Ejercicios: Potencias de exponente entero

Aplica las propiedades de las potencias para simplificar la siguiente expresión y deja el resultado en forma de una única potencia de base positiva:

$$\frac{3^5 \cdot 3^2}{3^4}$$

Calcula el valor numérico de las siguientes potencias con exponente negativo, expresando el resultado final en forma de fracción irreducible:

1. a) $5^{-2}$

1. b) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$

1. c) $(-4)^{-2}$

Es muy común confundir el efecto de los paréntesis cuando la base es negativa. Calcula los siguientes valores y explica la diferencia entre ellos:

1. a) $(-2)^4$

1. b) $-2^4$

1. c) $(-2)^3$

1. d) $-2^3$

Simplifica la siguiente expresión utilizando las propiedades de potencia de una potencia y producto de potencias. Expresa el resultado como una sola potencia:

$$(2^3)^2 \cdot (2^{-2})^4$$

En informática, las unidades de medida crecen en potencias de base $2$. Sabiendo que $1 \text{ KB (Kilobyte)}$ son $2^{10} \text{ bytes}$ y que $1 \text{ MB (Megabyte)}$ son $2^{10} \text{ KB}$, expresa en forma de una única potencia de base $2$ cuántos bytes hay en un archivo de imagen que ocupa $4 \text{ MB}$.

Reduce a una sola potencia de base $x$ la siguiente expresión, asegurándote de que el exponente final sea positivo:

$$\frac{(x^2 \cdot x^3)^{-2}}{x^{-8}}$$

Un biólogo observa una población de bacterias que se triplica cada hora. Si inicialmente había $3^2$ bacterias, expresa mediante una potencia de base $3$:

1. a) ¿Cuántas bacterias habrá tras $5$ horas?
2. b) ¿Cuántas bacterias habrá tras $n$ horas?

Calcula el valor de las siguientes expresiones combinadas respetando la jerarquía de las operaciones y las reglas de los exponentes:

1. a) $2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0$

1. b) $10^3 \cdot 10^{-2} + 5 \cdot 10^0$

1. c) $(3-1)^2 \cdot 3^{-1}$

Para calcular la capacidad de almacenamiento de un nuevo servidor en la nube, un ingeniero debe simplificar la siguiente expresión numérica. Utiliza las propiedades de las potencias para reducirla a una única potencia de base prima o un producto de ellas con exponentes positivos:

$$\frac{12^4 \cdot 18^{-2} \cdot 2^5}{32 \cdot 3^{-3}}$$

Una empresa de ciberseguridad utiliza claves criptográficas cuya longitud crece de forma exponencial. Si una clave de nivel 1 tiene una complejidad de $(x^2 \cdot y^{-3})^2$ y se multiplica por una de nivel 2 con complejidad $(x \cdot y^2)^{-4}$, simplifica la expresión resultante para hallar la complejidad total del sistema en términos de $x$ e $y$:

$$\frac{(x^2 \cdot y^{-3})^2 \cdot (x \cdot y^2)^{-4}}{x^{-5} \cdot y^0}$$

En un laboratorio de biotecnología, una población de bacterias se triplica cada hora. Si inicialmente había $3^4$ bacterias, la expresión que representa el número de bacterias al cabo de $t$ horas es $3^4 \cdot 3^t$.

1. a) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de un día ($t=24$)? Expresa el resultado como una potencia.

1. b) Si debido a un antibiótico la población se reduce dividiéndose por $9^5$, simplifica la expresión resultante:

$$\frac{3^4 \cdot 3^{24}}{9^5}$$

Opera y simplifica la siguiente expresión, dejando el resultado en forma de fracción irreducible sin exponentes negativos:

$$\frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{4}{9} \right)^{3}}{\left( \frac{3}{2} \right)^{4} \cdot 2^{-1}}$$

Un satélite de comunicaciones envía paquetes de datos de un tamaño de $2^{15}$ bytes. Si el satélite debe enviar un archivo total que ocupa $16^5$ bytes, calcula cuántos paquetes deberá emitir. Expresa tanto los datos iniciales como el resultado final como potencias de base 2.

