Ejercicios: Potencias de exponente racional. Radicales

En el estudio de microorganismos, el tamaño de ciertas estructuras se puede expresar mediante potencias y raíces. Transforma los siguientes radicales en potencias de exponente fraccionario y viceversa:

1. a) $\sqrt[5]{x^2}$

1. b) $\frac{1}{\sqrt[3]{a}}$

1. c) $7^{\frac{3}{4}}$

1. d) $x^{-\frac{1}{2}}$

Simplifica los siguientes radicales dividiendo el índice y el exponente del radicando por el máximo común divisor entre ambos:

1. a) $\sqrt[12]{x^8}$

1. b) $\sqrt[9]{27}$

1. c) $\sqrt[10]{a^{15}}$

1. d) $\sqrt[6]{125}$

Para optimizar el espacio en un diseño gráfico, un programador necesita extraer factores de los radicales siempre que sea posible. Realiza la extracción en las siguientes expresiones:

1. a) $\sqrt{50}$

1. b) $\sqrt[3]{16x^5}$

1. c) $\sqrt{a^3 b^4 c}$

1. d) $\sqrt[4]{32}$

En algunas fórmulas financieras, es preferible tener todos los elementos bajo un mismo signo radical. Introduce los factores dentro de la raíz y simplifica el resultado:

1. a) $3\sqrt{2}$

1. b) $x^2 \sqrt[3]{x}$

1. c) $\frac{2}{3}\sqrt{5}$

1. d) $a \sqrt[4]{a^3}$

Un arquitecto está calculando los perímetros de una estructura metálica compuesta por varios perfiles. Suma y simplifica los siguientes radicales semejantes para obtener la longitud total:

$2\sqrt{27} - 5\sqrt{3} + \sqrt{12}$

Realiza las siguientes operaciones de producto y división de radicales que tienen el mismo índice, simplificando el resultado final:

1. a) $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$

1. b) $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$

1. c) $\sqrt[5]{x^2} \cdot \sqrt[5]{x^3}$

1. d) $(\sqrt[4]{a})^2$

Un diseñador de interiores ha proyectado una alfombra cuadrada para un despacho de abogados de Madrid. El área total de la alfombra es de $18 \text{ m}^2$.

1. a) Expresa la medida del lado del cuadrado de forma exacta mediante un radical.
2. b) Simplifica el radical extrayendo factores.

Racionaliza las siguientes expresiones para eliminar los radicales del denominador, simplificando el resultado cuando sea posible:

1. a) $\frac{5}{\sqrt{3}}$

1. b) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

1. c) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

1. d) $\frac{x}{\sqrt{x}}$

Expresa las siguientes potencias de exponente racional en forma de radical y simplifica el resultado extrayendo todos los factores posibles:

1. a) $27^{\frac{2}{3}}$

1. b) $125^{-\frac{1}{3}}$

1. c) $\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{3}{4}}$

1. d) $x^{1,5}$

Opera y simplifica la siguiente expresión, dejando el resultado como un único radical de índice mínimo:

$$\frac{\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a^3}}{\sqrt[6]{a^5}}$$

Un estudio de arquitectura está diseñando un jardín triangular. Las longitudes de los tres caminos que delimitan el jardín vienen dadas por las siguientes expresiones en metros:

• Camino A: $3\sqrt{20}$

• Camino B: $\sqrt{125}$

• Camino C: $2\sqrt{45}$

Calcula el perímetro total del jardín simplificando la expresión al máximo.

Simplifica la siguiente expresión reduciendo a un único radical y extrayendo factores si es necesario:

$$\sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot \sqrt{x}}}$$

Racionaliza y simplifica las siguientes expresiones para que no contengan raíces en el denominador:

1. a) $\frac{10}{\sqrt[3]{5^2}}$

1. b) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$

1. c) $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

El volumen de un contenedor cúbico utilizado para el transporte de mercancías tecnológicas es de $V = 16\sqrt{2}$ metros cúbicos.

1. a) Expresa la arista del cubo como una potencia de base 2.
2. b) Calcula la longitud exacta de la arista en forma de radical simplificado.

Resuelve la siguiente operación combinada con radicales, expresando el resultado de la forma más sencilla posible:

$$\left( \sqrt{12} - \sqrt{3} \right) \cdot \sqrt[3]{9}$$

Ayuda: Expresa primero todos los términos como potencias de base 3.

En un examen de acceso, se pide a los alumnos determinar cuál de las dos siguientes piezas de metal tiene un área mayor. La pieza A es un cuadrado de lado $L_A = \sqrt[3]{4}$ cm y la pieza B es un cuadrado de lado $L_B = \sqrt[4]{6}$ cm.

Calcula el área de cada pieza y compáralas reduciendo los radicales a índice común.

Simplifica la siguiente expresión algebraica operando con los radicales y extrayendo todos los factores posibles. Expresa el resultado final utilizando un único radical:

$\displaystyle \frac{\sqrt{x^3 \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot y}}}{\sqrt[6]{x \cdot y^5}} \cdot \left( \frac{x}{y^2} \right)^{-1/2}$

Calcula el valor exacto del área total de un octaedro regular (formado por dos pirámides cuadrangulares unidas por su base) cuya arista mide $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ cm. Debes dejar el resultado simplificado con radicales, sin utilizar aproximaciones decimales.

(Pista: El área de un triángulo equilátero de lado $a$ es $A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$)

Racionaliza y simplifica al máximo la siguiente expresión. Asegúrate de que el denominador final sea un número entero:

$\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$

En el diseño de una nueva pieza de microelectrónica, la resistencia de un componente viene dada por la expresión:

$\displaystyle R = \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt{3}$

Transforma los radicales en potencias de base 3 para hallar el valor de $R$ como una única potencia de exponente fraccionario. Posteriormente, indica entre qué dos números enteros consecutivos se encuentra dicho valor.

Halla el valor de $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad, simplificando previamente todos los radicales:

$\displaystyle \sqrt{125x} - 2\sqrt{45x} + \sqrt{500x} = 18\sqrt{5}$

Un arquitecto proyecta una ventana con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que la hipotenusa mide $\sqrt[4]{1024}$ metros y uno de los catetos mide $\sqrt{2}$ metros.

1. a) Calcula la medida exacta del otro cateto en forma de radical simplificado.
2. b) Calcula el área de la ventana. ¿Es el área un número racional o irracional? Justifica tu respuesta.

Simplifica la siguiente expresión combinada, dejando el resultado como un único radical irreducible:

$\displaystyle \frac{\left( \sqrt[3]{a^2 \cdot b} \right)^2 \cdot \sqrt{a \cdot b^3}}{\sqrt[6]{a^5 \cdot b}}$

Se desea construir un depósito cúbico de agua cuya diagonal interior mida exactamente $\sqrt{108}$ metros.

1. a) Demuestra que la arista del depósito es un número racional.
2. b) Si el coste de impermeabilizar las paredes interiores (las 4 caras laterales y el suelo) es de $150 \cdot \sqrt{3}$ euros por metro cuadrado, calcula el coste total exacto de la obra.