Ejercicios: Sucesos dependientes e independientes

Sean $A$ y $B$ dos sucesos asociados a un experimento aleatorio. Sabemos que la probabilidad de que ocurra el suceso $A$ es $P(A) = 0,6$ y la probabilidad de que ocurra el suceso $B$ es $P(B) = 0,3$. Si se sabe que los sucesos son independientes, calcula la probabilidad de que ocurran los dos a la vez, es decir, $P(A \cap B)$.

En una máquina de chicles hay bolas de tres colores: 10 rojas, 6 azules y 4 verdes. Un niño saca un chicle, anota su color, lo vuelve a introducir en la máquina y saca un segundo chicle.

1. a) Justifica si los sucesos "sacar bola roja en la primera" y "sacar bola azul en la segunda" son dependientes o independientes.
2. b) Calcula la probabilidad de que el primer chicle sea azul y el segundo sea verde.

Extraemos dos cartas de una baraja española de 40 cartas, una tras otra y sin devolver la primera a la baraja.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea un Rey?
2. b) Sabiendo que la primera carta fue un Rey, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda también sea un Rey?
3. c) ¿Son estos sucesos dependientes o independientes?

Un estudiante de 1º de Bachillerato tiene dos exámenes el mismo día: Matemáticas e Inglés. La probabilidad de aprobar Matemáticas es $P(M) = 0,7$ y la de aprobar Inglés es $P(I) = 0,8$. Suponiendo que aprobar un examen no influye en el resultado del otro:

1. a) Calcula la probabilidad de aprobar ambos exámenes.
2. b) Calcula la probabilidad de no aprobar ninguno de los dos.

En un cajón de un probador de una tienda de ropa han quedado olvidados 4 calcetines negros y 2 calcetines blancos, todos del mismo tamaño y tacto. Si una dependienta mete la mano y extrae dos calcetines al azar, uno tras otro y sin mirar:

1. a) Completa el siguiente diagrama de árbol con las probabilidades correspondientes.
2. b) Calcula la probabilidad de que los dos calcetines extraídos sean negros.

Se ha realizado una encuesta en un instituto sobre el uso de dos redes sociales: Instagram ($I$) y TikTok ($T$). Los resultados muestran que el $70\%$ de los alumnos usa Instagram, el $50\%$ usa TikTok y el $35\%$ usa ambas plataformas. Determina si el uso de Instagram es independiente del uso de TikTok en este instituto.

En un control de calidad de una fábrica de bombillas, se sabe que la probabilidad de que una bombilla sea defectuosa es $0,02$. Si se eligen dos bombillas al azar, calcula la probabilidad de que:

1. a) Ninguna sea defectuosa.
2. b) Las dos sean defectuosas.

(Nota: El tamaño del lote es tan grande que se puede considerar que la extracción de una bombilla no afecta a la probabilidad de la siguiente).

Observa la siguiente tabla de contingencia que muestra el tipo de deporte preferido por un grupo de 100 adolescentes:

Se elige un adolescente al azar. Calcula:

1. a) $P(F)$, la probabilidad de que le guste el fútbol.
2. b) $P(F|H)$, la probabilidad de que le guste el fútbol sabiendo que es un chico.
3. c) A la vista de los resultados, ¿son independientes los sucesos "ser chico" y "gustar el fútbol"?

En una plataforma de música por streaming, el $60\%$ de los usuarios escuchan el género "Urban" ($U$) y el $45\%$ escuchan "Pop" ($P$). Se sabe además que el $27\%$ de los usuarios escuchan ambos géneros musicales.

1. a) Determina si los sucesos "escuchar Urban" y "escuchar Pop" son independientes. Justifica tu respuesta matemáticamente.

1. b) Si seleccionamos a un usuario que sabemos que escucha música "Pop", ¿cuál es la probabilidad de que también escuche "Urban"?

Una urna contiene 5 bolas amarillas y 3 bolas lilas. Extraemos dos bolas de la urna de forma consecutiva y sin devolución.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a este experimento, indicando la probabilidad de cada rama.

1. b) Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.

Un programador de videojuegos está probando el sistema de "críticos" de un personaje. El personaje tiene una probabilidad de $0,2$ de asestar un golpe crítico ($C$). Sin embargo, el sistema está diseñado para que, si el último golpe fue crítico, la probabilidad de que el siguiente también lo sea baje a $0,1$ debido al enfriamiento de la habilidad. Si el último golpe no fue crítico, la probabilidad del siguiente se mantiene en $0,2$.

1. a) ¿Son los sucesos "primer golpe crítico" y "segundo golpe crítico" independientes? Razona la respuesta.

1. b) Calcula la probabilidad de que, en una secuencia de dos golpes, el personaje no aseste ningún crítico.

En un instituto de Madrid, se ha realizado un estudio sobre los hábitos de desayuno y el curso que realizan los alumnos, obteniendo los siguientes datos:

Se elige un alumno al azar. Comprueba si el suceso "desayunar en casa" es independiente del suceso "estar en 1º de Bachillerato".

Dos componentes electrónicos de un dron, $A$ y $B$, funcionan de forma independiente. La probabilidad de que falle el componente $A$ es de $0,05$ y la probabilidad de que falle el componente $B$ es de $0,08$.

1. a) Calcula la probabilidad de que el dron pueda seguir volando si para ello es necesario que al menos uno de los dos componentes funcione correctamente.