Aclara si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas razonando tu respuesta en base a las propiedades de las potencias y la regla de los signos:

1. a) $(-2)^4 = -2^4$

1. b) $\frac{a^{-3}}{b^{-3}} = \left( \frac{b}{a} \right)^3$

1. c) $(x+y)^2 = x^2 + y^2$

1. d) $(-5)^{-2} = \frac{1}{25}$

El radio de un átomo de hidrógeno es de aproximadamente $5 \cdot 10^{-11}$ metros. Si quisiéramos representar el volumen de un espacio cúbico que contenga exactamente ese radio como arista, tendríamos que elevar dicha medida al cubo ($V = l^3$).

Calcula el volumen resultante en notación científica y simplifica la expresión:

$$V = (5 \cdot 10^{-11})^3$$

Ordena de menor a mayor los siguientes valores transformándolos previamente para que tengan la misma base:

$$A = 4^{12} \quad ; \quad B = 8^7 \quad ; \quad C = 32^4 \quad ; \quad D = 2^{25}$$

Simplifica la siguiente expresión algebraica hasta obtener una potencia única o un producto de potencias de base prima, eliminando todos los exponentes negativos y evitando el uso de la calculadora:

$$\frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^{3} \cdot 12^{-3}}{6^4 \cdot 18^{-2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{5}}$$

Para resolverlo, descompón primero todas las bases en sus factores primos ($2$ y $3$) y aplica cuidadosamente las propiedades de las potencias de exponente entero.

En el estudio de modelos económicos, a veces aparecen expresiones que requieren extraer factor común de potencias con exponentes variables. Simplifica al máximo la siguiente fracción para que sea más fácil de programar en una hoja de cálculo:

$$\frac{3^{n+2} - 3 \cdot 3^{n-1}}{3^n + 3^{n+1}}$$

Pista: Intenta expresar todos los términos del numerador y del denominador como productos que contengan la potencia $3^{n-1}$ o $3^n$ antes de simplificar.

Una empresa de ciberseguridad analiza la propagación de un virus informático. Se ha observado que el número de archivos infectados se triplica cada hora. Sin embargo, cada $4$ horas, un antivirus logra eliminar el $80 \%$ de las infecciones existentes en ese instante.

Si inicialmente hay $1$ solo archivo infectado, expresa mediante una operación con potencias el número de archivos afectados al cabo de $12$ horas, justo después de la tercera actuación del antivirus. ¿Podrías escribir el resultado final en notación científica?

Opera y simplifica la siguiente expresión con variables, dejando el resultado final sin exponentes negativos:

$$\frac{(a^{-3} \cdot b^2)^{-2} \cdot (a \cdot b^{-1})^3}{\left( \frac{a^2}{b} \right)^{-4} \cdot a^{10}}$$

Un inversor analiza dos productos financieros. En el primero, su capital se multiplica por $1,02$ cada mes (interés compuesto). En el segundo, debido a la alta volatilidad, el capital se multiplica por $1,05$ un mes, pero disminuye multiplicándose por $0,98$ al mes siguiente, repitiéndose este ciclo de dos meses indefinidamente.

Si el inversor deposita una cantidad $C$ durante $2$ años ($24$ meses), expresa mediante potencias de exponente entero el capital final obtenido en cada opción. ¿Cuál de las dos opciones es más rentable tras esos $24$ meses? Justifica tu respuesta comparando las bases de las potencias resultantes.

Calcula el valor de la siguiente expresión numérica descomponiendo las bases en factores primos y simplificando al máximo. El resultado debe ser un número entero o una fracción irreducible:

$$\frac{15^6 \cdot 12^{-4} \cdot 80^3}{20^4 \cdot 27^2 \cdot 3^{-5}}$$

En el mundo de la computación, las capacidades de almacenamiento crecen de forma exponencial. Supongamos que un servidor duplica su capacidad de almacenamiento cada $18$ meses. Si en el año $2020$ tenía una capacidad de $2^{10}$ Terabytes (TB):

1. a) Expresa mediante una potencia de base $2$ cuál será su capacidad en el año $2035$.
2. b) Si cada TB equivale a $2^{40}$ bytes, expresa la capacidad total del año $2035$ en bytes utilizando una única potencia de base $2$.

Demuestra, aplicando las propiedades de las potencias, que la siguiente igualdad es cierta para cualquier valor de $x$ e $y$ (siempre que las bases no sean nulas):

$$\frac{x^2 \cdot (x \cdot y)^{-3}}{(x^{-1} \cdot y)^2} = \frac{1}{y^5}$$

Indica paso a paso qué propiedad estás aplicando en cada etapa de la simplificación.