Combinatoria

Una clase de 2º de Bachillerato tiene que elegir una comisión de convivencia formada por 3 alumnos. Si en la clase hay 25 alumnos y todos son elegibles, ¿cuántos grupos distintos de 3 personas se pueden formar? Razona si en este caso importa o no el orden de selección de los miembros.

Para celebrar el fin de curso, un grupo de amigos decide ir a cenar a un restaurante que ofrece un menú cerrado. Los estudiantes deben elegir un entrante entre 4 posibles, un plato principal entre 5 opciones y un postre de una lista de 3. ¿De cuántas formas distintas puede un alumno configurar su menú de cena?

¿Cuántas palabras de 5 letras, con o sin sentido, se pueden formar permutando las letras de la palabra $LIBRO$? ¿Y si todas las palabras debieran empezar por la letra $L$?

Se va a celebrar un torneo relámpago de ajedrez en un centro juvenil. Al finalizar la fase clasificatoria, quedan 10 jugadores. La organización debe entregar tres trofeos diferentes: uno al campeón, otro al subcampeón y un tercero al tercer clasificado. Además, se entregará una medalla de participación a los 7 jugadores restantes.

1. a) ¿De cuántas formas pueden repartirse los tres trofeos principales?
2. b) Si entre los 10 finalistas hay una pareja de hermanos y queremos saber en cuántas de esas clasificaciones los dos hermanos reciben trofeo (independientemente de cuál sea).

Un equipo de marketing digital está diseñando una campaña publicitaria para una conocida marca de zapatillas. Para una sesión de fotos, deben colocar en línea a sus 10 colaboradores estrella: 3 fotógrafos, 4 editores de vídeo y 3 redactores creativos (copywriters). Determina de cuántas formas pueden posar para la foto si se deben cumplir simultáneamente las siguientes condiciones:

1. Los profesionales de la misma categoría deben estar siempre juntos.

2. El fotógrafo principal y el redactor jefe no pueden estar en los extremos de la formación total.

Un nuevo servicio de banca online requiere que sus usuarios creen una clave de seguridad personalizada. La clave debe estar formada por exactamente 4 dígitos seguidos de 2 letras (utilizando el alfabeto español de 26 letras, excluyendo la "ñ").

Calcula cuántas claves distintas se pueden generar en los siguientes supuestos:

1. a) Los dígitos pueden repetirse, pero las letras deben ser distintas.
2. b) Tanto los dígitos como las letras pueden repetirse, pero el primer dígito no puede ser cero y la última letra debe ser una vocal ($A, E, I, O, U$).

Ocho amigos, entre los que se encuentran una pareja de novios, van a cenar a un restaurante japonés y les asignan una mesa circular.

1. ¿De cuántas formas pueden sentarse a la mesa si los novios quieren estar sentados juntos?

2. Si tras la cena se enfadan y deciden que en el cine (donde tienen 8 butacas en fila) no quieren sentarse juntos ni tener a nadie entre ellos (es decir, debe haber al menos un asiento vacío o otra persona de separación, pero nunca butacas contiguas), ¿de cuántas formas podrán sentarse los ocho amigos en la fila de butacas?

Un chef está diseñando un menú degustación para una cena de gala. El menú debe consistir en 3 entrantes, 2 platos principales y 2 postres.

Si en su recetario dispone de 6 opciones de entrantes, 4 opciones de platos principales y 3 opciones de postres, ¿cuántas combinaciones diferentes de menús puede ofrecer a sus clientes?

Se quiere organizar un torneo de pádel relámpago con 12 alumnos de una clase. El profesor quiere formar 6 parejas distintas.

1. ¿De cuántas formas pueden quedar constituidas las 6 parejas si no importa el orden de las mismas ni el orden de los jugadores dentro de cada pareja?

2. Si entre los alumnos hay 4 que son jugadores de nivel avanzado y el profesor decide que cada uno de ellos debe estar en una pareja distinta (para equilibrar el nivel), ¿de cuántas formas se pueden formar las parejas ahora?