situación de un jugador elegido al azar que pasa por el control de seguridad.
2. b) Calcula la probabilidad de que el sistema FairPlay emita una alerta de "jugador tramposo".
3. c) Si el sistema ha emitido una alerta, ¿cuál es la probabilidad de que el jugador sea realmente inocente y de rango Oro?

Una empresa de mensajería utiliza tres rutas para entregar paquetes en una ciudad difícil. La ruta A (usada el 40 % de las veces) tiene una probabilidad de retraso del 15 %. La ruta B (usada el 35 %) tiene un retraso del 10 %. La ruta C se usa el resto de las veces y tiene un retraso del 20 %. Si un paquete llega con retraso, se le aplica un protocolo de auditoría. Este protocolo falla y no detecta el motivo real del retraso en el 5 % de los casos de la ruta A, en el 8 % de la ruta B y en el 12 % de la ruta C.

1. a) Representa mediante un diagrama de árbol la probabilidad de que un paquete elegido al azar sufra un retraso y su auditoría sea fallida.
2. b) Calcula la probabilidad de que un paquete seleccionado al azar tenga una auditoría fallida por causa de un retraso.
3. c) Sabiendo que la auditoría ha sido fallida, ¿cuál es la probabilidad de que el paquete no hubiera viajado por la ruta A?

Se dispone de tres urnas con la siguiente composición de bolas de colores:

• Urna $U_1$: 5 blancas, 3 negras y 2 rojas.

• Urna $U_2$: 4 blancas y 6 negras.

• Urna $U_3$: 2 blancas, 5 negras y 3 rojas.

El experimento consiste en lanzar un dado equilibrado. Si sale un número primo, se extrae una bola de $U_1$. Si sale un número compuesto, se extrae una bola de $U_2$. En cualquier otro caso, se extrae de $U_3$. Tras la extracción, la bola se introduce en la urna de la que no fue extraída que tenga más bolas blancas en ese momento (en caso de empate, se elige $U_3$). Finalmente, se extrae una segunda bola de esa última urna.

1. a) Construye el diagrama de árbol detallado de las dos extracciones.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja?
3. c) Si la segunda bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de que la primera hubiera sido blanca?

Un estudio sobre hábitos de sueño entre adolescentes revela que el 25 % duerme menos de 6 horas, el 60 % duerme entre 6 y 8 horas, y el resto duerme más de 8 horas. La probabilidad de tener falta de concentración en la primera clase de la mañana es de 0,8 para el primer grupo, 0,3 para el segundo y 0,1 para el tercero. Además, si un alumno tiene falta de concentración, la probabilidad de que olvide entregar su tarea es de 0,7, mientras que si está concentrado esa probabilidad baja a 0,05.

1. a) Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar olvide entregar su tarea.
2. b) Si un alumno ha entregado su tarea correctamente, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo que duerme más de 8 horas?

En una fábrica de aerogeneradores, el 1 % de las palas presenta microfisuras estructurales. Se utiliza un sistema de escaneo por ultrasonidos que detecta la fisura con una probabilidad de 0,99. Sin embargo, el escáner tiene una probabilidad de 0,03 de indicar que hay una fisura cuando la pala está sana. Para asegurar el control, si el escáner indica "fisura", se realiza una segunda prueba manual independiente que detecta la fisura real con probabilidad 0,95 y tiene un margen de error del 1 % en palas sanas.

1. a) Calcula la probabilidad de que una pala pase por ambas pruebas y sea declarada "defectuosa".
2. b) Si una pala ha sido declarada "defectuosa" tras las dos pruebas, ¿cuál es la probabilidad de que realmente no tenga ninguna microfisura?

Tres amigos, Hugo, Silvia y Clara, juegan a un juego de estrategia por turnos. La probabilidad de que gane Hugo es $P(H) = 0,2$, la de Silvia es $P(S) = 0,5$ y la de Clara es $P(C) = 0,3$. Tras ganar una partida, la probabilidad de que el mismo jugador gane la siguiente aumenta en un 20 % respecto a su probabilidad inicial (restando esa diferencia proporcionalmente a los otros dos jugadores).

1. a) Si Silvia gana la primera partida, construye el árbol de probabilidades para la segunda partida.
2. b) Calcula la probabilidad de que Silvia gane las dos primeras partidas.
3. c) Si sabemos que Silvia ha ganado la segunda partida, ¿cuál es la probabilidad de que Clara hubiera ganado la primera?

Se tiene una caja con 10 teléfonos móviles inteligentes, de los cuales 3 tienen la pantalla defectuosa. Se extraen dos teléfonos al azar, uno tras otro y sin reemplazamiento.

• Si el primero extraído es defectuoso, se lanza una moneda trucada donde la probabilidad de cara es 0,7. Si sale cara, se extrae un tercer teléfono de la caja.

• Si el primero extraído no es defectuoso, se lanza un dado equilibrado. Si sale un número mayor que 4, se extrae un tercer teléfono.

1. a) Calcula la probabilidad de que el número total de teléfonos defectuosos extraídos sea exactamente 2.
2. b) Sabiendo que al final del experimento se han extraído exactamente 2 teléfonos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que el primer teléfono extraído fuera correcto?

Una empresa tecnológica produce procesadores en tres plantas: P1 (produce el 50 %), P2 (30 %) y P3 (20 %). El porcentaje de procesadores que superan la velocidad de 4GHz es del 80 % en P1, 70 % en P2 y 60 % en P3. Los procesadores que no superan esa velocidad se someten a un proceso de optimización que logra que el 40 % de ellos finalmente sí la superen.

1. a) Utilizando un diagrama de árbol, calcula la probabilidad de que un procesador elegido al azar de la producción total supere finalmente los 4GHz.
2. b) Si un procesador no supera los 4GHz tras todo el proceso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la planta P1 o de la P2?