Ejercicios: Operaciones con radicales

Simplifica la siguiente expresión matemática extrayendo factores de los radicales y agrupando aquellos que sean semejantes:

$5\sqrt{12} - \sqrt{27} + 2\sqrt{75}$

Una empresa de tecnología está diseñando un nuevo modelo de smartphone. La pantalla es rectangular y sus dimensiones exactas vienen dadas por los siguientes radicales: la base mide $\sqrt{12}$ cm y la altura mide $\sqrt{3}$ cm. Calcula el área de la pantalla expresando el resultado de forma simplificada.

Extrae todos los factores que sea posible de los siguientes radicales para obtener la expresión más simplificada:

1. a) $\sqrt{72x^4y^3}$

1. b) $\sqrt[3]{128a^5}$

Racionaliza las siguientes fracciones de modo que no quede ningún radical en el denominador. Recuerda simplificar el resultado final si es posible:

1. a) $\frac{10}{\sqrt{2}}$

1. b) $\frac{3}{\sqrt[3]{5}}$

Aplica las propiedades de los radicales para reducir a una sola raíz y simplifica el resultado final:

$\sqrt[3]{\sqrt{64x^{12}}}$

Realiza las siguientes operaciones con radicales del mismo índice y expresa el resultado en la forma más sencilla posible:

1. a) $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8}$

1. b) $\frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{3}}$

Un decorador de interiores quiere colocar una moldura de madera alrededor de un gran espejo cuadrado que tiene un área de $20 \text{ m}^2$. Expresa el perímetro del espejo en forma de radical simplificado (extrae factores si es necesario).

Introduce los factores dentro del radical en las siguientes expresiones:

1. a) $3 \sqrt{5x}$

1. b) $2a^2 \sqrt[3]{3a}$

Extrae los factores posibles de los siguientes radicales y simplifica la expresión resultante para obtener un único término:

$3\sqrt{80} - 2\sqrt{45} + \sqrt{20}$

En el diseño de un nuevo chip para smartphones, una de las conexiones tiene una longitud dada por el producto de dos componentes radicales. Calcula el valor exacto de dicha longitud simplificando el siguiente producto y expresándolo bajo un único radical:

$\sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[4]{a^3}$

Calcula el área de una plaza pública de forma cuadrada cuyo lado mide $(2 + \sqrt{5})$ metros. Expresa el resultado de forma exacta simplificando los radicales que aparezcan en el desarrollo del binomio.

Racionaliza las siguientes expresiones para eliminar los radicales del denominador y simplifica el resultado final:

1. a) $\dfrac{6}{\sqrt[3]{9}}$

1. b) $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$

Un arquitecto necesita calcular la presión que ejerce una estructura sobre el suelo. Tras realizar los cálculos previos, la expresión resultante es la siguiente. Racionalízala utilizando el conjugado del denominador y simplifica al máximo:

$\dfrac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$

Halla la altura ($h$) de un panel solar triangular si sabemos que su área es de $\sqrt{24}$ metros cuadrados y su base mide $\sqrt{2}$ metros. Recuerda que el área de un triángulo se calcula como $A = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$. Expresa el resultado simplificando los radicales.

Reduce la siguiente expresión a un único radical lo más simplificado posible, aplicando las propiedades de la raíz de una raíz y la extracción de factores:

$\sqrt{\sqrt[3]{64x^8}}$

Realiza la siguiente operación combinada con radicales, aplicando la propiedad distributiva y simplificando los términos semejantes:

$(\sqrt{3} + 2) \cdot (2\sqrt{3} - 5)$

Simplifica al máximo la siguiente expresión combinada, extrayendo factores de los radicales y racionalizando aquellos términos que sea necesario para agrupar la parte numérica:

$$3\sqrt{175} - \frac{5}{\sqrt{7}} + \sqrt[4]{441} - 2\sqrt{112}$$

Reduce a un único radical y simplifica la expresión resultante, asumiendo que las variables $x$ e $y$ representan valores reales positivos:

$$\frac{\sqrt[3]{x^2 \cdot y} \cdot \sqrt{x \cdot y^3}}{\sqrt[6]{x^5 \cdot y^4}}$$

Racionaliza y simplifica la siguiente fracción. Debes operar el numerador tras la racionalización para obtener la expresión más reducida posible:

$$\frac{2\sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}$$

Un arquitecto está diseñando una claraboya triangular para un nuevo centro comercial. El diseño requiere que la base de la claraboya sea un triángulo equilátero cuya altura sea exactamente $H = \sqrt{18} + \sqrt{6}$ metros. Calcula el valor exacto del área de la claraboya, expresando el resultado como un radical simplificado en $m^2$.

Simplifica la siguiente expresión con radicales anidados para convertirla en una potencia de exponente fraccionario de base $a$:

$$\sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt{a \cdot \sqrt[4]{a^3}}}$$

Racionaliza la siguiente expresión. Ten en cuenta que, al haber tres raíces cuadradas en el denominador, es posible que necesites realizar el proceso de multiplicación por el conjugado más de una vez:

$$\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$$

Se desea construir una estructura metálica en forma de ortoedro cuyas dimensiones (ancho, largo y alto) vienen dadas por las siguientes expresiones en metros:

• $a = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

• $b = \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6}$

• $c = \sqrt{6}$

Calcula el volumen total de la estructura. El resultado debe ser un número real expresado de forma exacta (con radicales si fuera necesario).

En un estudio de diseño gráfico, se está trabajando con un logotipo que utiliza una espiral basada en rectángulos. Uno de los segmentos críticos tiene una longitud $L$ definida por la operación entre los siguientes radicales de distinto índice. Calcula su valor exacto y simplifícalo:

$$L = \frac{\sqrt[4]{32} \cdot \sqrt[3]{16}}{\sqrt[6]{2}}$$

Racionaliza la siguiente expresión y simplifica el resultado extrayendo todos los factores posibles de los radicales:

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$$

¿Es el resultado un número racional o irracional? Justifica tu respuesta analizando la estructura del número obtenido.