1. b) Calcula la probabilidad de que falle exactamente uno de los dos componentes.

Extraemos dos cartas de una baraja española de 40 cartas, una tras otra y sin devolver la primera.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda carta sea un Rey, sabiendo que la primera carta fue el As de Oros?

1. b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos figuras (Sota, Caballo o Rey) de palos distintos?

Un estudiante de Bachillerato tiene dos despertadores independientes en su móvil. El primero ($D_1$) funciona el $95\%$ de las mañanas y el segundo ($D_2$) funciona el $90\%$ de las veces.

1. a) Calcula la probabilidad de que el estudiante se quede dormido porque no suene ninguno de los dos despertadores.

1. b) Si sabemos que al menos uno de los despertadores ha sonado, ¿cuál es la probabilidad de que el despertador $D_1$ haya fallado?

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ y $P(A \cup B) = 0,58$.

1. a) Calcula $P(A \cap B)$.

1. b) Determina si los sucesos $A$ y $B$ son independientes.

1. c) Calcula la probabilidad condicionada $P(A | \bar{B})$, siendo $\bar{B}$ el suceso contrario de $B$.

En un popular videojuego de estrategia, los jugadores abren "cofres legendarios" para obtener recompensas. La probabilidad de obtener un héroe de nivel S en el primer cofre es de solo $0,05$. Sin embargo, el juego tiene un sistema de "suerte acumulada": si no obtienes el héroe en un cofre, la probabilidad de obtenerlo en el siguiente aumenta en $0,02$ respecto a la probabilidad del cofre anterior. Si obtienes el héroe, la probabilidad vuelve a ser $0,05$ para el siguiente intento.

Calcula la probabilidad de que un jugador necesite abrir exactamente tres cofres para obtener su primer héroe de nivel S.

Una urna contiene $n$ bolas blancas y $6$ bolas negras. Se extraen sucesivamente dos bolas sin devolución. Sabiendo que la probabilidad de que ambas bolas sean blancas es exactamente $\frac{1}{3}$, determina mediante una ecuación algebraica cuántas bolas blancas había inicialmente en la urna.

Un sistema de seguridad de doble autenticación envía un código al móvil del usuario. Si el primer mensaje no llega (lo cual ocurre con una probabilidad de $0,12$), el sistema intenta un segundo envío. Sin embargo, debido a la saturación de la red, si el primer envío falló, la probabilidad de que el segundo también falle aumenta a $0,45$. Por otro lado, si el primer envío fue exitoso, la probabilidad de que el usuario reciba un segundo mensaje de confirmación es de $0,98$.

Calcula la probabilidad de que un usuario reciba el segundo mensaje, independientemente de lo que haya ocurrido con el primero.

En un entrenamiento de baloncesto, un jugador lanza dos tiros libres consecutivos. La probabilidad de encestar el primero es de $0,7$. Si encesta el primero, su confianza aumenta y la probabilidad de encestar el segundo es de $0,8$. Si falla el primero, se pone nervioso y la probabilidad de encestar el segundo baja a $0,4$.

Si sabemos que el jugador ha encestado solo uno de los dos lanzamientos, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido el segundo?

Tres laboratorios farmacéuticos ($L_1$, $L_2$ y $L_3$) fabrican el mismo tipo de test de antígenos. $L_1$ produce el $45\%$ del total, $L_2$ el $30\%$ y $L_3$ el resto. Se sabe que el porcentaje de tests defectuosos es del $1\%$ para $L_1$, del $2\%$ para $L_2$ y del $3\%$ para $L_3$.

Si elegimos dos tests al azar de un gran lote donde están mezclados todos los fabricantes (puedes considerar que la extracción es con reemplazamiento debido al gran volumen):

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean defectuosos?
2. b) Sabiendo que el primero ha resultado defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo también lo sea? Justifica si estos sucesos son dependientes o independientes.

Dos sucesos $A$ y $B$ cumplen que $P(A) = 0,6$ y $P(B) = 0,7$. Determina el intervalo de valores posibles para la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$ y, basándote en ello, razona por qué los sucesos $A$ y $B$ no pueden ser nunca incompatibles. ¿Qué valor debería tener $P(A \cap B)$ para que $A$ y $B$ fuesen independientes?

En un centro de inteligencia, un software de reconocimiento facial analiza imágenes. La probabilidad de que identifique correctamente a un individuo si este está en la base de datos es de $0,95$. Sin embargo, el software tiene un margen de error y a veces identifica erróneamente a personas que no están en la base de datos con una probabilidad de $0,02$.

Sabiendo que solo el $1\%$ de las personas que pasan por una aduana están en la base de datos, calcula:

1. a) La probabilidad de que el software dé una alerta (identifique a alguien).
2. b) Si el software ha identificado a una persona, ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté en la base de datos?

Se lanzan dos dados tetraédricos (caras numeradas del 1 al 4). Sean los sucesos:

• $A$: "La suma de las caras es un número primo".

• $B$: "El producto de las caras es un múltiplo de 4".

• $C$: "Al menos uno de los dados muestra un 1".

Estudia la independencia de los sucesos $A$ y $B$, y de los sucesos $B$ y $C$. ¿Existe alguna relación de dependencia entre el resultado del primer dado y el resultado del segundo? Explícalo matemáticamente.